精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 4. 根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，P是平分线上一点，，交于点C，于点D，且，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，在中，平分，交边于，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（ ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、丁 9. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A. ①② B. ③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 分解因式：____________． 12. 计算的结果是________． 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 14. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 15. 在等腰三角形中，，，E为上一点，，，交于点D，点F为直线上一点，则周长的最小值为_____________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，把向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，内一点经过平移后的对应点为点 （1）画出，并写出点的坐标 （2）求的面积． 19. 化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 20. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 21. 如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价． （2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 23. 已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 24. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）多项式有最小值为1，求出k值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 25. 探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 卷面总分150分，考试时间为120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一个不等式的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据数轴明确不等式的解集，是解题的关键． 由图可知，不等式的解集为：，分别解不等式，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集为：； A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：B． 3. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 4. 根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决此题的关键．根据分式的基本的性质逐一解答即可． 【详解】解：A：分式的分子与分母同时加上减去一个不等于0的数1，分式的值不一定不变，等式不一定成立，不符合题意； B：分式的分子与分母没有按分式的基本性质进行变形，等式不一定成立，不符合题意； C：，等式成立，符合题意； D：当异号时，分式不成立，等式不一定成立，不符合题意； 故选：C ． 5. 如图，，P是平分线上一点，，交于点C，于点D，且，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，含有度角的直角三角形的性质，解题关键是理解含有度角的直角三角形的性质并能运用． 过P作于H，由平行线的性质推出，由含度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出． 【详解】解：过P作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵P是平分线上一点，，， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，平分，交边于，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用上述知识解决问题是解题的关键． 首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：． 7. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 8. 某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（ ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 乙、丙 D. 甲、丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设该饮料每瓶是元，则， 设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故甲、乙、丙正确，丁错误， 故选：A． 9. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A. ①② B. ③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，由BD＝AB，DB＜DC，可得CD＞AB，从而判断①；由EFNGBC，EG＝CG，得出FN＝NB，从而判断②；先证△AEF≌△AMF，再证出△AED≌△BGD，从而判断③，由∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°与∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，得出∠EAC+∠FGB＝180°，从而判断④． 【详解】延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N， ∵BD＝AB，DB＜DC， ∴CD＞AB， 故①不符合题意； ∵EFNGBC，EG＝CG， ∴FN＝NB， ∵GN⊥AB， ∴FG＝GB， 故②符合题意； ∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM， ∴△AEF≌△AMF， ∴FE＝FM， ∵EG＝GC， ∴FGAC， ∴∠GFB＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠EAB， ∴EABG， ∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG， ∴△AED≌△BGD（ASA）， ∴AE＝BG， ∴四边形AEBG是平行四边形， 故 ③符合题意； ∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°， ∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF， ∴∠EAC+∠FGB＝180°， 故④符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法．通分化为同分母分式减法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌握不等式组无解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 由不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作延长线于点，，，，，在中，由此勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 15. 在等腰三角形中，，，E为上一点，，，交于点D，点F为直线上一点，则周长的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段最值，平行线的性质，等腰三角形、等边三角形判定与性质，直角三角形性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，正确作出辅助线是解决线段最值问题的关键． 延长至，使得于点，延长至点，使得，当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短．由为等腰三角形、，可推出，从而知．连接，可证为等边三角形，，在中用勾股定理计算，然后即可求解． 【详解】解：延长至，使得于点，延长至点，使得，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短， 且最小值为， ∵，， ∴， 过于，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：； 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 【答案】 在数轴上表示不等式的解集如下： 不等式组的非负整数解为：、 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解答本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的非负整数解为：、． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过去分母，把分式方程化为整式方程，是解题的关键．先去分母，再解整式方程，然后进行检验，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，把向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，内一点经过平移后的对应点为点 （1）画出，并写出点的坐标 （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，点的平移，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连接，即可求解，根据平移方式将向右平移个单位，再向下平移个单位，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为：． 19. 化简，再从，1，3，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握方法是解答本题的关键，先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 当时， 原式， ． 20. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， 分别为，的中点， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 本题根据平行四边形的性质可得，再根据分别为，的中点，可得，然后证明，然后即可求解； 【详解】略 21. 如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由条件可知， ， ， ， ， ． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价． （2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 【答案】（1）每套型号的“文房四宝”的标价为100元； （2）该校至少买了套型“文房四宝”． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系正确列方程，找出数量关系正确列不等式． （1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可； （2）设该校至少买了套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每套型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套型号的“文房四宝”的标价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：每套型号的“文房四宝”的标价为100元． 【小问2详解】 解：设该校至少买了套型“文房四宝”， 由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元）， 当 时，根据题意，得： ， 解得：（舍去）， 当时，根据题意，得： ， 解得： ∵为整数， ∴最小取， 综上，该校至少买了套型“文房四宝”． 答：该校至少买了套型“文房四宝”． 23. 已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） 证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）多项式有最小值为1，求出k值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 【答案】（1） （2） （3）边长的最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴， ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴ ∴ ∴ ∵c是正整数， ∴边长C的最小值为5． 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 25. 探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 证明：（1）和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （3）线段，与之间存在的数量关系是：，证明如下： 方法一：设与交于点，在上截取，如图所示： 和都是等边三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 方法二：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）方法一：设与交于点，在上截取，证明，得出，根据等边三角形性质得出，即可证明． 方法二：证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $