精品解析：2025年河北省沧州市任丘市梁召镇梁召学校模拟预测数学试题

河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数在数轴上与最近的为（　　） A. B. 6 C. 3 D. 3. 下列选项中，不属于如图所示物体三视图之一的是（　　） A. B. C. D. 4. 观察图中尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的高 C. 是的中位线 D. 是的中线 5. 已知水中约有个水分子，则1瓶的水中水分子的个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 数学课堂上，老师让同学们各写一个数字并计算各小组所写数字的平均数和中位数，某小组原先只有四位同学，他们写的数字为9，8，6，9，计算小组平均数和中位数后，又有两位同学加入，重新计算后发现小组的平均数没变，而中位数变小了，则后面加入的两位同学所写数字可能是（ ） A. 7， 9 B. 7， 8 C. 8， 8 D. 6， 10 7. 若，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：例如 ，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A. 两个方案都能 B. 小聪的方案 C. 小明的方案 D. 两个方案都不能 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ） A. 当时， B. 若，则m只能是5 C. 若，则m只能是4 D. 随着m的增大，n不一定也增大 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标：________． 14. 若，则正整数的值是________． 15. 已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是______． 16. 如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． （1）按键1次后，求A，两区显示的结果的和； （2）若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 18. 在一个不透明的布袋里，装有质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字，2，5．先从袋子里任意摸出1个球，记其标有的数字为，不放回，再从袋子里任意摸出一个球，记其标有的数字为，依次确定有理数． （1）从袋子里摸出1个球，球上的数字为负数的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法求有理数为整数的概率． 19. 如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． （1）若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； （2）若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 20. 如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） （1）坡角________度，________度； （2）求点到地面的距离； （3）求该建筑物的高度． 21. 图1是煤油温度计，该温度计的右侧是华氏温度，左侧是摄氏温度．小明通过查阅资料和观察温度计，得到华氏温度与摄氏温度之间存在着一次函数关系，并记录数据如下． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104 （1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； （2）求与的函数解析式； （3）设（1）中所画的图象与直线交于点，点的实际意义是________； （4）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16，直接写出该温度区间的最大温差． 22. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 23. 已知在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的交轴的正半轴于点，与轴交于点，，小明同学用手中的三角板进行了如下的实验操作． （1）如图1，将三角板的斜边放置于轴上，当点与点重合时，与交于另一点，求的长； （2）将图-1中摆放的三角板的顶点在上顺时针滑动． ①如图2，当点也落在上，且轴时，交轴于点，求点到的距离； ②如图3，若直角顶点恰好落在轴的正半轴上，此时边与相切于点，求点的坐标； ③若直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，且，直接写出的长． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标； （2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ （3）将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； （4）当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意． D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各数在数轴上与最近的为（　　） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】从小到大排列出四个数为，而在和3之间，分别计算、3与1的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴离最近的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是会计算数轴上两点间的距离，即右边数减去左边数． 3. 下列选项中，不属于如图所示物体三视图之一的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．根据三视图的意义，可得答案． 【详解】解：A、是主视图，故A不符合题意； B、是俯视图，故B不符合题意； C、不是图中几何体的三视图，故C符合题意； D、是左视图，故D不符合题意． 故选：C． 4. 观察图中尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. 是的高 C. 是的中位线 D. 是的中线 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图、三角形中位线和三角形相关线段的名称．由作图痕迹可知是分别作的的垂直平分线，垂足分别为，则分别是的中点，据此进行判断即可． 【详解】解：由作图痕迹可知是分别作的的垂直平分线，垂足分别为，则分别是的中点， ∴是的角中线，是的中位线 故选：C． 5. 已知水中约有个水分子，则1瓶的水中水分子的个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的混合运算，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，根据题意计算然后用科学记数法即可． 【详解】解：． 故选：C． 6. 数学课堂上，老师让同学们各写一个数字并计算各小组所写数字的平均数和中位数，某小组原先只有四位同学，他们写的数字为9，8，6，9，计算小组平均数和中位数后，又有两位同学加入，重新计算后发现小组的平均数没变，而中位数变小了，则后面加入的两位同学所写数字可能是（ ） A. 7， 9 B. 7， 8 C. 8， 8 D. 6， 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数及中位数的计算，熟练掌握平均数及中位数的计算方法是解题关键． 先求出四位同学的平均数及中位数，然后将选项中的数字放入，重新计算比较即可． 【详解】四位同学先写出的数字为： ，平均数为中位数为： ∵后两位同学再写出后，发现小组的中位数变小了而平均数没变， ∴选项不符合题意， 、将所写数字重新排序后为， 中位数为： ，不符合题意； 、将所写数字重新排序后为， 中位数为： ，符合题意； 、将所写数字重新排序后为， 中位数为： ，不符合题意； 故选：C． 7. 若，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算化简，然后指数对应相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 8. 定义新运算：例如 ，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，一次函数与反比例函数的图象，根据新运算的法则，列出关系式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴当时，函数图象是过原点的向上的直线，当时，函数图象是过第三象限的双曲线； 故符合题意的是：C 9. 若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，先通分括号内，再运算除法，得，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ∴A、不是整数，故该选项是错误的； B、不是整数，故该选项是错误的； C、不是整数，故该选项是错误的； D、是整数，故该选项是正确的； 故选：D 10. 如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 11. 如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处． 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A. 两个方案都能 B. 小聪的方案 C. 小明的方案 D. 两个方案都不能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握折叠（即是轴对称）的性质是解题的关键． 由折叠的方法和对称性质可得：，，再由两种方案的折叠方法可证明四边形是正方形． 【详解】：连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴， 由折叠方法可知：，，、是关于的对称， ∴，，即是的垂直平分线，， 小聪的方案，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； 小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是是正方形； 综上所述：两种方案中折出的四边形为正方形； 故选A． 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ） A. 当时， B. 若，则m只能是5 C. 若，则m只能是4 D. 随着m的增大，n不一定也增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可得到答案． 【详解】解∶A．当时， 则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， ∴， 故选项正确，不符合题意； B．若， 则m→16→8→4→2→1， ∴m既可能是32，也可能是5， 故选项错误，符合题意； C．若， 则m→2→1， ∴m只能是4， 故选项正确，不符合题意； D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2， ∴随着m的增大，n不一定也增大 故选∶B． 【点睛】本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰雹猜想”的概念是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标：________． 【答案】（答案不唯一，保证，，即可） 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标，根据点在第二象限，以及即可得出符合题意的结果． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， ，时，，满足要求， ， 故答案为：． 14. 若，则正整数的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 15. 已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是______． 【答案】小正方形的边长 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解． 【详解】结合图形可知大正方形的面积为， ∵长方形的面积为， ∴四个长方形的面积总和为， 结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：， 故答案为：小正方形的边长． 16. 如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．先求得，，利用垂径定理求得，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是,则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． （1）按键1次后，求A，两区显示的结果的和； （2）若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】（1）5 （2）4 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【小问1详解】 解：按键1次后，，两区显示的结果的和； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 18. 在一个不透明的布袋里，装有质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字，2，5．先从袋子里任意摸出1个球，记其标有的数字为，不放回，再从袋子里任意摸出一个球，记其标有的数字为，依次确定有理数． （1）从袋子里摸出1个球，球上的数字为负数的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法求有理数为整数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）利用概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：装有质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字，2，5， ∵只有是负数， ∴从袋子里摸出1个球，球上的数字为负数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画如下树状图： 共有6种等可能的结果，其中为整数有2种可能结果，分别为和， 有理数为整数的概率． 19. 如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． （1）若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； （2）若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】（1）①；②4 （2）抽到的是卡片 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：①； ②当时，； 【小问2详解】 由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 20. 如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） （1）坡角________度，________度； （2）求点到地面的距离； （3）求该建筑物的高度． 【答案】（1）30，30 （2）点到地面的距离为5米 （3）该建筑物的高度为15米 【解析】 【分析】（1）根据坡度为，得到，过点D作于点F，根据三角形的内角和定理得到结论； （2）过点作，交的延长线于点E，根据三角函数的定义得到的长度； （3）根据题意及（1）中的结论，可得，再根据，利用正切值求解三角形，得出，在中，利用正弦值求即可求出的长度． 【小问1详解】 解：坡度为， ， ， 过点D作于点F， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点，则（米）， 即点到地面的距离为5米； 【小问3详解】 解：，，． 又，（米）， （米）． 在中，（米）， 即该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 21. 图1是煤油温度计，该温度计的右侧是华氏温度，左侧是摄氏温度．小明通过查阅资料和观察温度计，得到华氏温度与摄氏温度之间存在着一次函数关系，并记录数据如下． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104 （1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； （2）求与的函数解析式； （3）设（1）中所画的图象与直线交于点，点的实际意义是________； （4）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16，直接写出该温度区间的最大温差． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） （3）华氏温度的值与摄氏温度的值相等； （4）该温度区间的最大温差是40摄氏度 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意描点连线即可得到图象； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据交点的实际意义进行解答即可； （4）根据题意得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与的函数解析式为． 将，代入中，得 解得， 与的函数解析式为； 【小问3详解】 解：点的实际意义是华氏温度的值与摄氏温度的值相等； 故答案为：华氏温度的值与摄氏温度的值相等 【小问4详解】 解：根据题意得． 当时， 解得； 当时， 解得； ， 该温度区间的最大温差是40摄氏度． 22. 【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 已知在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的交轴的正半轴于点，与轴交于点，，小明同学用手中的三角板进行了如下的实验操作． （1）如图1，将三角板的斜边放置于轴上，当点与点重合时，与交于另一点，求的长； （2）将图-1中摆放的三角板的顶点在上顺时针滑动． ①如图2，当点也落在上，且轴时，交轴于点，求点到的距离； ②如图3，若直角顶点恰好落在轴的正半轴上，此时边与相切于点，求点的坐标； ③若直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，且，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①3；②；③或3 【解析】 【分析】（1）连接，求出圆心角，根据弧长公式计算即可； （2）①根据垂径定理得到．再由勾股定理即可求出答案；②连接，过点作于点，证明四边形为矩形，则．得到，勾股定理求出，，即可得到答案；③分点在点的上方和在点的下方两种情况分别画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 解：连接，则， 的长为； 【小问2详解】 ①轴，且轴，轴互相垂直， ， ∴． 连接， 由勾股定理可得， 点到的距离为3； ②连接，过点作于点，如图． 边与相切于点， ． ，， 四边形为矩形， ． ， ， ， ， ； ③当点在点的上方时，如图，过点作于点，连接． ， 为的直径， 经过点，． ． ， ，． ， ， ， ； 当点在点的下方时，如图． 过点作于点，连接， 同理可得，， ． ， ， ， 点，重合， 综上可知，的长为或3． 【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的性质、弧长公式、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握圆的相关定理和添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标； （2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ （3）将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； （4）当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，函数图象的平移及二次函数的基本性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意分情况分析：当时，当时，当时，当时，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出平移后的点的坐标为，，线段的两个三等分点坐标为，，设平移后的抛物线解析式为，然后求解即可； （4）根据题意得出分三种情况分析：当时，当时，当时，依次结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴ ，解得， 抛物线的解析式为； ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 抛物线的顶点坐标为，点． 当时，令，解得，． 观察图象可得当时，图象的最大值为9，最小值为5， 图象的最大值与最小值的差为4； 当时，图象的最大值为5，最小值为， 令， 解得，（舍去）． 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为4； 【小问3详解】 ，， ， 线段的两个三等分点坐标为，． 设平移后的抛物线解析式为， 将，代入，得 解得，， 平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 抛物线的顶点为， 平移前、后抛物线的顶点之间的距离为， 抛物线平移的最短路程为； 【小问4详解】 解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 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