1.2 一定是直角三角形吗？ 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.2　一定是直角三角形吗？ 边 角 特殊 三角形 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 性质 判定 应用 …… ∠A+∠B=90°（角） ∠C=90°或∠A+∠B=90°（角） a2+b2=c2（边） ？（边） 一般 三角形 学习目标 探索新知 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①3，4，5； ②5，12，13； （学生） ③8，15，17；(教师) 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 归纳·总结 符号语言： ∵在△ABC中，a2 + b2 = c2 ∴△ABC是直角三角形. 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 知识点一：勾股定理的逆定理 1. (1)如果三角形的三边长a，b，c满足______________，那么这个三角形是直角三角形； 几何语言： 如图，在△ABC中， ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为________三角形， ∴∠______＝90°； a2＋b2＝c2 直角 C 自学自研 (2)利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法： ①首先分别计算三角形三边的平方； ②然后比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则三角形是直角三角形；若不相等，则三角形不是直角三角形． 2. (1) 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形： ①a＝2，b＝3，c＝4； ②a＝9，b＝7，c＝12； ③a＝25，b＝20，c＝15. 解：①∵22＋32≠42，∴不是直角三角形 ②∵92＋72≠122，∴不是直角三角形 ③∵152＋202＝252，即c2＋b2＝a2， ∴是直角三角形 (2)(2025·茂名期中)已知(x－12)2＋|y－5|＋(z－13)2＝0，则以x，y，z为边长的三角形是________三角形． 直角 知识点二：判断网格中三角形的形状 3. (1)计算网格中三角形三边的长的平方的值； (2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上． (1)AB2＝______，BC2＝______，AC2＝______； (2)△ABC是________三角形． 5 20 25 直角 知识点三：勾股数 5. (1)满足a2＋b2＝c2的三个__________，称为勾股数； (2)注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5，6，6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数； ②一组勾股数扩大相同的整数倍后得到的三个数仍是一组勾股数； ③记住常用的勾股数，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 正整数 6. (1)下列几组数，为勾股数的一组是( ) A．1.4，4.8，5    B．－15，36，39 C．21，45，51    D．8，15，17 (2)观察下面几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； 请你写出以上规律的第④组勾股数：________________． D 9，40，41 【典例导引】 7. 【例1】 如果三条线段长a，b，c满足a2＝b2－c2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？若是的话，哪个角是直角？若不是的话，请说明原因． 解：∵a2＝b2－c2， ∴b2＝a2＋c2， 由勾股定理的逆定理，得三条线段长a，b，c组成的三角形是直角三角形，b边对的角是直角 导学导练 8. (2025·广州月考)已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，试判断这个三角形的形状． 解：∵(a－b)2＝c2－2ab， ∴a2－2ab＋b2＝c2－2ab， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形 9. 【例2】 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸(单位：cm)如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 解：这个零件不符合要求， 理由如下：由图可知：AD＝8 cm，AB＝23 cm，BD＝25 cm， ∴AB2＋AD2＝529＋64＝593≠625＝252＝BD2， ∴△ABD不是直角三角形，即∠A≠90°， ∴这个零件不符合要求 10. (2025·茂名期末)如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3. (1)判断△ABC的形状； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25， ∵AB＝13，BC＝12，AC2＋BC2＝25＋122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2＋BC2＝AB2， 根据勾股定理逆定理可知， △ABC是直角三角形 11. 【例3】 如图所示，我校现有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种草皮．经测量，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝4 m，AD＝13 m，CD＝12 m. (1)求证：∠ACD＝90°； (2)若每种植1 m2草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 解：(1)在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝52， ∴AC＝5 m.在△DAC中， ∴AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2， ∴△DAC是直角三角形，∠ACD＝90° ∵每种植1 m2草皮需要200元， ∴费用为：36×200＝7 200(元). 答：总共需投入7 200元 12. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C(点B，C处于同一水平面上)的距离AC＝25米，且BC＝15米． (1)求∠ABC的度数； (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长). 解：(1)∵AB2＋BC2＝202＋152＝625，AC2＝252＝625， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°　 (2)设AD＝x米， 若点D恰好在边AC的垂直平分线上， 则CD＝AD＝x米，BD＝(20－x)米， 在Rt△BDC中，DC2＝BD2＋BC2， ∴x2＝(20－x)2＋152， 直角三角形 …… 应用 角：∠A+∠B=90° 边：a2+b2=c2 边角：…… 性质 从特殊到一般、数形结合 判定 角：∠C=90°或∠A+∠B=90° 边：a2+b2=c2 知Rt△ABC 判Rt△ABC 学习的路径：操作—猜想—验证—归纳 课堂小结 (2)四边形ABCD的面积＝S△ABC－S△ACD ＝ eq \f(1,2)×5×12－ eq \f(1,2)×3×4＝24 (2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△DAC＝ eq \f(1,2)BC·AB＋ eq \f(1,2)DC·AC＝ eq \f(1,2)×4×3＋ eq \f(1,2)×12×5＝36(m2)， 答：这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为 eq \f(125,8)米 解得x＝ eq \f(125,8). $$