专题07 二次函数纯数学问题（河南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 二次函数纯数学问题 考点一、二次函数背景下的一次函数问题 1．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 考点二、二次函数的图象和性质 2．（2021·河南·中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ． 【答案】y=x（答案不唯一） 【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可． 【详解】解：因为直线y=x经过原点（0,0）， 故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）． 【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等． 3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 4．（2021·河南·中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 专练一、二次函数的图象和性质 5．（2025·河南周口·模拟预测）若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，掌握整体思想的利用是解题的关键． 将代入得到，那么再将变形为，整体代入即可求值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·河南漯河·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质可得抛物线开口向下，对称轴为，令，求出抛物线与轴的交点为和，再由抛物线经过点，，且，结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为和， 抛物线经过点，，且， ， 解得：． 故选：B． 7．（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式． 先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 8．（2025·河南郑州·模拟预测）若点，，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为轴，开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 点关于轴对称的点为， ， ， 故选：D． 9．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知，是函数图象上的两点，当时，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出二次函数的对称轴． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵，， ∴， 故选：B． 10．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况、判断点所在的象限，解题关键是根据二次函数图象确定相应一元二次方程根的情况．由该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限推得，即可得解． 【详解】解：由图象可得，该二次函数与轴无交点，顶点在第二象限， 一元二次方程无解， ； 当时，， 点在第二象限． 故选：． 11．（2025·河南驻马店·三模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 根据以上信息，某同学得到以下结论：①抛物线的开口向上；②；③抛物线的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤二次函数的最小值是．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、函数最值以及函数的增减性；解题的关键在于熟练掌握二次函数这些性质与函数表达式中系数以及自变量取值之间的关系，能够从给定的表格数据中准确提取信息并加以运用，通过分析函数值的变化规律、利用对称点求对称轴等方法来判断各个结论的正确性.本题给出了二次函数自变量与函数的对应值表格，需要根据表格信息判断关于该二次函数的五个结论的正确性，从而确定正确结论的个数. 【详解】解：①观察表格可知，函数y值中间小，向两边增大，所以抛物线开口向上，①正确； ②时，， ，②错误； ③观察表格可知，当和时，y值相等， 抛物线的对称轴是直线，③正确； ④抛物线的对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大，④正确； ⑤时，y的值是该二次函数的最小值，小于，⑤错误． ①③④正确． 故选C． 12．（2025·河南驻马店·一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，性质，增减性，对称性，顶点，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据轴对称的性质求得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①正确；当时，值为正，可判断②正确；根据对称轴为直线，且抛物线过原点，求得，，可判断③错误；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， 当和时，值相同，且均为正， ，结论②正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点， ，， ，， ，结论③错误； 当时，， 抛物线的顶点坐标为，结论④正确； 观察函数图象可知：当时，随增大而增大，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选：B． 13．（2025·河南平顶山·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化时解题的关键．由抛物线的开口方向判断a的大小，根据抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴和抛物线与x轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答 【详解】解：图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右边， 可得：， ， 故错误； 根据对称轴为直线，抛物线与x轴交点在的左边， 可得：抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，， 故错误； 当时，函数具有最大值为， ， 即， 故错误； 根据，可得， 由得， 故正确； ， ， 令，， 则在二次函数上， ， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得， ， 故正确， 故答案为：D． 14．（2025·河南·模拟预测）写出一个图象经过第二象限的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据一次函数满足或，；反比例函数需满足；二次函数需满足或，；写出图象经过第二象限的函数表达式即可． 【详解】解：（答案不唯一）.若是一次函数，需满足或，； 若是反比例函数，需满足； 若是二次函数，需满足或，； 故答案为：（答案不唯一）． 15．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 16．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2025·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中有一抛物线： ， (1)求抛物线的对称轴和与轴的交点坐标； (2)若 时，的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若 ，抛物线上有两点 ，当 时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线的计算，图象开口，增减性是关键． （1）根据对称轴直线，抛物线与坐标轴的交点进行计算即可； （2）分类讨论：当时，图象开口向上，对称轴直线为，此时函数的最小值为，，函数值有最大值，最大值为；当时，图象开口向下，对称轴直线为，此时函数的最大值为，，函数值有最小值，最小值为；结合题意即可求解； （3）根据题意，得到当时关于的对称点为，结合函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：抛物线： ， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为； （2）解：当时，图象开口向上，对称轴直线为，此时函数的最小值为， ∴ 在中，根据离对称轴越远，值越大得到，，函数值有最大值，最大值为， ∴， 解得，； 当时，图象开口向下，对称轴直线为，此时函数的最大值为， ∴在中，根据离对称轴越远，值越小得到，，函数值有最小值，最小值为， ∴， 解得，； 综上所述，或； （3）解：由，则抛物线开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴当时取得最小值， ∵抛物线的对称轴直线为， ∴和对应的函数值相同， ∵当 时，均满足， ∴， 解得，． 专练二、二次函数与方程、不等式 18．（2025·河南商丘·三模）如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（   ） A． B． C．关于的方程 没有实数根 D．若点 在该抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：由题得，，，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； B：∵对称轴为直线，抛物线与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故该选项不符合题意； C：∵抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意； D：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即当时，抛物线有最大值， ∴， 即，故该选项符合题意． 故选：D ． 19．（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 20．（2025·河南周口·三模）如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（   ）．    A． B． C．函数的最大值为 D．关于x的方程没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法确定一元二次方程的根个数，从函数图象中获取信息，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴；当时，函数有最大值为：；故A，C选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴和的函数值相等，均为， 由图象可知：，故B选项正确，不符合题意； 由图象可知，抛物线和直线有2个交点， ∴关于x的方程有2个实数根；故D选项错误，符合题意； 故选D． 21．（2025·河南信阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则关于x的方程有 个实数根． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，关于x的方程的实数根数，可看作二次函数与直线的交点个数，据此即可解答，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：关于x的方程的实数根数，可看作二次函数与直线的交点个数， 根据图象可得二次函数与直线有2个交点， 故关于x的方程有2个实数根． 故答案为：2． 22．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①详见解析；②或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴； （2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线的图象，结合图象即可得解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为． ∴对称轴为直线； （2）解：①描点，画出二次函数的图象如解图所示． ②画出直线如解图所示． 由图象可得：出关于x的不等式的解集为或； （3）解：∵一元二次方程在的范围内有实数根， ∴在的范围内，抛物线与直线有交点． ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线在时取得最小值． 当时，，当时，． ∴当时，． ∴t的取值范围为． 专练三、二次函数与一次函数的综合 23．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致． 【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意． D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． 故选：C． 24．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴， ，，， ， ，， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选A． 专练四、二次函数的图象平移问题 25．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前的二次函数的顶点坐标为， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为，即， 故选：B． 26．（2025·河南·一模）将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，代数式求值知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，由此即可得出、、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， 将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为： ， ，，， ， 故选：． 27．（2025·河南漯河·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 28．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 29．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移性质求解即可； （3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 平移后抛物线与轴有且只有一个交点， ； （3）点，在原抛物线上， ，， ， ， ，即， 当，时， 解得：， 当，时，无解， 综上的取值范围是． 30．（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 【答案】(1)见解析 (2)①；②向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位 【分析】本题主要考查了二次函数综合，垂线的尺规作图，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； （2）①根据顶点坐标得到，，则，根据对称性可得，则可求出，，再利用待定系数法求解即可；②设平移后的抛物线解析式为，先求出，在求出直线的解析式为；求出向左平移抛物线，且平移后的抛物线经过时m的值；求出向右平移抛物线时，平移后得到抛物线与线段只有一个公共点时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求；    （2）解：①∵顶点D的坐标为，轴 ，， ，， ， ， ，， ，， 把，代入，， 解得：， 抛物线的解析式为； ②设平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 若向左平移抛物线，把代入得：， 解得，（舍去）， ， 若向右平移抛物线，令，整理得：， 当抛物线与线段只有一个公共点时，， 即，解得：， ， 抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位． 31．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 32．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，平面内直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键． （1）求出C点坐标，代入求出a的值，即可求解； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴， 将C点代入中，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， ∵将点P向上平移2个单位长度得到点， ， ∵关于原点对称的点的坐标为 ， 解得：， ∴或； （3）解：平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ∴， 解得：， ∵， ∴． 专练五、二次函数的临界点问题 33．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，且．    (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，平移的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）根据已知条件可得出，将代入，解出x，再结合点P在第一象限，即可得出答案． （3）根据题意可知线段的平移轨迹为平行四边形，数形结合即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得． ∴点C的坐标为． ∵， ∴点A的坐标为． 已知点B的坐标为，设函数解析式为． 将点代入，得． ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵与等底，且， ∴． 将代入， 得关于x的方程， 解得（舍），． ∴点P的坐标为． （3）解：根据题意可知线段的平移轨迹为平行四边形， 数形结合可得若线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为．    34．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出点坐标，作点关于的对称点，得到，根据平分，得到，进而得到点在射线上，求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； ②求出直线的解析式，作，进而求出的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，得到直线经过点，求出与抛物线刚好有交点时，即交于点或点时，的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ∴，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 作点关于的对称点，则：，， ∵平分，则：， ∴点在射线上， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或； ∴； ②同①法可得：直线的解析式为， 作， ∵， ∴直线的解析式为， ∴点在射线上，点在射线上， 联立，得：或， 即：直线经过点， ∵与抛物线没有交点， ∴当点移动到点时，与抛物线交于点，此时， ∴时，满足题意， 当点于点重合时，此时与抛物线交于点， 此时点先向右移动个单位再向上移动3个单位， 故点先向右移动6个单位再向上移动3个单位得到点，即：， ∴时，与抛物线没有交点； 综上：或． 35．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】(1)①，，；②最大值为8 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①将代入二次函数解析式求出，即可得出二次函数的解析式，令，则，求出的值即可得出、的坐标；②求出直线的解析式为，设点，则，，再由表示出面积，结合二次函数的性质即可得解； （2）由题意可得点在抛物线内部，当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点，将代入得，从而可得，求解即可． 【详解】（1）解：①点坐标为，即， ． 该二次函数的解析式为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴交点为， ②过点作轴的垂线，交于点，交轴于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，则， ， ∴， ， ∵， 当时，的值最大，最大值为8； （2）解：当时，抛物线经过， 点在抛物线内部， 当点在抛物线上或外部时，抛物线与线段只有一个公共点， 将代入得， ， 解得， ． 36．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表： x … 0 3 4 … y … b c … 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值； (3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围． 【答案】(1)4； (2)的值为1 (3)或 【分析】（1）把，分别代入求出结果即可； （2）先求出当时，，先求出当时，抛物线有最大值，根据得出，根据二次函数的最大值与最小值的差为6得出，求出结果即可； （3）先求出抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，，得出线段与抛物线只有1个交点，分两种情况：当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，分别求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线表达式为， 当时，， ∴， 当时，． ∴； （2）解：∵二次函数表达式为， ∴当时，， ∵抛物线二次项系数为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，抛物线有最大值， ， 且当时，y取得最小值，当时，y取得最大值， 当时，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 的值为1； （3）解：把代入得， 解得：或， ∴此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为， ∵， ∴， ∴线段与抛物线只有1个交点， 当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且， ∴此时； 当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数值，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 37．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，连接，将线段向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的平移规律是解题的关键． （1）代入到，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）设，表示出和的长，利用求出的值，即可求出点的坐标； （3）利用待定系数法求出平移前线段的解析式为，可得平移后线段的解析式为，由二次函数的对称性可得点、点的对称点分别为、，再分别求出当线段经过和时对应的值，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：代入到，得， ， 代入，到，得， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设，则，， ，， ， ， 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为． （3）解：当，， ， 设平移前线段的解析式为， 代入，得， 解得：， 平移前线段的解析式为， ， 抛物线对称轴为， 点、点关于对称轴的对称点分别为、， 线段向右平移个单位长度， 平移后线段的解析式为， 当平移后线段经过，则， 解得：， 当平移后线段经过，则， 解得：， 结合图象得，若线段与抛物线无交点，的取值范围为或． 38．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得； （2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得； （3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或． （3）解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为． 专练六、二次函数背景下的字母参数问题 39．（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)；或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可； （）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解； （）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴当时，的最大值为，当时，的最小值为， ∴的取值范围； 由抛物线的解析式， 当时，， ∴， ∴， ∵ ， ∴，即， ∵点是抛物线上一点， ∴， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得或（舍去）， ∴的值为或． 40．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差． (3)点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点M坐标为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可； （2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答； （3）先点D坐标，进而求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点， ∴解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拋物线顶点的坐标为． （2）解：∵， ∴函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，在处，取得最大值； 在处，取得最小值． ∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为． （3）解：∵点是抛物线上一点， ∴，则， 设直线的表达式为， ∵点，， ∴，解得：， 直线的表达式为， 设点（且），则点． 当点在点的下方，即时， ， ∴时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， ， ∴当时，线段的长随的增大而增大． 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或． 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若，是二次函数图象上的两点，求证：； (3)当时，二次函数的最大值为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数求最值，二次函数的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）求出，，得到 ，即可得到； （3）根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，继而得到，解得． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，点， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）证明：，是二次函数图象上的两点， ，， ， ； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，二次函数的最大值为， ， 解得：． 42．（2025·河南平顶山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的重点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与二次函数系数之间的关系． （1）根据二次函数的性质，可以知道抛物线经过一个定点； （2）利用对称轴与抛物线系数之间的关系，可以计算出k的值，推导出抛物线的解析式； （3）根据抛物线的性质，可以知道m的取值范围． 【详解】（1）解：已知抛物线， ∵当时，， ∴抛物线经过一个定点， 故答案为：； （2）解：的对称轴为直线， ，解得， 将代入，得抛物线解析式为； （3）解：点为抛物线上一点， ， ， ， 移项，得，即， ①或②， 解①，得；解②，得， 当时，的取值范围为或． 43．（2025·河南漯河·三模）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移方式确定新的解析式，根据增减性确定m的取值范围，即可； （3）分两种情况，根据二次函数的增减性，确定最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，把代入得， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为． （2）解：抛物线向右平移个单位长度后，解析式为， ∴新的抛物线的对称轴为， ∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为， 则，解得：； 当时，把代入得， 则， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴或． 44．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 【答案】(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 45．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），，（2）是“数轴函数，不是“数轴函数”，理由见详解（3）或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据二次函数的顶点式进行作答即可； ②根据二次函数的顶点式进行作答即可； ③根据二次函数的顶点式进行作答即可； （2）先化为顶点式，再根据“数轴函数”的定义进行分析，即可作答． （3）先化为顶点式，根据“数轴函数”的定义进行分析得出，再结合得出，，又因为是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，且结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）①的顶点坐标为； ②的顶点坐标为； ③的顶点坐标为 故答案为：，，； （2）依题意， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标在轴上，符合“数轴函数”的要求， 故是“数轴函数， ， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标不在坐标轴上，不符合“数轴函数”的要求， 故不是“数轴函数”； （3）依题意， 此函数的顶点坐标为， ∵是“数轴函数” ∴， 解得； ∴，即函数的开口向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），， ∴， ∵是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2， ∴或者 即或． 46．（2025·河南许昌·二模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）将代入，求解即可； （2）①将代入，得，可知点在抛物线上，进而求解； ②求得该二次函数的对称轴和顶点坐标为，结合题意画出图象，进而求解 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）①证明：将代入，得， 点在抛物线上， ∴该抛物线为“定点抛物线”. ②， 该抛物线的开口向下， 由题可知该抛物线经过点， 当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为. 此时抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点为. 画出抛物线的大致图象如图所示； 结合图象可知，当时，点在直线上方， 此时； 专练七、二次函数与几何的综合问题 47．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：令，则， ， 设点的坐标为，过点作于点， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 把代入得， 解得，舍去， 点的坐标为， 故选：D． 48．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 49．（2025·河南·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，那么称这个点为“商二点”．已知二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若二次函数的顶点为，连接，在坐标轴上找一点，使得为以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“商二点”的定义把代入二次函数中，得到，再由函数图象上的“商二点”有且只有一个，得到，求解即可解答； （2）由二次函数解析式可得图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，因此根据增减性得到，求解即可； （3）由二次函数解析式得到，根据为以为直角边的直角三角形，且点C在坐标轴上，得到只能，因此，由得到．分两种情况讨论：①点C在x轴上，②点C在y轴上，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把代入二次函数中，得， 整理得， ∵二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个， ∴方程有两个相同的解， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， 即m的取值范围为． （3）解：若二次函数的顶点为P，则， ∵为以为直角边的直角三角形，且点C在坐标轴上， ∴只能， 由勾股定理得， ∵， ∴． 若点C在x轴上， 设，则，， ∴， 解得， ∴； 若点C在y轴上， 设，则，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，勾股定理，解不等式组，综合运用相关知识是解题的关键． 50．（2025·河南信阳·三模）某数学兴趣小组利用信息技术工具对一个动态图形中特定线段之间的数量关系进行探究．如图，任意矩形的边上有一动点，过做线段的垂线．同学们经探索发现，垂线与矩形的边所在直线相交，交点到点的距离与点，之间的距离有某种对应关系．于是他们想利用所学知识对两者之间的关系进行更加深入的探究．同学们发现图中，利用三角形相似的知识，可得；若矩形的边，，设，，则，可得；化简得． 请你利用函数的知识继续探究与之间的关系． (1)当点B，E的距离是_______时，点，的距离最大（用含，的式子表示）． (2)若点，的距离最大值与矩形的边长度相同，求，的数量关系． (3)小组成员小明说“在（）的情况下，点在的某个位置时，点，的距离是点，的距离的一半，且这样的位置有两个”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数最值的应用以及一元二次方程的求解，熟练掌握二次函数的性质和方程思想是解题的关键． （1）已知，这是二次函数，根据二次函数性质，求其最大值时对应的值（为长度）． （2）利用（1）中取最大值时的值，结合最大值与相等，建立等式求解、关系． （3）在（2）条件下，根据“点，的距离是点，的距离的一半”列方程，通过判断方程解的个数确定位置个数． 【详解】（1）解：对于二次函数（，二次项系数，函数图象开口向下 ）， ∴对称轴为， ∴当时，有最大值，即当点，的距离是时，点，的距离最大． 故答案为：． （2）解：由题意可知，当时，的值为．可得 ， 整理可得：． （3）解：说法合理．理由如下： 由题意可得， ， 整理得：． 解得：，． 和都满足条件， ∴这样的位置有两个，说法正确． 51．（2025·河南周口·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)设点D在直线下方的抛物线上． ①连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，直接写出点F的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到A、B两点坐标，再根据正切值求出点C坐标，代入抛物线解析式求出a的值即可； （2）①设点，分别用m表示出，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；②设点，求出直线和的解析式，可得到点E的横坐标为，再根据，可得关于n的方程，从而得到点F的坐标，过点F作于点K，过点K作直线轴，分别过点A，F作，垂足分别为M，N，证明，可得，设点，根据全等三角形的性质可得点，进而得到直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图，设点，其中， ∵， ， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为12， 此时点D的坐标为； ②设点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：， 即点E的横坐标为， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴点F的坐标为， 如图，过点F作于点K，过点K作直线轴，分别过点A，F作，垂足分别为M，N， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴点D的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，解直角三角形的应用，一次函数的与二次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 52．（2025·河南郑州·三模）【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，． 【特例感知】 （1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①与的函数表达式为，最小值为8；②或． 【分析】（1）由，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解； 过作于，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ， ，，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 故答案为：，； （2），，证明如下； ， ，即， 又， ， ，，则， 又， ， ， ； （3）连接交于， ，， ∴，， ， 设， ， 由（1）可知，，， ， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 与的函数表达式为， 由， 其最小值为； 过作于， ， 是等腰直角三角形， ∴在，，， ， ， 连接，由①可知，四边形是正方形， ，， 在中， ， ，， 又，， ， ，， ， 在，，， ∴， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形，勾股定理，二次函数的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． 53．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 54．（2025·河南安阳·二模）如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查二次函数的应用、函数的图象和性质等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）分和两种情况求出函数解析式即可； （2）根据列表描点连线画出函数图象即可； （3）求出时的自变量的值，根据图象写出答案即可． 【详解】（1）解：当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，过点P作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）根据（1）中的解析式列表如下： x 0 1 2 3 4 y 0 0 描点连线如下， （3）把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） 把代入得到，， 解得或（不合题意，舍去） ∴ 由图象可知，当时，的取值范围． 试卷第2页，共76页 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数纯数学问题 考点一、二次函数背景下的一次函数问题 1．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二、二次函数的图象和性质 2．（2021·河南·中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ． 3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 4．（2021·河南·中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 专练一、二次函数的图象和性质 5．（2025·河南周口·模拟预测）若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．5 6．（2025·河南漯河·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南郑州·模拟预测）若点，，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知，是函数图象上的两点，当时，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 10．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·河南驻马店·三模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 根据以上信息，某同学得到以下结论：①抛物线的开口向上；②；③抛物线的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤二次函数的最小值是．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025·河南驻马店·一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 13．（2025·河南平顶山·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．正确结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤ 14．（2025·河南·模拟预测）写出一个图象经过第二象限的函数表达式： ． 15．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 16．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 17．（2025·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中有一抛物线： ， (1)求抛物线的对称轴和与轴的交点坐标； (2)若 时，的最大值与最小值的差为，求的值； (3)若 ，抛物线上有两点 ，当 时，均满足，直接写出的取值范围． 专练二、二次函数与方程、不等式 18．（2025·河南商丘·三模）如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（   ） A． B． C．关于的方程 没有实数根 D．若点 在该抛物线上，则 19．（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 20．（2025·河南周口·三模）如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（   ）．    A． B． C．函数的最大值为 D．关于x的方程没有实数根 21．（2025·河南信阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则关于x的方程有 个实数根． 22．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 专练三、二次函数与一次函数的综合 23．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 专练四、二次函数的图象平移问题 25．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南·一模）将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2025·河南漯河·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 28．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 29．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 30．（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 31．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 32．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围． 专练五、二次函数的临界点问题 33．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，且．    (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围．    34．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 35．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． (1)若点坐标为． ①求该二次函数的解析式及，的坐标； ②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值； (2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围． 36．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表： x … 0 3 4 … y … b c … 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值； (3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围． 37．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，连接，将线段向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 38．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 专练六、二次函数背景下的字母参数问题 39．（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 40．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差． (3)点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若，是二次函数图象上的两点，求证：； (3)当时，二次函数的最大值为，直接写出的取值范围． 42．（2025·河南平顶山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）． (2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式． (3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围． 43．（2025·河南漯河·三模）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 44．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 45．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 46．（2025·河南许昌·二模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 专练七、二次函数与几何的综合问题 47．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 49．（2025·河南·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，那么称这个点为“商二点”．已知二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若二次函数的顶点为，连接，在坐标轴上找一点，使得为以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 50．（2025·河南信阳·三模）某数学兴趣小组利用信息技术工具对一个动态图形中特定线段之间的数量关系进行探究．如图，任意矩形的边上有一动点，过做线段的垂线．同学们经探索发现，垂线与矩形的边所在直线相交，交点到点的距离与点，之间的距离有某种对应关系．于是他们想利用所学知识对两者之间的关系进行更加深入的探究．同学们发现图中，利用三角形相似的知识，可得；若矩形的边，，设，，则，可得；化简得． 请你利用函数的知识继续探究与之间的关系． (1)当点B，E的距离是_______时，点，的距离最大（用含，的式子表示）． (2)若点，的距离最大值与矩形的边长度相同，求，的数量关系． (3)小组成员小明说“在（）的情况下，点在的某个位置时，点，的距离是点，的距离的一半，且这样的位置有两个”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 51．（2025·河南周口·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)设点D在直线下方的抛物线上． ①连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，直接写出点F的横坐标． 52．（2025·河南郑州·三模）【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，． 【特例感知】 （1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 53．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 54．（2025·河南安阳·二模）如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围． 试卷第2页，共76页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$