第01讲 导数的概念及运算（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第01讲 导数的概念及运算 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 考点一：导数的定义及变化率问题 4 考点二：导数的运算 6 考点三：在点P处的切线 6 考点四：过点P的切线 7 考点五：公切线问题 7 考点六：已知切线或切点求参数问题 8 考点七：利用导数的几何意义求最值问题 8 三阶突破训练 基础训练· 9 能力提升 11 真题感知 14 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 2025年I卷第12题，5分 2024年甲卷第6题，5分 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2022年I卷第15题，5分 2021年甲卷第13题，5分 2021年I卷第7题，5分 （1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 二、课标要求 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（限于形如）的导数. 三、知识导图 （一）导数的概念 （1） 函数在处的导数：如果当时，平均变化率无限趋近于一个①_  _  _  _  _  _  _  _  ，即有极限,则称在处可导，并把这个②_  _  _  _  _  _  _  _  叫做在处的导数（也称为瞬时变化率）,记作或,即③_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . 提醒 代表函数 在 处的导数值;是函数值 的导数，而函数值 是一个常数，其导数一定为0，即. （2）导函数：当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）的导函数有时也记作，即. （3） 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处④_  _  _  _  _  _  _  _  ，即. （二）基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 （为常数） ⑤_  _   ,且 ⑥_  _  _  _  _  _  _  _   ⑦_  _  _  _  _  _  _  _   ⑧_  _  _  _  _  _  _  _  _  _   ⑨_  _  _  _  _  _   ,且 ⑩_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _   ⑪_  _  _  _  _  _   ,且 ⑫_  _  _  _  _  _  _  _  _  _   （三）导数的运算 （1）⑬_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （2）⑭_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （3）⑮_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （4） 复合函数的导数：一般地，对于由函数和复合而成的函数,它的导数与函数,的导数间的关系为⑯_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （四）解题方法总结 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3.高考常考的切线方程 （1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线. （2）是的切线，是y=tan x的切线. （3）是的切线，是的切线. 考点一 导数的定义及变化率问题 典例1．（2025·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 典例2．（2025·江西南昌·期中）有一个宽为20厘米，高为60厘米的长方体容器如图所示，右侧面是一个活塞，容器中装有2000毫升的水，活塞的初始位置（距左侧面）为5厘米，水面高度为20厘米．当活塞位于距左侧面x厘米的位置时，水面高度为y厘米，则当时，水面高度y的瞬时变化率为（   ） A． B． C．5 D． 【方法技巧】 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 4.对解析式形如f(x)＝f'(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数f'(x)，然后令x＝x0，解关于f'(x0)的方程，即可得到f'(x0)的值，进而得到f(x)，f'(x)再进行求解. 跟踪训练1（2025·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 跟踪训练2．（2025·重庆·二模）（多选题）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（    ） A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍 D．若，则收入增长量是投资增长量的 考点二 导数的运算 典例1．下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 典例2．若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则 ． 【方法技巧】 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. （2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 跟踪训练1（2025·湖北·期中）下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 考点三 在点P处的切线 典例1．（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 典例2. （2025·深圳模拟）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_  _  _  _  _  _  _  _  ． 【方法技巧】 函数在点处的切线方程为，抓住关键． 易错点 研究曲线的切线方程问题,分清“在某点处”与“过某点处”是关键. 跟踪训练1（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 跟踪训练2（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 考点四 过点P的切线 典例1.(2025·山东济南·模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝(　　 ) A.0 B.1 C.e D.2e 典例2．过点作直线l与函数的图象相切，则（    ） A．若P与原点重合，则l方程为 B．若l与直线垂直，则 C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则 【方法技巧】 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 跟踪训练1 已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 跟踪训练2 若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 考点五 两条曲线的公切线问题 典例1．（2025·江西·阶段考）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 典例2．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【方法技巧】 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 跟踪训练1 若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ． 跟踪训练2 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 考点六 已知切线或切点求参数问题 典例1．已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河北保定·一模）（多选题）已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【方法技巧】 已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 跟踪训练1 已知直线与曲线相切，则的值为 ． 跟踪训练2若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．－2 C．－1 D．0 考点七 利用导数的几何意义求最值问题 典例1．（2025·四川·模拟）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·福建·三模）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法. 跟踪训练1已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 跟踪训练2设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 1.若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 2.(2025·山东济南模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝(　　 ) A.0 B.1 C.e D.2e 3.(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　 ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 4．（2025·江苏·模拟）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟）下列条件是“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·开学考试）直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·上海·一模）已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为 . 9．（2025·宁夏·模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一﹣．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设 ，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论计算 ． 10．（2025·福建·模拟）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是 .（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时， 1．（2025·长春·模拟）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 2．（2025·安徽·模拟）设函数，则下列四个结论中正确的是（    ） ①函数是偶函数； ②曲线在处的切线方程为； ③当时，单调递减； ④关于的方程在只有两个实根，则实数的取值范围为. A．①② B．①②④ C．①③④ D．③④ 3．（2025·山西·模拟）牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如求解方程，先令，然后对的图象持续实施下面的步骤： 第一步，在点处作曲线的切线，交x轴于； 第二步，在点处作曲线的切线，交x轴于； 第三步，在点处作曲线的切线，交x轴于； …… 利用该方法可得方程近似解（保留三位有效数字）是（    ） A．0.313 B．0.314 C．0.315 D．0.316 4．（2025·河北·模拟）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·模拟）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（2025·江苏·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（    ） A．对任意， B．若，且，则对任意， C．当时，需要作2条切线即可确定的值 D．无论在上取任何有理数都有 7．（2025·河南·模拟）已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为 . 8．（2025·重庆·模拟）已知，过函数与函数的公共点作的切线，若存在一条经过原点，则 ． 9．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 10．（2025·辽宁·模拟）已知点，点，则的最小值为 ． 1．（2021·新高考1卷·7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国甲卷·文8题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考1卷·15题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____________． 4.（2024·全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2022·新高考2卷·14题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 7．（2021·新高考2卷·16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 8．（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 9．（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及运算 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 考点一：导数的定义及变化率问题 6 考点二：导数的运算 9 考点三：在点P处的切线 11 考点四：过点P的切线 13 考点五：公切线问题 15 考点六：已知切线或切点求参数问题 19 考点七：利用导数的几何意义求最值问题 29 三阶突破训练 基础训练· 51 能力提升 54 真题感知 55 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 2025年I卷第12题，5分 2024年甲卷第6题，5分 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2022年I卷第15题，5分 2021年甲卷第13题，5分 2021年I卷第7题，5分 （1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主． 二、课标要求 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式. 2. 通过函数图象，理解导数的几何意义. 3. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（限于形如）的导数. 三、知识导图 （一）导数的概念 （1） 函数在处的导数：如果当时，平均变化率无限趋近于一个①_  _  _  _  _  _  _  _  ，即有极限,则称在处可导，并把这个②_  _  _  _  _  _  _  _  叫做在处的导数（也称为瞬时变化率）,记作或,即③_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . 提醒 代表函数 在 处的导数值;是函数值 的导数，而函数值 是一个常数，其导数一定为0，即. （2）导函数：当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）的导函数有时也记作，即. （3） 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处④_  _  _  _  _  _  _  _  ，即. 【答案】（1） 确定的值；确定的值；；切线的斜率 （二）基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 （为常数） ⑤_  _   ,且 ⑥_  _  _  _  _  _  _  _   ⑦_  _  _  _  _  _  _  _   ⑧_  _  _  _  _  _  _  _  _  _   ⑨_  _  _  _  _  _   ,且 ⑩_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _   ⑪_  _  _  _  _  _   ,且 ⑫_  _  _  _  _  _  _  _  _  _   【答案】0； ； ； ； ； ； ； （三）导数的运算 （1）⑬_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （2）⑭_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （3）⑮_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . （4） 复合函数的导数：一般地，对于由函数和复合而成的函数,它的导数与函数,的导数间的关系为⑯_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . 【答案】； ； ； （四）解题方法总结 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3.高考常考的切线方程 （1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线. （2）是的切线，是y=tan x的切线. （3）是的切线，是的切线. 考点一 导数的定义及变化率问题 典例1．（2025·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 【答案】A 【解析】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确； B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误； D.已知函数在上可导，若， 即，所以，故D错误. 故选：A 典例2．（2025·江西南昌·期中）有一个宽为20厘米，高为60厘米的长方体容器如图所示，右侧面是一个活塞，容器中装有2000毫升的水，活塞的初始位置（距左侧面）为5厘米，水面高度为20厘米．当活塞位于距左侧面x厘米的位置时，水面高度为y厘米，则当时，水面高度y的瞬时变化率为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】根据水的体积可得：，即，则，令，可得， 所以水面高度y的瞬时变化率为. 故选：B. 【方法技巧】 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 4.对解析式形如f(x)＝f'(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数f'(x)，然后令x＝x0，解关于f'(x0)的方程，即可得到f'(x0)的值，进而得到f(x)，f'(x)再进行求解. 跟踪训练1（2025·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【解析】因为所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 跟踪训练2．（2025·重庆·二模）（多选题）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租､水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（    ） A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍 D．若，则收入增长量是投资增长量的 【答案】AC 【解析】由题意可得固定且，又，所以， 所以，由于为定值，所以可得增大时(国民收入越高)， 增大(“边际消费倾向”越大)，故A正确； 由上可得，为定值，故增大，减小(投资越小)，故B错误； 若，由，可得， 由导数的定义可得，所以可得收入增长量是投资增长量的倍，故C正确； 同C项讨论可得若，可得，因此收入增长量是投资增长量的倍，故D错误. 故选：AC. 考点二 导数的运算 典例1．下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.对于，，故 错误； 对于，，故 错误； 对于，，故 正确； 对于，，故 错误. 典例2．若定义域都为R的函数及其导函数，满足对任意实数x都有，则 ． 【答案】2024 【解析】对，两边同时求导导数得， 则，，，， 从而． 故答案为：2025 【方法技巧】 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. （2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 跟踪训练1（2025·湖北·期中）下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，则， 当时，单调递增；当时，单调递减. 对于A，因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，即， 所以，故B正确； 对于C，设函数，则，等于0不恒成立， 故是R上的增函数， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，设函数，则，等于0不恒成立， 故是R上的增函数， 因为，所以，即，故D错误. 故选：D. 跟踪训练2（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【解析】在处n阶可导， 求出，令， 故选：C. 考点三 在点P处的切线 典例1．（2025·四川成都·一模）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 典例2. （2025·深圳模拟）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_  _  _  _  _  _  _  _  ． 【答案】 【解析】当 时，函数，可得.设切点坐标为，则，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，解得，不符合题意，舍去；当 时，函数，可得,设切点坐标为，则，所以切线方程为，因为切线过原点，可得，解得，符合题意，故切点,此时切线方程为，即. 【方法技巧】 函数在点处的切线方程为，抓住关键． 易错点 研究曲线的切线方程问题,分清“在某点处”与“过某点处”是关键. 跟踪训练1（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】求导得，则，又， 所以切线方程为，整理得. 故答案为： 跟踪训练2（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 【答案】 【解析】由求得，，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 由“公法线”得，，， 解得，所以“公法线”方程为， 故答案为：． 考点四 过点P的切线 典例1.(2025·山东济南·模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝(　　 ) A.0 B.1 C.e D.2e 【答案】C 【解析】(1) 由题意得f(x0)＝0，即aln x0－3x0＋2a＝0　①，又f'(x)－3，所以切线斜率k－3，故在点P(x0，0)处的切线方程为y(x－x0)，将(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0　②，联立①②解得a＝x0＝e，故aln x0＝e.故选C. 典例2．过点作直线l与函数的图象相切，则（    ） A．若P与原点重合，则l方程为 B．若l与直线垂直，则 C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则 【答案】AD 【解析】设l与的图象切于点，当点与点不重合时，切线斜率，整理得：，当点与点重合时，切线斜率， 对于A，若P与原点重合，点在函数图象上，则，此时，，l即x轴，方程为，A正确； 对于B，若l与直线垂直，则，， 当点为切点时，或， 当点不为切点时，满足，整理得， 当时，，当时，，B错误； 对于C，当点P在的图象上时，，，则，即，所以或，故有两解，符合条件的直线有两条， C错误； 对于D，若符合条件的l有3条，则点不在图象上，设l与的图象切于点，则有， 设，， 由得或，符合条件的l有3条，有3个零点， 则，所以，，，D正确. 故选：AD． 【方法技巧】 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 跟踪训练1 已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 【答案】 【解析】根据题意得，，设切点坐标为，则， 所以切线的方程为， 将点代入，可得，整理得，故，解得， 故，即切线的斜率为． 故答案为：. 跟踪训练2 若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为， ，切线斜率，在点处的切线方程为：； 切线过点，， 过点可以作曲线的两条切线， 令，则与有两个不同交点，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增，，，即， 又，. 故选：C. 考点五 两条曲线的公切线问题 典例1．（2025·江西·阶段考）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，设函数与直线切于点，所以，故， 即，，解得或. 故选：D 典例2．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】 【解析】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 【方法技巧】 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 跟踪训练1 若曲线与曲线有两条公切线，则的值为 ． 【答案】 【详解】令，，则，， 设，则曲线在处切线为， 设，则曲线在处切线为， 由题意，消去得， 由题意，方程有两个不同的实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，取极大值；当时，取极小值， 又当时，根据以上信息作出的大致图象，    由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根， 所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为． 故答案为：． 跟踪训练2 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与曲线相切于点， 因为直线与曲线相切于点， 设，，且直线过定点， 则，且，所以， 设，则，则，且直线过定点， 则，所以， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且， 当时，，且，所以当时，， 因为，，即， 所以，，所以，故. 故选：A. 考点六 已知切线或切点求参数问题 典例1．已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，设，联立与可得，故， 由得，所以，， 因为，所以，即，又，所以. 故选：B. 典例2．（2025·河北保定·一模）（多选题）已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【答案】ACD 【解析】选项A：联立和2，得， 所以直线与曲线相切，故A正确； 选项B：由，得，由，得，故B错误； 选项C：由，得，令，得， 则，所以切线方程为，即，则， 令，得，则， 所以切线方程为，即，则， 所以，故C正确； 选项D：当时，，令， 则，设过原点的直线与曲线切于点， 则切线方程为， 将原点代入得，整理得， 则，解得或，故D正确. 故选：ACD. 【方法技巧】 已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 跟踪训练1 已知直线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】2 【解析】设切点为，由求导得， 依题意可得：， 由②得代入③，得，代入①，得，故. 故答案为：2. 跟踪训练2若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．－2 C．－1 D．0 【答案】C 【解析】设切点坐标为．由已知，得，则， 解得． 又切点在切线与曲线上， 所以，所以． 令，则． 令，解得．当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以，即，所以，则的最小值为－1． 故选：C． 考点七 利用导数的几何意义求最值问题 典例1．（2025·四川·模拟）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 典例2．（2025·福建·三模）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以，即， 令， 当时，单调增， 当时，单调减， 又，当时，， 故的解集为， 故选：D. 【方法技巧】 已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法. 跟踪训练1已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D． 跟踪训练2设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称 先求出曲线上的点到直线的最小距离． 设与直线平行且与曲线相切的切点，． ，，解得．． 得到切点，点P到直线的距离． 最小值为． 故选：B． 1.若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由题意知，. 故选：B 2.(2025·山东济南模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝(　　 ) A.0 B.1 C.e D.2e 【答案】C 【解析】(1) 由题意得f(x0)＝0，即aln x0－3x0＋2a＝0　①，又f'(x)－3，所以切线斜率k－3，故在点P(x0，0)处的切线方程为y(x－x0)，将(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0　②，联立①②解得a＝x0＝e，故aln x0＝e.故选C. 3.(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　 ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 【答案】B 【解析】(1)因为f(x)＝aln x＋x2，所以f'(x)＋2x.又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f'(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B. 4．（2025·江苏·模拟）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 由题意，解得，所以. 故选：C. 5．（2025·河北·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 6．（2025·河南·模拟）下列条件是“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题知点在直线上运动,与的交点为,由图像可知. 要使过点有两条与曲线相切的直线,则点只需要在点的右侧 结合选项可知为其充分条件 故选:C. 7．（2025·河南·开学考试）直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则，所以，所以， 所以. 对比选项可知直线与曲线相切的一个充分不必要条件为. 故选：B. 8．（2025·上海·一模）已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为 . 【答案】 【解析】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴， 由可得：，， 当当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式， ，即点的瞬时速度的大小为. 故答案为： 9．（2025·宁夏·模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一﹣．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设 ，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论计算 ． 【答案】 【解析】函数，则， ∴，故切线为． ∴， 根据以直代曲，也非常接近切点． 所以可以将代入切线近似代替，即． 故答案为：，． 10．（2025·福建·模拟）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是 .（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时， 【答案】0.52 【解析】由题可知， 所以， 所以, 即GDP增长的速度大约是. 故答案为：. 1．（2025·长春·模拟）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 【答案】B 【解析】， ，，在点的切线方程为，令解得， ，，在点的切线方程为， 令解得. 故选：B 2．（2025·安徽·模拟）设函数，则下列四个结论中正确的是（    ） ①函数是偶函数； ②曲线在处的切线方程为； ③当时，单调递减； ④关于的方程在只有两个实根，则实数的取值范围为. A．①② B．①②④ C．①③④ D．③④ 【答案】A 【解析】对①，因为，，所以为偶函数，所以①正确； 对②，，，， 故曲线在处的切线方程为，所以②正确； 对③，时，，单调递减，所以③错误； 对④， 0 0 0 0 1 1 由上表作出时的图象如下： 则，所以④错误. 故选：A 3．（2025·山西·模拟）牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如求解方程，先令，然后对的图象持续实施下面的步骤： 第一步，在点处作曲线的切线，交x轴于； 第二步，在点处作曲线的切线，交x轴于； 第三步，在点处作曲线的切线，交x轴于； …… 利用该方法可得方程近似解（保留三位有效数字）是（    ） A．0.313 B．0.314 C．0.315 D．0.316 【答案】B 【解析】 所以在处的切线方程，则； 同理，在处的切线方程，令，得， 又，在处的切线方程，令，得． 故选：B． 4．（2025·河北·模拟）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 5．（2025·黑龙江·模拟）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】问题转化为，为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线， 设切点为，则有：，解得， 设两个切点横坐标为，，则有，， 而的最大值和最小值分别为和， 所以， 而，则. 故选：C. 6．（2025·江苏·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（    ） A．对任意， B．若，且，则对任意， C．当时，需要作2条切线即可确定的值 D．无论在上取任何有理数都有 【答案】BCD 【解析】A，因为，则， 设，则切线方程为， 切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误； B，处的切线方程为， 所以与轴的交点横坐标为，故B正确； C，因为，， 所以两条切线可以确定的值，故C正确； D，由选项C可知，，所以无论在上取 任何有理数都有，故D正确. 故选：BCD 7．（2025·河南·模拟）已知是函数的图象上一点，函数满足，则坐标原点到曲线在点处的切线的距离为 . 【答案】 【解析】，因为， 所以，解得，故， 故在处的切线方程为， 故坐标原点到曲线在点处的切线的距离为. 故答案为：. 8．（2025·重庆·模拟）已知，过函数与函数的公共点作的切线，若存在一条经过原点，则 ． 【答案】1 【解析】设与的一个交点坐标为，且过作的切线过原点， 则，即，， ，则， 所以过上一点的切线为， 由该切线过原点及得，， 所以，解得， 因为，所以， 又，所以， 则， 故答案为：1． 9．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】 【解析】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 10．（2025·辽宁·模拟）已知点，点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】易知点在函数上, 设,化简得,即 则点在以为圆心,半径为1的圆周上, 如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可. 设圆心为,可知, 设函数,求导得 易知为单调增函数,且, 所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增, 在上有最小值,最小值, 所以的最小值为. 故答案为: . 1．（2021·新高考1卷·7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 2.（2023·全国甲卷·文8题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以，所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2022·新高考1卷·15题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 4.（2024·全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，故切线方程为， 故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为 故选：A. 5．（2024·全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 6．（2022·新高考2卷·14题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 7．（2021·新高考2卷·16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 8．（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 9．（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$