1.1.1 认识勾股定理 课件-2025-2026学年北师大版2024八年级数学上册

1.1.1 认识勾股定理 情境引入 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 核心素养目标 （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 1 2 1 SP+SQ=SR AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 勾股定理的初步认识 一 讲授新课 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面. 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）： A B C 穿越毕达哥拉斯做客现场 正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C的面积 + = 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 知识链接 例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 利用勾股定理进行计算 二 典例精析 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 方法总结 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 方法总结 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题． 方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 知识点一：探索勾股定理 1. (1)如图，以Rt△ABC的直角边a，b，斜边c为边作三个正方形，观察下面两幅图： 自学自研 (2)填表： A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积) 左图 ____ ____ ____ 右图 ____ ____ ____ A，B，C面积关系 ___________________ 直角三角形三边数量关系 _____________________ 4 9 13 16 9 25 SA＋SB＝SC a2＋b2＝c2 2. (1)如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大正方形的面积为49，则正方形A，B的面积和是________； 49 (2)如图，三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3＝________． 169 知识点二：勾股定理 3. (1)直角三角形_____________________________________． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么__________________； 两直角边的平方和等于斜边的平方 a2＋b2＝c2 (2)几何语言： 如图，在Rt△ABC中， ∵____________________________________________， ∴__________________． ∠C＝90°，a，b是直角边，c是斜边 a2＋b2＝c2 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， (1)若a＝5，b＝12，则c＝____； (2)若a＝15，b＝20，则c＝____． 13 25 知识点三：勾股定理的简单应用 5. (1)利用勾股定理可以求线段的长度； (2)已知直角三角形任意两边，必可用勾股定理求解第三边． 6. 如图，从电线杆离地面12 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部5 m，那么需要钢索的长度是__________m． 13 【典例导引】 7. 【例1】 如图，图中数字与字母代表正方形的面积，那么A＝________，B＝________． 25 144 导学导练 【变式训练】  8. (2025·深圳福田区模拟)如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积的和是64，则最大的正方形的面积为________． 64 9. 【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长． (1)若a＝3，b＝4，则c＝________； (2)若a＝8，c＝17，则b＝________． 5 15 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长． (1)若b＝8，c＝10，则a＝______； (2)若c＝20，a∶b＝4∶3，则b＝________． 6 12 11. 【例3】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，AC＝13.求BC的长以及△ABC的面积．  解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，AC＝13， 由勾股定理得BC2＝AC2－AB2＝25， ∴BC＝5， 12. (2025·佛山南海区月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8，BC＝6.求斜边上的高CD的长．  解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得AB＝10， ∵CD为斜边AB上的高， 13. 【例4】 一辆消防车载有可伸缩的云梯，如果云梯伸长后的最大长度为25米．已知消防车停放的地点使云梯的底部A(若消防车的车高忽略不计)与建筑物BC的距离为7米，如示意图，问此辆消防车的云梯伸长到最大长度后的顶端可以达到建筑物的最大高度是多少？ 解：∵BC⊥AC， ∴∠BCA＝90°， ∴AD2＝CD2＋AC2， ∵AC＝7米，AD＝25米， 由勾股定理得CD＝24米， ∴可达到的最大高度为24米 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 课堂小结 利用勾股定理进行计算 ∴△ABC的面积＝ eq \f(1,2)AB·BC＝ eq \f(1,2)×12×5＝30 ∴S△ABC＝ eq \f(1,2)AB·CD＝ eq \f(1,2)AC·BC， ∴ eq \f(1,2)×10CD＝ eq \f(1,2)×8×6， ∴CD＝ eq \f(24,5) $$