7.2.2 公理、定理与证明 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.1.3 公理、定理与证明 学习目标 1. 通过学习知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念，发展学生的思维能力． 2．学生通过具体实例学习证明的基本步骤和书写格式，发展推理能力． 3．通过理解证明要步步有据，培养学生养成科学、严谨的学习态度． 2 核心知识点一 探究学习 公理与定理 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名叫做《几何原本》,为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 3 其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理，而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面. 《几何原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《几何原本》是一部具有划时代意义的著作. 4 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名: 2.公理: 3.证明: 4.定理: 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明. 经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 5 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等. 这些基本事实又叫做公理 6 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据． 例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样也可以作为证明的依据. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 7 总结归纳 公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据． 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理需要经过证明． 8 定理 同角（等角）的补角相等. 定理 同角（等角）的余角相等. 定理 三角形的任意两边之和大于第三边 从上面这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了，例如，我们可以证明下面的定理。 9 几何的推理方法主要有两种： 一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件逐步推导出结论； 一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反推到条件． 总结归纳 10 证明的一般步骤： ①审题，分清命题的条件和结论； ②画图，结合图形写出已知和求证； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程． 总结归纳 11 知识点一：公理、定理 1. (1)公认的真命题称为________，除了公理外，其他命题的真假都需要通过_______________的方法进行判断； 公理 演绎推理 自学自研 (2)选用的八条基本事实： ①两点确定一条直线； ②两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ⑧三边分别相等的两个三角形全等； (3)经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明； (4)定理是真命题，但真命题不一定是定理． 2. (1)下列命题中，不是公理的是( ) A．对顶角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 A (2)下列各项中不属于定理的是( ) A．对顶角相等 B．等边对等角 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．三角形任意两边之和大于第三边 C (3)下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是( ) A．公理和定理都是真命题 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 B 知识点二：证明 3. (1)演绎推理的过程称为证明； (2)命题证明的步骤： ①根据命题，画出图形； ②根据命题，结合图形，写出________、_______； ③写出证明过程． 已知 求证 4. 完成下列证明对顶角相等的过程： 已知：如图，直线AB，CD交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角． 求证：∠AOD＝∠BOC. 证明：∵直线AB，CD交于点O， ∴∠AOB，∠COD都是平角(_______________)， ∴∠AOD和∠BOC都是∠AOC的补角(_____________)， ∴∠AOD＝∠BOC(_________________). 平角的定义 补角的定义 同角的补角相等 【典例导引】 5. 【例1】“两点之间线段最短”是( ) A．定理 B．定义 C．公理 D．假命题 C 导学导练 【变式训练】 6. “内错角相等，两直线平行”是( ) A．定义 B．定理 C．公理 D．需要判断的命题 B 7. 【例2】 证明“等角的补角相等”． 已知：∠A＝∠B. 求证：∠A与∠B的补角相等． 证明：∵∠A的补角为180°－∠A，∠B的补角为180°－∠B， ∵∠A＝∠B， ∴180°－∠A＝180°－∠B.即等角的补角相等 8. 证明“等角的余角相等”． 已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．求证：∠3＝∠4. 证明：∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角， ∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2，又∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4 9. 【例3】在下面的括号内，填上推理的根据： 如图，已知AB∥CD，BE∥CF. 求证：∠B＋∠C＝180°. 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠B＝∠BGC(___________________________)， 又∵BE∥CF(已知)， ∴∠BGC＋∠C＝180°(___________________________)， ∴∠B＋∠C＝180°(____________). 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 10. 完成下面的证明过程： 已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF. 求证：∠C＝∠F. 证明：∵BC∥EF(已知)， ∴∠ABC＝____________ (__________________________)， 在△ABC和△DEF中，AB＝DE， ___________________，___________， ∴△ABC≌△DEF(________). ∴∠C＝∠F(________________________). ∠DEF 两直线平行，同位角相等 ∠ABC＝∠DEF BC＝EF SAS 全等三角形的对应角相等 11. 【例4】写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等(简称：“等边对等角”．) 已知： 求证： 在△ABC中，AB＝AC． ∠B＝∠C． 证明： 如图，作BC边上的中线AD，则BD＝CD， 又∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠B＝∠C 12. 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别和M，N重合，过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线．请将上述应用问题改成几何问题．根据题意写出已知，求证，并完成证明过程． 已知： 求证： 如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，在射线OC上取MC＝NC. OC平分∠AOB. ∴△COM≌△CON(SSS)， ∴∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠AOB 课堂小结 已知条件 结论 证明 依据定义、公理，已证定理 定理 演绎推理 证明 经过证明的真命题称为定理 从已知条件出发，依据定义、公理，已证定理推导出 结论的方法 演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 30 证明：在△COM和△CON中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(OM＝ON，,MC＝NC，,OC＝OC，)) $$