5.5　三元一次方程组 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.5 　三元一次方程组 学习目标 1.理解三元一次方程(组)的定义，会判断一个方程组是不是三元一次方程组； 2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会消元思想.（重难点） 新课讲授 探究一：三元一次方程（组）的概念 问题：观察列出的三个方程，你有什么发现？ 三个方程中都含有三个未知数，未知数的次数都是1. 如何命名呢？ 知识归纳 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 在这个方程组中，和都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程. 三元一次方程: 三元一次方程组: 探究二：求解三元一次方程组 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 思考：怎样解三元一次方程组呢？ 我们会解二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 用代入消元法试一试！ 解方程组： 解:由方程①得 z=39-3x-2y, ④ 把④分别代入①③，得 x-y=5, ⑤ 8x+4y=91. ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 所以原方程组的解是 消去了未知数x，变成二元一次方程组了！ 检验可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不必写出. ,y=，代入④，得z=. 知识归纳 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 知识点一：三元一次方程(组)的定义 1. (1)含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作_________________； (2)共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作______________________． 三元一次方程 三元一次方程组 自学自研 A 知识点二：三元一次方程组的解法 3. (1)三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个_______________________； (2)解三元一次方程组的基本思路仍然是“________”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”； 三元一次方程组的解 消元 (3)解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值； ⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． A 解：①＋②＋③，得2x＝36， 解得x＝18， 把x＝18代入①，得y＝17， 把x＝18代入③，得z＝2， 解：①＋②，得2y＝－5－1，解得y＝－3， ②＋③，得2x＝－1＋15，解得x＝7， 把x＝7，y＝－3代入①， 得－3＋z－7＝－5，解得z＝5， 导学导练 解：②－①，得3x＋2y＝5④， ③－②，得5x＋2y＝11⑤， ⑤－④，得2x＝6，解得x＝3， 把x＝3代入④，得y＝－2， 把x＝3，y＝－2代入①， 解得z＝－5， 7. 【例2】 一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z. 这个三位数是473 8. 一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495.求原来的三位数． 解：设原来的三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z， ∴原来的三位数是631 9. 【例3】 有A，B，C三种盐水，按A与B数量之比为2∶1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1∶2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A，B，C数量之比为1∶1∶3，混合成的盐水浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？ 解：设盐水A的浓度是x，盐水B的浓度是y，盐水C的浓度是z， 答：盐水C的浓度是8% 10. 某商品共有76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件．买第一件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%.最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售，那么买三件的顾客有多少人？ 解：设买一件的顾客有a人，买两件的顾客有b人，买三件的顾客有c人， 答：买三件的顾客有14人 课堂小结 三元一次方程组 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程. 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 三元一次方程（组）的概念 三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. “消元法”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”. 三元一次方程组的解法 2. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,b－c＝3)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＋z＝1，,z＋c＝3)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－3y＝7，,5x－2y＝14，,2x－y＝4)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy＋z＝3，,x＋yz＝5，,xy＋y＝7)) 4. (1)解三元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋z＝－3，①,x＋2y－z＝1，②,x＋y＝0，③))要使解法较为简便，首先应进行的变形为( ) A．①＋② B．①－② C．①＋③ D．②－③ (2)解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝1，①,y－z＝15，②,x＋z＝20.③)) 则原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝17，,z＝2)) 【典例导引】 5. 【例1】解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＋z－x＝－5，①,x＋y－z＝－1，②,x＋z－y＝15.③)) 则原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－3，,z＝5)) 【变式训练】 6. 解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋z＝0，①,4x＋y＋z＝5，②,9x＋3y＋z＝16.③)) 则原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2，,z＝－5)) 由题意列方程组，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(100x＋10y＋z－(100z＋10y＋x)＝99，,x＋y＋z＝14，,x＋z＝y，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7，,z＝3，)) 根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－z＝2，,x＝2y，,(100x＋10y＋z)－(100z＋10y＋x)＝495，)) 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，,z＝1.)) 根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＝(2＋1)×13%，,x＋2y＝(1＋2)×14%，,x＋y＋3z＝(1＋1＋3)×10.2%，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12%，,y＝15%，,z＝8%.)) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝33，,a＋2b＋3c＝76，,a＋0.9×2b＋0.8×3c＝76×0.85，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝15，,c＝14.)) $$