第04讲 有理数的加减 （知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

第04讲 有理数的加减 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数的加法运算律 3.有理数的减法 4.加减法统一成加法 5.有理数加减混合运算 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法运算律 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减混合运算的应用 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数的加法法则 (1) 同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加 . (2) 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . (3) 一个数与 0 相加，仍得这个数 . 2. 有理数加法的运算步骤 3. 有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取加数的符号 相加 若 >0， >0，则 +=+( ||+||) 若 <0， <0，则 +=－ ( ||+||) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大加数的符号 相减 (大减小) 若 >0， <0，且 ||>||，则 +=+( ||－||) 若 <0， >0，且 ||>||，则 +=－ ( ||－||) 互为相反数 0 若 >0， <0，且 ||=||，则 +=0 一个数与0 相加 仍得这个数 +0= 知识点2.有理数的加法运算律 1. 有理数的加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 +=+ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变 (+) +c=+(+c) 2. 常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 相反数结合法 把互为相反数的数相加 同号结合法 把符号相同的数相加 同形结合法 把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 凑整法 把和为整数的数相加 拆项结合法 把带分数拆分为整数和真分数，再分别相加 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”“两变”是指运算符号. “－”变成“ +”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变 . 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点4.加减法统一成加法 1. 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算 . 2. 统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“ +”省略不写，写成省略加号的形式 . 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法，一 种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点5.有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤 (1) 利用减法法则将减法转化为加法； (2) 把加减混合算式写成省略括号和加号的和的形式； (3) 进行有理数的加法运算 . 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）下列各数中，与的和是正数的是（    ） A．6 B．0 C．3 D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）比大2025的数是 ． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 题型二、有理数加法运算律 4．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 5．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：，，两次所得的和相同吗？再换几个加数试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？ 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了（    ）分． A．1 B．2 C．3 D．4 8．小志家冰箱的冷冻室的温度为，调高后的温度为 ． 9．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某领导慰问高速公路养护小组，乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，， (1)求该领导乘车最后到达的地方？ (2)行驶1千米耗油0.15升，则这次巡视共耗油多少升？ 题型四、有理数的减法运算 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）算式“”可以简便的表示为：（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果规定※为一种运算符号，且，则 12．小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 题型五、有理数减法的实际应用 13．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）吐鲁番天畅葡萄园的海拔为，黄山光明顶的海拔为1860m，那么吐鲁番天畅葡萄园比黄山光明顶低 m． 15．疫情期间，某工厂一周计划生产2100套防护服，平均每天计划生产300套．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 +13 +16 (1)根据记录可知，前三天共生产了________套防护服； (2)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了________套防护服； (3)该厂实行计件工资制，每生产一套防护服得20元，超额完成部分则每套防护服奖50元，少生产一套则扣50元，那么该工厂工人这一周的工资总额是多少？ 题型六、有理数的加减混合运算 16．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把算式写成省略加号和括号的代数和的形式（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个自然数，各个数位上的数字之和是17，并且各个数位上的数字都不相同．符合条件的最小数是 ，最大数是 ． 18．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 题型七、有理数加减混合运算的应用 19．（22-23七年级上·安徽淮南·期中）某商店去年四个季度的商品销售盈亏情况如下表所示（盈余为正）： 季度 一 二 三 四 盈亏额／万元 128.5 280 下列说法中，正确的是（    ） A．这四个季度共盈余644万元 B．这四个季度共亏本173万元 C．这四个季度共盈余173万元 D．这四个季度共亏本644万元 20．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）某地某天早晨的气温是 ，中午上升了，夜间又下降，那么这天夜 间的气温是 ． 21．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）某玩具厂本周计划每天生产100辆玩具车，由于工人实行轮休制，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 根据上面的记录，解答下列问题： (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的玩具车总量与计划量相比较是增加还是减少？总计增加或减少多少辆？ (3)若每辆玩具车的售价是80元，则本周的生产总额是多少元？ 强化训练 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 2．把去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 4．年春季开学后，罗平县遇到天气突然降温，月日的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（   ） A． B． C． D． 5．在这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　） A．1 B．0 C． D． 6．设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则的值是( ) A． B． C． D． 7．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 8．小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8，分别填入如图所示的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．1或 9．为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 二、填空题 10．在中的括号里应填 ． 11．已知，且，且的值等于 ． 12．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ． 13．标有1—25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 三、解答题 14．计算：． 15．计算： (1)4＋[8.6－＋＋]； (2)－2－＋－－＋． 16．在计算“”时，嘉淇的做法如图所示． (1)在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是________(写序号即可)； (2)在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，________ (3)请写出该题正确的计算过程和结果． 17．设表示不小于a的最小整数，如： (1)求的值； (2)令，求的值． 18．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0． （2）如果将中心处的0改为，使每条线上的个数之和为呢？请在图2中试一试． 19．有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加减 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数的加法运算律 3.有理数的减法 4.加减法统一成加法 5.有理数加减混合运算 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法运算律 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减混合运算的应用 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数的加法法则 (1) 同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加 . (2) 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 . (3) 一个数与 0 相加，仍得这个数 . 2. 有理数加法的运算步骤 3. 有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取加数的符号 相加 若 >0， >0，则 +=+( ||+||) 若 <0， <0，则 +=－ ( ||+||) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大加数的符号 相减 (大减小) 若 >0， <0，且 ||>||，则 +=+( ||－||) 若 <0， >0，且 ||>||，则 +=－ ( ||－||) 互为相反数 0 若 >0， <0，且 ||=||，则 +=0 一个数与0 相加 仍得这个数 +0= 知识点2.有理数的加法运算律 1. 有理数的加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 +=+ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变 (+) +c=+(+c) 2. 常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 相反数结合法 把互为相反数的数相加 同号结合法 把符号相同的数相加 同形结合法 把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 凑整法 把和为整数的数相加 拆项结合法 把带分数拆分为整数和真分数，再分别相加 知识点3.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”“两变”是指运算符号. “－”变成“ +”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变 . 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点4.加减法统一成加法 1. 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算 . 2. 统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“ +”省略不写，写成省略加号的形式 . 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法，一 种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点5.有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤 (1) 利用减法法则将减法转化为加法； (2) 把加减混合算式写成省略括号和加号的和的形式； (3) 进行有理数的加法运算 . 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）下列各数中，与的和是正数的是（    ） A．6 B．0 C．3 D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据有理数加法法则依次计算出各个数与的和，即可得到正确答案． 本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，和是正数，符合题意； B. ，和是负数，不符合题意； C. ，和是负数，不符合题意； D. ，和是负数，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）比大2025的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，计算出加上2025的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴比大2025的数是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 【答案】(1)1275 (2)见解析 (3) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算． （1）根据题干给出的结论，列式计算即可； （2）设①，则②，两式相加，除以2，即可得证； （3）同（2）法求出，进而得到，即可求出的值． 掌握题干中求连续的个数的和的计算方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：； 故答案为：1275； （2）设，① 则，② 由①+②，得 所以， 即 （3）设①，则：②， 由①+②，得， ∴， ∴ ∵，为正整数， ∴， ∴． 题型二、有理数加法运算律 4．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 5．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据题目给出的埃及分数的定义，即可解答． 【详解】解：∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂题目，明确埃及分数的定义是解决本题的关键． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：，，两次所得的和相同吗？再换几个加数试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？ 【答案】见解析 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算，再举例子，得到结论即可． 【详解】解： ； ， ∴两次得到的和相等， 举例为：，， 结论：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了（    ）分． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】先根据每两人要赛一场，没人有3场比赛，乙得7分，说明乙只能是2胜1平；丙得了1分，说明丙是两负一平；丁得了6分，说明是2胜1负；根据它们间的胜负情况，推算出甲的胜负情况，进而求出甲的得分． 【详解】解：乙得7分，说明乙只能是2胜1平；丙得了1分，说明丙是两负一平；丁得了6分，说明是2胜1负； 乙如果与丙战平，那么就战胜了甲与丁，而丁是2胜，只能是战胜了甲与丙，这样甲就输了2场，这与甲只输了一场矛盾；因此乙只有与甲战平，乙胜了丙与丁；丁没有平局，所以甲与丙战平，丁输给了乙，只有战胜甲与丙；因此甲是2平1负，得2分． 故选：B． 【点睛】本题为逻辑推理题，解题的关键是根据乙、丙、丁的胜负情况，甲只输了一场，推算出甲是2平1负，是解题的关键． 8．小志家冰箱的冷冻室的温度为，调高后的温度为 ． 【答案】/摄氏度 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查的是有理数加法的应用，牢记加法法则是解题关键，根据加法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某领导慰问高速公路养护小组，乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，， (1)求该领导乘车最后到达的地方？ (2)行驶1千米耗油0.15升，则这次巡视共耗油多少升？ 【答案】(1)该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处 (2)这次巡视共耗油7.8升 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】（1）6个数求和即可； （2）求出走的总路程，然后计算耗油量． 【详解】（1）（千米）， 答：该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处； （2）（升）， 答：这次巡视共耗油7.8升． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题关键． 题型四、有理数的减法运算 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）算式“”可以简便的表示为：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数减法运算法则，根据有理数减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求解，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C ． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果规定※为一种运算符号，且，则 【答案】6 【知识点】有理数的减法运算 【分析】按照新定义的运算解题即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 12．小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【知识点】有理数的减法运算 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 题型五、有理数减法的实际应用 13．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用，根据题意利用中午的气温减去凌晨的气温即可得到答案，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解： 故选：C． 14．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）吐鲁番天畅葡萄园的海拔为，黄山光明顶的海拔为1860m，那么吐鲁番天畅葡萄园比黄山光明顶低 m． 【答案】1982 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，两数相减，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1982． 15．疫情期间，某工厂一周计划生产2100套防护服，平均每天计划生产300套．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 +13 +16 (1)根据记录可知，前三天共生产了________套防护服； (2)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了________套防护服； (3)该厂实行计件工资制，每生产一套防护服得20元，超额完成部分则每套防护服奖50元，少生产一套则扣50元，那么该工厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)899 (2)26 (3)42630元 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）用前3天增减的量再加上前三天计划生产的总量即得答案； （2）用表中的最大值减去最小值即可求解； （3）先计算出一周实际的出入量，再计算总的工资总额即可． 【详解】（1）根据记录可知，前三天共生产了套防护服； 故答案为：899； （2）产量最少的一天比产量最多的一天少生产了套防护服； 故答案为：26； （3）套， 所以工人这一周超额完成9套， 一周共生产防护服：套； 所以该工厂工人这一周的工资总额是：元． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，正确理解题意、列出相应的算式是解题关键． 题型六、有理数的加减混合运算 16．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把算式写成省略加号和括号的代数和的形式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减的应用，能灵活运用有理数的减法法则进行变形是解此题的关键，注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可得到结果． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得： ． 故选：B． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）一个自然数，各个数位上的数字之和是17，并且各个数位上的数字都不相同．符合条件的最小数是 ，最大数是 ． 【答案】 89 743210 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查数的组成，根据自然数最小，需要数位尽量少得到最小数，根据自然数最大，需要数位尽量多，求出最大数即可． 【详解】解：要想这个自然数最小，需要数位尽量少， ， 所以，最小的数为， 要想这个自然数最大，需要数位尽量多， 取最小的自然数： ，， 最大的数为：， 答：最小数是89，最大数是743210． 故答案为：89，743210． 18．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查的是有理数的加减混合法运算，掌握有理数的加减法法则是解题的关键。 （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可。 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型七、有理数加减混合运算的应用 19．（22-23七年级上·安徽淮南·期中）某商店去年四个季度的商品销售盈亏情况如下表所示（盈余为正）： 季度 一 二 三 四 盈亏额／万元 128.5 280 下列说法中，正确的是（    ） A．这四个季度共盈余644万元 B．这四个季度共亏本173万元 C．这四个季度共盈余173万元 D．这四个季度共亏本644万元 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】根据题意直接求和计算即可． 【详解】解：万元， ∴这四个季度共盈余173万元， 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算的应用，理解题意是解题关键． 20．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）某地某天早晨的气温是 ，中午上升了，夜间又下降，那么这天夜 间的气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】根据题意列式，进行有理数的加减运算即可． 【详解】解：这天夜间的气温是：． 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的加减运算的应用，做题关键要读懂题意列出式子． 21．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）某玩具厂本周计划每天生产100辆玩具车，由于工人实行轮休制，每天上班的人数不一定相等，实际每天生产量（与计划量相比）的增长值如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 根据上面的记录，解答下列问题： (1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多多少辆？ (2)本周实际生产的玩具车总量与计划量相比较是增加还是减少？总计增加或减少多少辆？ (3)若每辆玩具车的售价是80元，则本周的生产总额是多少元？ 【答案】(1)生产最多的一天比生产最少的一天多辆； (2)减少，总计减少辆； (3)本周的生产总额是元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）找出产量最多与最少的，相减即可得到结果； （2）根据表格求出所有数据之和，即可做出判断； （3）根据表格中的数据先求出本周每天的产量，乘以售价可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得（辆）， 所以生产最多的一天比生产最少的一天多辆； （2）（辆） 因为， 所以本周实际生产的玩具车总量与计划量相比较是减少，总计减少辆； （3）（辆） （元） 答：本周的生产总额是元． 【点睛】本题考查的是正数与负数，弄清题中表格中的数据是解题的关键． 强化训练 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选A． 2．把去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先根据减去一个数等于加上这个数的相反数把减法转换为加法，再把括号和加号省略即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：C． 3．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 4．年春季开学后，罗平县遇到天气突然降温，月日的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用最高气温减去最低气温并求解． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题考查了用有理数的减法解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列式并计算． 5．在这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】将较大的两个数相加，即可解答． 【详解】解：∵， ∴任意两数之和的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数加法运算法则，以及正数>0>负数，负数绝对值大的反而小． 6．设是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别根据正整数、负整数、绝对值的定义求出a、b、c的值，再代入计算有理数的减法即可； 【详解】解：由题意得：， 则， =， =， 故选：C． 【点睛】本题考查了正整数、负整数、绝对值的定义、有理数的减法，熟练掌握各定义与运算法则是解题关键． 7．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 8．小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将，2，，4，，6，，8，分别填入如图所示的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则， 所以， 剩下两个数为和2，且满足， ∵当时，d=2，则， 当时，，则， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加、减法的应用．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2． 9．为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； B、； 可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误； D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意； 故选：D 二、填空题 10．在中的括号里应填 ． 【答案】2/+2 【分析】根据减数＝被减数﹣减数列式，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：∵． ∴在中的括号里应填2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 11．已知，且，且的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵ ∴或；或， 又∵， ∴当，时，， 当，时， 故答案为：或． 12．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ． 【答案】-3 【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可． 【详解】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3； ∴-5+9+□=3，-5+1+□=3， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴□+□=6， ∵☆+□+□=3， ∴☆=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键． 13．标有1—25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】 乙 110 【分析】（1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】解：（1）根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理清游戏规则． 三、解答题 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，把互为相反数的两个数，分母相同的两个数先加，再计算即可，掌握加法的运算律是解本题的关键． 【详解】解： ； 15．计算： (1)4＋[8.6－＋＋]； (2)－2－＋－－＋． 【答案】(1)5.6 (2)－2 【分析】（1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：4＋[8.6－＋＋] ＝ ＝1－4＋8.6 ＝5.6； （2）－2－＋－－＋ ＝ ＝ ＝－2． 【点睛】此题主要考查了有理数加法的交换律和结合律的应用，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律是解答此题的关键． 16．在计算“”时，嘉淇的做法如图所示． (1)在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是________(写序号即可)； (2)在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，________ (3)请写出该题正确的计算过程和结果． 【答案】(1)② (2)取加数的符号，再把绝对值相加； (3)；过程见解析； 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则，即可求解； （2）根据有理数加法运算法则进行计算，即可求解． （3）根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是②； 故答案为：② （2）在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，取加数的符号，再把绝对值相加； 故答案为：取加数的符号，再把绝对值相加；． （3）解：该题正确的计算如下： 【点睛】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键． 17．设表示不小于a的最小整数，如： (1)求的值； (2)令，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义以及有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表示不小于a的最小整数，先把每个式子化简，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． （2）根据，化简的每个式子，再运用加减混合法则进行运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵表示不小于a的最小整数， ∴ ； （2）解：∵，表示不小于a的最小整数， ∴ ． 18．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0． （2）如果将中心处的0改为，使每条线上的个数之和为呢？请在图2中试一试． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由有理数的加法，使每条线上的3个数和为0，即可解决问题； （2）由有理数的加法，使每条线上的个数之和为，即可解决问题． 【详解】解：（1）如下图： （2）如下图： 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是注意每行数的和相等． 19．有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2；59； (2) (3)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别将这7天的正数和负数相加，可得青蛙向上跳跃的距离，再利用90与其相减可得结论； （2）先计算最后一天青蛙跳跃下滑后距离，再利用90与其相减可得结论； （3）一周为，21天即为三周，上升，利用依次作差，注意最后一天只计算跳跃的距离即可． 【详解】（1）解：第一次跳跃下滑后； 第二次跳跃下滑后； 第三次跳跃下滑后； 第四次跳跃下滑后； 第五次跳跃下滑后； 第六次跳跃下滑后； 第七次跳跃下滑后； 青蛙距离井底的最近距离是2厘米；青蛙距离井口的最近距离是厘米， 故答案为：2；59； （2）， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （3）周……， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 学科网（北京）股份有限公司 $$