精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高一12月数学适应性测试

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期12月适应性测试 高一数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 4. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 8. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则实数的值为__________． 13. 已知函数，如果恒成立，则的最小值为______． 14. 设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 17. 设，都是锐角，且， （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024-2025学年第一学期12月适应性测试 高一数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，, 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，解得，所以， 又，所以， 故选：C. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误； 当， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误； 故选：A. 4. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 5. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为为第二象限角，且， 所以， 则. 故选：B. 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得函数的定义域，再分别求函数与坐标轴的交点，结合图象，建立不等式，可得答案. 【详解】依题意，函数的定义域为．由图象可得，所以； 由，所以； 由图可知，否则当时，无解，和轴无交点，不符题意， 令，得，所以. 故选：B. 7. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 8. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BD：根据基本不等式运算求解即可；对于C：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出参数，可得函数解析式，结合正弦函数的性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于， 由图可得，而，故，A正确； 又由图知， 则，则， 结合图象可知，故，则，B错误； 故 ，则为偶函数，C正确； 当时，，则， 即函数最小值为，D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 13. 已知函数，如果恒成立，则的最小值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据恒成立，推出，故，由函数单调性求出最小值. 【详解】当时，，即； 当时，，即． 所以当时，；当时，． 又函数连续且单调，需满足单调递增，且当时，，即． 故， 令，开口向上，对称轴为， 故. 故答案为： 14. 设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先作出图象，利用换元法，结合韦达定理，分类讨论得到方程在和内各有一个实数根，，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 由韦达定理可知该方程的两根之积为3， 要使关于的方程恰好有有5个零点， 则方程有5个不同的实数解， 结合图象可知，，，此时方程有4个不同的实数解，不合题意； ，，此时方程有6个不同的实数解，不合题意； 当，，虽说满足方程有5个不同的实数解，但是无解； 所以，， 此时方程在和内各有一个实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3 （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； 【小问2详解】 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 17. 设，都是锐角，且， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）-5 （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一：首先根据平方关系求得的值，再将待求式子分子分母同乘，然后根据正弦二倍角及其降幂扩角公式进行化简整理，最后代入数值求解即可； 方法二：首先根据半角公式求解及的值，然后代入待求式子中进行求解即可. （2）首先根据，利用平方关系求得的值，然后根据凑角得，最后根据余弦的差角公式展开求解即可. 【小问1详解】 方法一，因为是锐角，，所以. . 方法二，因为，所以，， . 【小问2详解】 因为，所以， 若， 则 . 若， 则 . 故或. 18. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据零点的定义，结合对数的运算性质、换元法、一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数， 所以有， ； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为函数有且只有一个零点， 所以方程有唯一实数根， ， 令，， ， 函数有且只有一个零点， 等价于方程有唯一正实数根，且， 当时，，，符合题意， 当时，方程有两个相等的正实数根， 则有，或， 当时，方程化简为：，不符合题意； 当时，方程化简为：， 所以符合题意； 当时，方程有两个不相等的实数根，且一正一负， 所以有，显然成立， 综上所述：的取值范围. 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i），，即， 不妨设，则，即， 又，所以，则，故， 假设，则，即， ， ，又， ，即，这与前面矛盾，故假设错误， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用余弦函数的单调性求解； （2）（i）利用三角恒等变换化简得，令，问题转化为存在两个不相等的满足，利用二次函数的单调性求解；（ii）由（i），，即，利用反证法证明. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 （i）当时，， ， 若，则，令，则， 方程在上有两个不相等的实数根， 即存在两个不相等的满足，其中， 因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 当或1时，，当时，， ，且. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $