第05讲 有理数的乘除（知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

第05讲 有理数的乘除（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数 3.乘法运算律 4.多个有理数相乘 5.有理数的除法法则 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（8） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 . (2)任何数与 0 相乘仍得 0. 特别解读  1.“同号得正，异号得负” 是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 . 2.有理数乘法的运算步骤： (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值 . 3. 1 与任何数相乘，仍得原数，－1 与任何数相乘，得到的是原数的相反数 . 2. 有理数的乘法符号法则(拓展) (1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即：>0 ⇔>0， >0 或 <0， <0. (2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： <0 ⇔>0， <0 或 <0， >0. (3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： =0 ⇔=0 或 =0. 知识点2.倒数 1.定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 . 2. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m 为非零整数 把这个数写成的形式，则得到 m 的倒数 2 的倒数是 m 为分数 颠倒 m 的分子和分母位置，则得到 m 的倒数 的倒数是 m 为带分数 把 m 化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 1= ，所以 1的倒数是 m 为小数 把 m 化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 0.25= ，所以 0.25 的倒数是 4 3. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是 1的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若 ， b 互为倒数，则· b=1 若· b=1，则 ， b 互为倒数 成对出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是 － 若 ， b 互为相反数，则 +b=0 若+b=0，则 ，b 互为相反数 知识点3.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 b=b 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (b) c=(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 (b+c) =b+c 乘法运算律的推广 (1) 乘法交换律和乘法结合律的推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积不变 . (2) 乘法对加法的分配律对于两个以上的有理数相加的情况仍然适用，即 (b+c+…+m) =b+c+…+m. 知识点4.多个有理数相乘 1. 几个不为 0 的数相乘的法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 .确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 . 2. 有因数为 0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0.同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0. 知识点5.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能作除数 . 例如： 2.有理数除法法则二  除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： ÷ b=• (b ≠ 0) . 例如： 3÷(－ ) =3×(－  ) = － 5.乘它的倒数 除以一个数 3.乘除混合运算中的注意事项 (1) 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． (2) 积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见 0为 0”． (3)结果要化为最简分数或整数． (4) 有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算 . 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果两个整数相乘等于，那么符合要求的整数共有（  ） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种新运算“”，即，例如：．则的值是 ． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 5．若定义一种新的运算“#”规定有理数#=，如2#3=3×2×3=18． （1）= ； （2）= ； 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如图，在宽为20米，长为40米的长方形地面上修建两条宽都是1米的道路，余下部分种植花草，那么种植花草的面积为 ． 题型四、倒数 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）的倒数是（   ） A． B． C．7 D． 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）的倒数是 ． 题型五、有理数乘法运算律 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）计算时，可转化为（    ） A． B． C． D． 12．计算的结果是 ． 13．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：   题型六、有理数的除法运算 14．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：（   ） A． B． C． D． 15．计算： ． 16．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 17．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 题型七、有理数除法的应用 18．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 19．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如2024年是甲辰年，依据上述规律推断析1997应为 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 20．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）星期天，晓芬和晓晨利用温差来测量一座山峰的高度．晓芬在山脚测得温度为 ，晓晨在山顶测得温度为，若该山区高度每升高 100米，气温大约下降请你帮她们求出这座山峰的高度大约是多少米？ 21．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 题型八、有理数乘除混合运算 22．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 23．（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：的结果是 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 题型九、有理数四则混合运算 25．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 27．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 28．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表xx年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例，天干为；地支为；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．依据上述规律推断，2055年应为 （     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 A．壬亥年 B．乙亥年 C．壬子年 D．乙子年 29．甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸，由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点．甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距 千米．（交换乘客的时间略去不计） 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知，两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．3 B． C． D． 32．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 ．（填序号）    强化训练 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 2．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么a与b之间的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．符号相反 4．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出3根手指，右手掐住第2指关节时，表示的十进制数字是（   ） A．5 B．27 C．32 D．38 5．21÷(－7)的结果是（   ） A．3 B．－3 C． D． 6．计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 7．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 8．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10． ． 11．已知，则a b（填“”“”“”号）． 12．如果，则，，的大小关系为 ． 13．定义新运算“※”：满足，则 ． 14．定义运算：，下列给出了关于这种运算的几个结论： ①；        ②； ③若，则；    ④若，则的值是3． 其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确结论的序号填在横线上） 15．指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1) (2) (3) (4) 18．计算：． 19．计算下列各题 (1) (2) 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 21．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 22．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 23．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘除（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数 3.乘法运算律 4.多个有理数相乘 5.有理数的除法法则 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（8） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 . (2)任何数与 0 相乘仍得 0. 特别解读  1.“同号得正，异号得负” 是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 . 2.有理数乘法的运算步骤： (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值 . 3. 1 与任何数相乘，仍得原数，－1 与任何数相乘，得到的是原数的相反数 . 2. 有理数的乘法符号法则(拓展) (1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即：>0 ⇔>0， >0 或 <0， <0. (2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： <0 ⇔>0， <0 或 <0， >0. (3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： =0 ⇔=0 或 =0. 知识点2.倒数 1.定义 如果两个有理数的乘积为 1，我们称这两个有理数互为倒数 . 2. 求倒数的方法 类型 方法 示例 m 为非零整数 把这个数写成的形式，则得到 m 的倒数 2 的倒数是 m 为分数 颠倒 m 的分子和分母位置，则得到 m 的倒数 的倒数是 m 为带分数 把 m 化为假分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 1= ，所以 1的倒数是 m 为小数 把 m 化为分数，再把分子和分母颠倒求倒数 因为 0.25= ，所以 0.25 的倒数是 4 3. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是 1的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若 ， b 互为倒数，则· b=1 若· b=1，则 ， b 互为倒数 成对出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是 － 若 ， b 互为相反数，则 +b=0 若+b=0，则 ，b 互为相反数 知识点3.乘法运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 b=b 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (b) c=(bc) 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 (b+c) =b+c 乘法运算律的推广 (1) 乘法交换律和乘法结合律的推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积不变 . (2) 乘法对加法的分配律对于两个以上的有理数相加的情况仍然适用，即 (b+c+…+m) =b+c+…+m. 知识点4.多个有理数相乘 1. 几个不为 0 的数相乘的法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 .确定符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 . 2. 有因数为 0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果有一个因数为 0，积就为 0.同样，若积为 0，则至少有一个因数为 0. 知识点5.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . 0 除以任何一个不等于 0 的数仍得 0. 0 不能作除数 . 例如： 2.有理数除法法则二  除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数 . 用字母表示： ÷ b=• (b ≠ 0) . 例如： 3÷(－ ) =3×(－  ) = － 5.乘它的倒数 除以一个数 3.乘除混合运算中的注意事项 (1) 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． (2) 积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见 0为 0”． (3)结果要化为最简分数或整数． (4) 有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算 . 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果两个整数相乘等于，那么符合要求的整数共有（  ） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数的乘法求解即可． 【详解】解：，，，， ∴符合要求的整数共有4组， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘法，熟记运算法则是关键． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种新运算“”，即，例如：．则的值是 ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 5．若定义一种新的运算“#”规定有理数#=，如2#3=3×2×3=18． （1）= ； （2）= ； 【答案】 －60 －378 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】（1）根据定义的运算法则以及有理数的运算法则计算即可； （2）根据定义的运算法则以及有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2） ， 故答案为：-60，-378． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算、新定义运算． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可； （2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如图，在宽为20米，长为40米的长方形地面上修建两条宽都是1米的道路，余下部分种植花草，那么种植花草的面积为 ． 【答案】741 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】此题主要考查了有理数乘法的应用，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根据总种植花草的面积列出式子求解即可． 【详解】解：把2条1米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形， 那么，这个长方形的长是，宽是，于是种植花草部分的面积为． 所以，种植花草部分的面积为， 故答案为：741． 题型四、倒数 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）的倒数是（   ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，选择答案即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数的含义，乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义进行解题即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 题型五、有理数乘法运算律 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）计算时，可转化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是利用乘法的分配律进行简便运算，把化为即可得到答案． 【详解】解：； 故选：D 12．计算的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】将看做整体，根据乘法分配律进行计算，再进行计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法运算律是解题的关键． 13．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：   【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律进行计算，计算时要与括号内的每个数都相乘，不要漏乘，即根据计算． 根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型六、有理数的除法运算 14．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数除法，根据有理数除法法则进行计算即可，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 15．计算： ． 【答案】12 【知识点】有理数的除法运算 【分析】直接根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用除法法则是解答此题的关键． 16．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 17．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【知识点】倒数、有理数的除法运算 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． 【详解】（1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 题型七、有理数除法的应用 18．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】走1千米所需时间＝总时间÷总路程，即可求解． 【详解】解：∵走1千米所需时间＝总时间÷总路程， ∴正确列式为： 故选：C 【点睛】本题考查有理数的除法运算的实际应用．抓住速度＝路程÷时间即可． 19．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如2024年是甲辰年，依据上述规律推断析1997应为 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】丁丑 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据题意，列式计算出1997年对应的天干和地支，从而可以写出1997年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，1997年为农历丁丑年， 故答案为：丁丑． 20．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）星期天，晓芬和晓晨利用温差来测量一座山峰的高度．晓芬在山脚测得温度为 ，晓晨在山顶测得温度为，若该山区高度每升高 100米，气温大约下降请你帮她们求出这座山峰的高度大约是多少米？ 【答案】大约是米 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意得到，进行有理数混合运算即可求解；能根据实际意义得到有理数混合运算的算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 (米)， 答：这座山峰的高度大约是米． 21．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【答案】小时 【知识点】有理数除法的应用 【分析】平均速度总路程总时间，据此即可求解． 【详解】解：∵ 平均速度总路程总时间 ∴往返的总时间为：（小时） ∴返回时花费时间为：（小时） 答：返回时用了小时． 【点睛】本题考查了有理数除法的实际应用．抓住平均速度总路程总时间是解题关键． 题型八、有理数乘除混合运算 22．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数的乘除运算，求解即可． 【详解】解：， 故选：C 【点睛】此题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 23．（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算：的结果是 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】先将除法转化为乘法，再进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算是解题关键． 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可； （2）将带分数数转化成假分数，并确定符号，将除法转化为乘法，然后从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九、有理数四则混合运算 25．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键； 根据有理数的加减乘除运算的运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，原式运算错误，故本选项不符合题意； B． ，原式运算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式运算错误，故本选项不符合题意； D． ，原式运算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 26．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 27．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 28．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表xx年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例，天干为；地支为；对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．依据上述规律推断，2055年应为 （     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 A．壬亥年 B．乙亥年 C．壬子年 D．乙子年 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的年数．根据题意，可以计算出2055年对应的天干和地支，从而可以写出2055年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：， 地支为：， 对照天干地支表得出，2055年为农历乙亥年， 故选：B． 29．甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸，由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点．甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距 千米．（交换乘客的时间略去不计） 【答案】255 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．先求出往返总时间，再根据距离速度和时间求解即可． 【详解】解：由题意可知，上午8时同时从两个车站出发，到站时已是下午2点， 则往返总时间为小时， 所以，两地的距离为千米， 故答案为：255． 30．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知，两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算，有理数的乘法计算，先根据数轴得到，据此判断出的符号，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 32．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 ．（填序号）    【答案】①③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、倒数、多个有理数的乘法运算 【分析】根据数轴上点的位置得出，，根据有理数的乘法法则判断①；根据加法法则可判断②；根据绝对值的意义可判断③；根据绝对值的性质判断④，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②不正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤不正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，绝对值的意义，化简绝对值，整式的加减，数形结合是解题的关键． 强化训练 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的运算法则即可判断． 【详解】解：， 故选：B． 3．如果，那么a与b之间的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．符号相反 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，根据两个数的积为1，则这两个数互为倒数求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴a与b互为倒数， 故选：C． 4．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出3根手指，右手掐住第2指关节时，表示的十进制数字是（   ） A．5 B．27 C．32 D．38 【答案】D 【分析】本题考查了用数字表示事件和有理数混合运算的能力，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得， ， ， ∴表示的十进制数字是38， 故选：D． 5．21÷(－7)的结果是（   ） A．3 B．－3 C． D． 【答案】B 【解析】直接根据有理数的除法法则进行求解即可； 【详解】21÷（-7）=-3， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的计算，正确掌握计算方法是解题的关键； 6．计算的结果是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值 【详解】解：原式= =-22+28-18+13 =6-18+13 =-12+13 =1， 故选：A 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 8．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：6． 10． ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 先把小数化为分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知，则a b（填“”“”“”号）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法计算，有理数的大小比较，掌握有理数的乘法法则和正数负数是解题关键．根据有理数的乘法法则可确定，，再根据正数负数解答即可． 【详解】解：因为， ， 所以． 故答案为：． 12．如果，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的除法运算，利用特值法假设，再进一步求解即可． 【详解】解：假设， 则，； ∴； ∴． 故答案为：． 13．定义新运算“※”：满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式利用已知的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式， 故答案为：6． 14．定义运算：，下列给出了关于这种运算的几个结论： ①；        ②； ③若，则；    ④若，则的值是3． 其中正确结论的序号是 ．（把你认为所有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义列式计算即可求解． 【详解】解：， ，故①正确， ，，故②错误， 若，则，故③正确， ∵ ∴ ，故④错误， 故答案为：①③． 15．指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 【答案】 乘法结合律 乘法分配律 【分析】根据有理数的运算律进行判断即可． 【详解】解：（1）， 属于有理数的乘法结合律， 故答案为：乘法结合律； （2）， 属于有理数的乘法分配律， 故答案为：乘法分配律． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟记乘法的几种运算律形式是解本题的关键． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可． （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，牢记有理数乘法的运算法则（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）是解题的关键． 17．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 18．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数混合运算，理解分配律是解答关键． 利用分配律先提取，再进行计算求解． 【详解】解： ． 19．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)56 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，最后计算减法即可； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：根据题意得 ． 22．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、倒数等知识，理解倒数的意义、熟练掌握有理数运算法则是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）由（2）可知，， ∴． 故答案为：． 23．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：． 【答案】(1)正确，倒数 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，乘法分配律： （1）根据一个数的倒数的倒数等于原数即可得到结论； （2）先仿照题意计算出，再把计算的结果取倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解答方法正确，依据是一个数的倒数的倒数等于原数， 故答案为：正确，倒数； （2）解：， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$