专题01 整式乘除的化简求值（五大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 整式乘除的化简求值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式乘除的化简（常考点） 1 题型二、整式乘除的化简求值（重点） 2 题型三、整式乘除与字母取值无关问题（重点） 4 题型四、整式乘除阅读理解（难点） 5 题型五、整式乘除规律探索（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、整式乘除的化简（常考点） 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 7．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 题型二、整式乘除的化简求值（重点） 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 9．（24-25七年级上·上海松江·期中）先化简后求值：，其中（是正整数）． 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（24-25七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 12．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 13．（24-25七年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 14．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 题型三、整式乘除与字母取值无关问题（重点） 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别记为、          (1)比较与的大小，并说明理由 (2)若一个正方形的周长与长方形甲的周长相等 ①求该正方形的边长（用含m的式子表示） ②若该正方形的面积为．请问与的差（即）是否与m的取值有关？请说明理由． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 题型四、整式乘除阅读理解（难点） 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 18．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 19．（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 20．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 题型五、整式乘除规律探索（难点） 21．（24-25七年级上·上海闵行·期末）为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 22．（24-25七年级上·上海·期中）我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）定义，若，求x． 3．（22-23七年级上·上海静安·期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 4．（24-25七年级上·上海·期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 5．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式乘除的化简求值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、整式乘除的化简（常考点） 1 题型二、整式乘除的化简求值（重点） 2 题型三、整式乘除与字母取值无关问题（重点） 5 题型四、整式乘除阅读理解（难点） 7 题型五、整式乘除规律探索（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、整式乘除的化简（常考点） 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ； 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再单项式乘以单项式，然后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：原式 ． 7．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型二、整式乘除的化简求值（重点） 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式 9．（24-25七年级上·上海松江·期中）先化简后求值：，其中（是正整数）． 【答案】， 【详解】 ∵ ∴原式． 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【详解】 ∵ ∴， ∴， ∴原式． 11．（24-25七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 12．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 13．（24-25七年级上·上海·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，，解得，， ∴原式 ． 14．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】化简结果，代数式的值为． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型三、整式乘除与字母取值无关问题（重点） 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别记为、          (1)比较与的大小，并说明理由 (2)若一个正方形的周长与长方形甲的周长相等 ①求该正方形的边长（用含m的式子表示） ②若该正方形的面积为．请问与的差（即）是否与m的取值有关？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②与的差（即）是与m的取值无关 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：①设正方形的边长为x， 根据题意得： ， 该正方形的边长为； ②，， 与的差（即）与m的取值无关． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 题型四、整式乘除阅读理解（难点） 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 18．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【答案】(1)两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， (2)； (3)见解析 【详解】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 19．（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)正方形和正方形的面积和为． 【详解】（1）解：（1）设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 20．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 题型五、整式乘除规律探索（难点） 21．（24-25七年级上·上海闵行·期末）为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；② 【详解】（1）解：新图形的的面积为； 故答案为：； （2）解：①； 根据面积相等，得， 即； 所以或． ②，由①得， 当时，， 解得． 22．（24-25七年级上·上海·期中）我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 【答案】； ，； ； ，方法见解析． 【详解】解：由题意可知：平面内有条直线时，平面被分成个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 根据规律可知：当平面内有条直线时，将增加个平面，平面被分成个平面， 故答案为：； 根据规律可知：，，，，， 把这组差相加可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 把、、分别代入， 可得：， 解方程组得：， ， 故答案为：； 方法一、个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴， ∴； 方法二、设， 把、、、代入， 可得：， 解方程组可得：， ． 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）定义，若，求x． 【答案】 【详解】解：由题意，得 ． 3．（22-23七年级上·上海静安·期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④． 问题解决：已知，且满足等式， (1)求代数式、的值； (2)化简代数式，并求当，时该代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 由得：，即， 所以，故得，解得； 所以，； （2）解： ， 当，时，原式． 4．（24-25七年级上·上海·期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)会有第二次相遇，用时秒 【详解】（1）解：（1）①甲走到点C时，用时：（秒）； 故答案为：； ②（米） 则当甲走到点C时，乙走了米； 故答案为：； ③， ∴的面积＝（平方米）， 故答案为：； ④设这一次相遇，用时t秒， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在上， 根据题意得： ， 答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒． 5．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$