7.3.2 平行线的性质 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.3.2 平行线的性质 学习目标 1. 通过阅读课本，探索平行线的性质，并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言；了解平行线的性质和判定的区别，提高学生的分析能力和归纳总结能力． 2．通过学生观察、动手操作，培养他们主动探索与合作的能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力． 2 核心知识点一 探究学习 平行线的性质 我们已经探索过平行线的性质，你会证明它们吗？ 定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 已知：如图，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. A B C D E F M N 1 2 如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 3 证明： 假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 本过程体现了反证法解决问题的应用 A B C D F M N 1 2 G H E 4 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． 表达方式：如图，因为a∥b，(已知) 所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等) 总结归纳 5 利用“两直线平行，同位角相等”证明： 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 分析：这是一个文字证明题，同理需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言. 已知：直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l截出的内错角， 求证：∠1=∠2. 6 证明：∵l1∥l2 （已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠2=∠3（对顶角相等）， ∴∠1=∠2（等量代换）. 已知：直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l截出的内错角， 求证：∠1=∠2. 7 总结归纳 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简称：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，因为a∥b (已知) ， 所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) . 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等． 8 利用“两直线平行，同位角相等”证明： 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 1 2 b c 3 a 9 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 1 2 b c 3 a 证明：∵a ∥b （已知）， ∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵ ∠2与∠3互补， ∴ ∠2+∠3= 180°（互补的定义）. ∴ ∠3=180°-∠2（等式的性质）. ∴ ∠1= 180°-∠2（等量代换）. ∴ ∠1 + ∠2= 180°（等式的性质）. ∴ ∠1与∠2互补. 10 总结归纳 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． 表达方式：如图，因为a∥b (已知) ， 所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 11 利用“两直线平行，同位角相等”证明： 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 12 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵ b∥a(已知)， ∴∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等). ∵c∥a(已知)， ∴∠3=∠1( 两直线平行，同位角相等). ∴∠2=∠3(等量代换). ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 13 总结归纳 性质4：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简称：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：∵a∥b， a∥c （已知） ∴ b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行） 14 总结归纳 平行线的性质： 定理1：两直线平行，同位角相等. 定理2：两直线平行，内错角相等. 定理3：两直线平行，同旁内角互补. 定理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 15 平行线的判定和性质的区别和联系 联系：平行线的判定和性质反映了角的数量关系和直线的位置关系之间的相互转换. 区别：平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直线平行得到两角相等或互补， 是由位置关系得到数量关系. 总结归纳 16 知识点一：平行线的性质定理1 1. (1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角________. 简述为：____________________________； (2)几何语言： 如图， ∵________， ∴____________； 相等 两直线平行，同位角相等 a∥b ∠1＝∠2 自学自研 2. 如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为_________． 109° 知识点二：平行线的性质定理2 3.  (1)两条平行直线被第三条直线所截，内错角_______. 简述为：__________________________； (2)几何语言： 如图， ∵________， ∴____________． 相等 两直线平行，内错角相等 a∥b ∠1＝∠2 4. 小红正在证明“两直线平行，内错角相等”，她的证明过程是这样的．已知：如图，AB∥CD，求证：∠AFG＝∠FGD. 证明：∵AB∥CD， ∴∠FGD＝____________(_________________________)， ∴∠EFB＝___________(______________)， 即∠AFG＝__________(等量代换). ∠EFB 两直线平行，同位角相等 ∠AFG 对顶角相等 ∠FGD 知识点三：平行线的性质定理3 5. (1)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角_______． 简述为：______________________________； (2)几何语言： 如图， ∵________， ∴__________________． 互补 两直线平行，同旁内角互补 a∥b ∠1＋∠2＝180° 6. 请你完成定理“两直线平行，同旁内角互补”的证明． 已知：如图，a∥b.求证：∠1＋2＝180°. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)， ∵∠2＋∠3＝180°(邻补角性质)， ∴∠1＋∠2＝180°(等量代换) 知识点四：平行线的传递性 7. (1)平行于同一条直线的两条直线_______； (2)几何语言： 如图， ∵a∥b，b∥c， ∴a____b． 平行 ∥ 8. 如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是____________，理由是___________________________________． EF∥CD 平行于同一条直线的两条直线平行 【典例导引】 9. 【例1】 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( ) A.40° B．50° C．60° D．70° B 导学导练 【变式训练】 10. 把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝( ) A.10° B．15° C．20° D．30° B 11. 【例2】(2025·揭阳榕城区期末)如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD. (1)求证：AC⊥BD； (2)若∠A＝2∠D，求∠A的度数． 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD， ∴∠BEC＝90°， ∴AC⊥BD (2)∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠D， ∵AC⊥BD， ∴∠A＋∠ABE＝90°， ∵∠A＝2∠D， ∴2∠D＋∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠A＝2×30°＝60° 12. 如图，∠BCD＝∠BFE，∠1＋∠2＝180°. (1)求证：AD∥CE； (2)若DA⊥AB，∠1＝150°，求∠BEF的度数． 解：(1)∵∠BCD＝∠BFE， ∴DC∥FE， ∴∠2＝∠DCE， ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＋∠DCE＝180°， ∴AD∥CE　 (2)∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝150°， ∴∠2＝180°－∠1＝30°， ∵DA⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∵AD∥CE， ∴∠DAB＝∠CEB＝90°， ∴∠BEF＝∠CEB－∠2＝60°， ∴∠BEF的度数为60° 课堂小结 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 简述为：两直线平行，同位角相等 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 简述为：两直线平行，内错角相等 定理 两条平行直线被第三条直线所截 ,同旁内角互补 简述为：两直线平行，同旁内角互补 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. 34 ∴∠CBE＝ eq \f(1,2)∠ABC，∠BCE＝ eq \f(1,2)∠BCD， ∴∠CBE＋∠BCE＝ eq \f(1,2)(∠ABC＋∠BCD)＝ eq \f(1,2)×180°＝90°， $$