4.2.1 一次函数与正比例函数 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.2.1 一次函数与正比例函数 核心素养目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 4.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. 探究新知 探究一、一次函数与正比例函数的概念 问题1.某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm. （1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表： （2）你能写出y与x之间的关系式吗？ 解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x. 问题2.某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 解：（2）y=0.12x；（3）z=60-0.12x. 研讨以下两个函数关系式: (1)y=0.5x+3.       (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？ 解析:1.都是含有两个变量x，y的等式. 2.x和y的指数都是一次. 3.自变量x的系数都不为0. 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 思考: 一次函数的结构特征有哪些？ 答：一次函数的结构特征：（1）k≠0；（2）x的次数是1；（3）常数项b可以为一切实数. 考点1 一次函数与正比例函数的判断 例1 .下列关系式中，哪些一定是一次函数，哪些一定是正比例函数？ 解：(1)（3）（4）（6）是一次函数，（3）（6）是正比例函数. 方法点拨： 1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 思考.交流 对于y=-x-4而言，自变量x每增加1，函数值怎样变化，对于y=2πx呢？ 对y=-x-4而言，自变量x每增加1，函数值就减少4，对y=2πx而言，自变量x每增加1，函数值就增加2π. 归纳：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k,函数值的变化是均匀的. 知识点一：均匀变化的概念 1. (1)均匀变化是指一个变量增加______的数值时，另一个变量的改变量是_________； (2)例如在匀速直线运动中，速度对于时间是均匀变化的，即每经过相同的时间间隔，物体移动的距离增量相同． 固定 相同的 自学自研 2. 夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t(h)与蚊香长度s(cm)的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)自变量是_______________，蚊香长度随着蚊香燃烧时间是______变化(填“均匀”或“不均匀”)； (2)估计这盘蚊香可以燃烧______h ； (3)试写出蚊香长度s与蚊香燃烧时间t的关系式：______________． 蚊香燃烧时间 均匀 10.5 蚊香燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85 s＝105－10t 知识点二：一次函数和正比例函数的概念 3. 一次函数与正比例函数的概念 (1)如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，_______)的形式，则称y是x的一次函数； (2)特别地，当_______时，称y是x的正比例函数． k≠0 b＝0 ①②④ ① 2 知识点三：根据实际问题列一次函数关系式 5. 根据实际问题确定一次函数关系式的步骤： (1)审清题意，找出等量关系； (2)用字母表示自变量与函数，根据等量关系列出关系式； (3)化简，将函数关系式写成一般形式． 6. 地面温度为15 ℃，如果高度每升高1千米，气温下降6 ℃，则高度h(千米)与气温t(℃)之间的关系式为h＝______. 【典例导引】 7. 【例1】已知函数y＝(m－1)x＋m2－1是正比例函数，则m＝_______． －1 导学导练 【变式训练】 8. y＝(m＋4)x|m|-3＋1是一次函数，则m的值为_____． 4 9. 【例2】写出下列各题的函数关系式，并判断y是 x的一次函数还是正比例函数． (1)已知A，B两地相距400 km，甲车从A地出发，以60 km/h的速度匀速行驶到B地，设甲车距离B地的路程为y(km)，行驶的时间为x(h)，写出y关于x的函数关系式； (2)等腰三角形的顶角的度数为y，底角的度数为x，写出y与x之间的函数关系式． 解：(1)由题意，得y关于x的函数关系式为y＝400－60x，y是x的一次函数 (2)根据三角形内角和得2x＋y＝180，∴y＝180－2x， 即y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋180，y是x的一次函数 10. 写出下列各题的函数关系式，并判断y是x的一次函数还是正比例函数． (1)汽车离开A站5千米以后，以40千米/小时的平均速度行驶了x小时，写出汽车离开A站所走的路程y(千米)与时间t(小时)之间的关系式； (2)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水已成为全球的共识．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出60滴水，每滴水约0.05毫升．小康洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水．设小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，写出y与x之间的关系式． 解：(1)由题意可得y＝5＋40x，y是x的一次函数 (2)由题意，得y＝60×0.05x＝3x，y是x的正比例函数 11. 【例3】 如图，甲、乙两地相距100 km，现有一列火车从乙地出发，以80 km/h的速度向丙地行驶，设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火车与甲地的距离．   (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当x＝0.5时，求y的值． 解：(1)y与x之间的关系式y＝100＋80x，y是x的一次函数 (2)当x＝0.5时，y＝100＋80×0.5＝140，∴y的值为140 12. 某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表： 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 耗油量y/L ____ _____ _____ _____ (2)求油箱中剩余油量Q(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式，Q是x的一次函数吗？ (3)当汽车行驶路程为400 km时，油箱中剩余的油量是多少？ 0 6 12 18 4. (1)下列函数：①y＝ eq \f(x,3)，②y＝2x－1，③y＝ eq \f(1,x)，④y＝2－3x，⑤y＝x2－1，是一次函数的有__________(填序号)；是正比例函数的有________ (填序号)； (2)若函数y＝－7x＋m－2是正比例函数，则m的值为______． eq \f(15－t,6) 解：(2)Q＝60－ eq \f(6,50)x＝60－ eq \f(3,25)x，Q是x的一次函数 (3)当x＝400时，Q＝60－ eq \f(3,25)×400＝60－48＝12 $$