精品解析：广东省湛江市第二十二中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度九年级第一学期期末考试 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. －2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接解答即可. 【详解】解：－2的相反数是2． 故选：A． 【点睛】本题考查相反数，相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.    B.    C.    D.    【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 7. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 8. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例系数k的几何意义∶在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， 所以． 所以． 故答案为∶B． 9. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转至，证明，得到，利用三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．对一元二次方程移项得，再对方程两边同时加上1，利用完全平方公式配方得，从而得出a、b的值，代入数据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 将转化为的形式， ，， ． 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由开口方向和对称轴的位置可判断a、b的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，从而可判断①的正误；根据抛物线与轴交点情况可判断②的正误；根据对应的函数值即可判断③的正误；根据对应的函数值即可判断④的正误；根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误． 【详解】解：抛物线开口向下，则， 对称轴为直线，故，， 抛物线与轴的交点为，所以，故①正确，符合题意； 抛物线与轴有2个交点，故②正确，符合题意； 当时，，故，则③错误，不符合题意； 由函数的对称性知，和对称，故时，，④正确，符合题意； 抛物线与轴的交点为，所以，抛物线开口向下，所以，故⑤，正确，符合题意． 故答案为：①②④⑤． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解是． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把，代入化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的2倍，并画出放大后的； （2）若点在的内部，求出经过（1）的变化后，对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点，再顺次连接即可得出答案； （2）利用（1）中得到把点M的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵点是内部一点，与的相似比为2，且图象在轴左侧， 对应点的坐标为. 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，等：优秀；等：良好；等：及格；等：不及格），并将结果汇成了如图所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）图扇形图中等所在的扇形的圆心角的度数是______； （3）我校九年级有名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人； （4）已知得等的同学有一位男生，体育老师想从位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）选中的两人刚好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（）根据B级的人数除以级所占的百分比，可得答案； （）先求出等级的人数，再求出等级所占比例，根据圆周角乘以等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案； （）根据题意画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可； 本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数为（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：等级的人数为（人）， ∴等所在的扇形的圆心角的度数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：画树状图为： ∴共有种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）平均每天销售数量为件． （2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润=每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元． 【小问1详解】 解∶根据题意得∶(件)， 答∶平均每天销售数量为件． 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得∶ ， 整理得∶， 即 解得∶，， 要让顾客得到更大实惠， ． 答∶当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），y＝x＋1 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据A、B的坐标，结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图， 对于，当时，；当时，； ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知：不等式的解集为：或． 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆经过点，延长交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积； （3）若将扇形剪下，围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， 平行四边形是矩形． ， ， 是半径， 是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理的推理，扇形的弧长、面积公式，是一道圆的综合题，解题关键是得到四边形是矩形． （1）连接，由平行四边形的性质可知，，，可得四边形是平行四边形；由同弧所对的圆心角相等及邻补角的性质可知，，由此可得，平行四边形是矩形，再结合切线的性质可得结论； （2）根据（1）中所求，可得，，分别利用三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出阴影部分的面积； （3）由（2）可知，，根据侧面扇形弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 在中，，， ， 由（1）知，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ，，， ， ． ． 【小问3详解】 由（2）可知，， 则圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． （3）将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识． （1）令，求出，得点，，由得，， 把代入，求出，故可求出； （2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论； （3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， 过点G作轴于点E， 设，则，，， 又 ∴ ∴， ∴面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设的延长线交轴于点， 根据题意得 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或 ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第一学期期末考试 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. －2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A.    B.    C.    D.    3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________ 12. 若，则的值为________． 13. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是__________． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程组 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的2倍，并画出放大后的； （2）若点在的内部，求出经过（1）的变化后，对应点的坐标． 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，等：优秀；等：良好；等：及格；等：不及格），并将结果汇成了如图所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______人； （2）图扇形图中等所在的扇形的圆心角的度数是______； （3）我校九年级有名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人； （4）已知得等的同学有一位男生，体育老师想从位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 20. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆经过点，延长交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积； （3）若将扇形剪下，围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． （3）将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $