精品解析：2025年四川省达州市渠县东安雄才学校模拟预测数学试题

2025年四川省达州市渠县东安雄才学校模拟预测数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 如图所示的是一个正方体的展开图，将该展开图折叠成正方体，则与汉字“青”相对的是（ ） A. 来 B. 奋 C. 斗 D. 用 2. 2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数 B. 平均数和方差 C. 众数和中位数 D. 众数和方差 5. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，，则k的值为（　　　）． A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 9. 《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 因式分解=______． 12. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 13. 如图，是的直径，弦交于点，设的半径为，若，，则的度数是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为________． 15. 如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图； （2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点，． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标___________； （2）若点是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点的坐标为___________； （3）求的面积． 19. 如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 21. 【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________； 【解决问题】 （3）若，，且，求的值； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 22. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， 求的长． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 25. 在正方形中： （1）如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； （2）如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省达州市渠县东安雄才学校模拟预测数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 如图所示的是一个正方体的展开图，将该展开图折叠成正方体，则与汉字“青”相对的是（ ） A. 来 B. 奋 C. 斗 D. 用 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图的特征进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：与汉字“青”相对的是“来”； 故选A． 2. 2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是关键； 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则逐项判断即可得出答案. 【详解】解：A、，故选项计算错误； B、，故选项计算错误； C、，故选项计算错误； D、，故选项计算正确； 故选：D. 4. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数 B. 平均数和方差 C. 众数和中位数 D. 众数和方差 【答案】C 【解析】 【分析】通过总人数计算14岁和15岁人数之和为10，众数和中位数固定，平均数和方差随未统计人数变化，无法确定. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵总人数30人，已知12岁7人、13岁11人、16岁2人， ∴14岁和15岁人数之和为人. ∵13岁人数11人，为最多， ∴众数为13岁. ∵数据排序后，累计到13岁为18人，第15和16个数据均在13岁组， ∴中位数为13岁. 平均年龄为，化简为，随a变化； 方差依赖平均数，故均不确定. ∴能确定的统计量是众数和中位数， 故选：C. 5. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 6. 如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质和矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识．利用菱形的性质结合勾股定理，求得，，设，则，，利用正弦函数的定义得出，进而列式，计算得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ∵将矩形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移， ∴，， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， 菱形的边长是， 故选：A． 7. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，，则k的值为（　　　）． A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得C点坐标，结合AC长即可得到A点坐标，根点A在反比例函数的图像上，将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k值． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴C为OB中点， ∵， ∴， ∵， ∴A点坐标为（2，3）， 将A点坐标代入反比例函数得，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键． 9. 《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形及数字的变化规律，由图可知第一次剩下，截取；第二次剩下，共截取；⋯，由此得出第次剩下，共截取，即可得出答案．找出与数据之间的联系，得出规律是解题的关键．也考查了负整数指数幂的运算． 【详解】解：如图，第次后，共截取：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：A． 10. 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线经过点，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，， 故①正确； ②方程有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点， 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，，，，，， ∵为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， ∴只能或， 若，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； ∵点B在与之间（不含端点）， ∴， 解得， ∴， ∴，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立关于a的方程，求解即可． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故答案为：0或． 13. 如图，是的直径，弦交于点，设的半径为，若，，则的度数是__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，连接，则，分别解和求出，，进而得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，轴于点，证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 15. 如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作，交延长线于点，则，证明，则，，从而证明四边形是矩形，再证明，则，故有点在上运动，四边形是正方形，通过正方形的性质和勾股定理得出，作作的对称点，连接，又，所以当三点共线时，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作，交延长线于点，则， 由旋转性质可知：，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上运动，四边形是正方形， 在正方形中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 作作的对称点，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，， 如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、分式的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再利用算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再加减即可； （2）利用分式的运算法则化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图； （2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 【答案】（1）72，，补全条形图如下： （2） 【解析】 【详解】分析：（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案． （2）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可． 详解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%=100人， 则B类别人数为100×40%=40人， 所以D类别人数为100-（4+40+30+6）=20人， 则D类所对应的圆心角是360°×=72°， 中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在C类， 所以中位数落在C类， 补全条形图如下： （2）列表为： 男1 男2 女1 女2 男1 -- 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 -- 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 -- 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 -- 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为． 点睛：此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点，． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标___________； （2）若点是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点的坐标为___________； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形平移以及三角形面积的计算，熟练掌握图形平移的规律（坐标的变化规律）和割补法求面积是解题的关键． 其中涉及的知识点有平面直角坐标系中图形平移时坐标的变化规律（左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标 ）、割补法求不规则图形面积． （1）先确定点到的平移规律（通过坐标变化得出向左平移个单位，向下平移个单位 ），再依据此规律对、进行平移得到、，连接各点画出，并根据平移后的位置确定坐标． （2）利用（1）中得到的平移规律（向左平移个单位，向下平移个单位 ），已知平移后坐标，通过逆向平移（向右平移个单位，向上平移个单位 ）求出坐标． （3）运用“割补法”，用包含的长方形（或梯形）面积减去周围多余三角形的面积，计算出的面积． 【小问1详解】 解：由题意知，向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，对应点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：的面积为． 19. 如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由作图知：． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． 又， ，． ， ， ． 20. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：； 目标2：（1）； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【解析】 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）略 21. 【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________； 【解决问题】 （3）若，，且，求的值； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （3）利用（2）所得的等量关系解得即可； （4）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； （2）大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 长方形的面积为， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （3）由（2）可得，， ， ， 又， ， ， ， ， ； （4）设，， ， ， ，即， ， ， 无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ， ， ， 主舞台和观众区的面积和为． 22. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2） 图象如下： ； 当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； （3）时的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识． （1）分和两种情况求得，证明，利用相似三角形的性质求得； （2）根据函数关系式列表，描点，连线，作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当时，， 当时，， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上，，； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 6 3 0 3 8 4 2 描点，连线，图象略； 【小问3详解】 解：联立方程组， 解得或（舍去）， 观察图象，时的取值范围为． 23. 如图，是的外接圆，， 点 D 是上一点，连接，延长至点F，连接， 使得． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， 求的长． 【答案】（1） 与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明是直径，得到，证明，则，即可得到结论； （2）求出，连接，，作于点H，则，证明，得到，证明D、H、O三点共线，得到，由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解： 与相切， 理由如下： ∵是的外接圆，， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴ 与相切 【小问2详解】 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴ 连接，，作于点H，则 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵ ∴在的垂直平分线上， ∴D、H、O三点共线， ∴ ∴ 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 【答案】（1） （2）3， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，平移问题，与x轴的交点问题的知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式． （2）分别求出直线和解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，由平移可知，再证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形进一步得出，再根据，再根据二次函数的性质求解即可． （3）由平移的性质得出，再利用待定系数法求出新抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，如图1，过点F作交于点W， 由平移可知 ∵，轴交直线于点E， ∴，即， 由可知， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，． 此时点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设抛物线向右平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点代入， 可得出：， 解得：（舍去）或1， 则新抛物线的表达式为：， 令，则， 即， 则，， 即，． 25. 在正方形中： （1）如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； （2）如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴，平分， 作于点，作于点，则，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴ 将沿着翻折，点落在点处， ∴，，， 四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （2）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （3）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，根据翻折的性质可知四边形的边长相等，结合内角是直角，即可证得四边形是正方形． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，则，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，交于点，作于点，则 ，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $