22.2　二次函数与一元二次方程 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.2　二次函数与一元二次方程 栏目导航 要点概览 探究新知 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的　 　就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.  2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+ bx+c=0根的个数的关系 要点概览 根的判别式 Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 Δ>0 有　 　个公共点  有　 　的实数根 横坐标 两 两个不相等 Δ=0 有　 　个公共点  有　 　的实数根  Δ<0 　 　公共点  　 　实数根  一 两个相等 没有 没有 探究新知 探究点一　二次函数的图象与x轴的三种位置关系 (2)∵b2-4ac=(-6)2-4×(-1)×1=36+4=40>0, ∴二次函数y=1-6x-x2的图象与x轴有两个公共点. 5 不画图象,判断二次函数的图象与x轴的公共点的个数时,一般先把它转化成判断相应的一元二次方程的根的情况,然后根据根的判别式与0的大小得出结论. 6 【新知巩固】 1.若抛物线y=x2+5x+m的图象与坐标轴只有两个公共点,则m的值为 　 　. 2.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,求k的取值范围. 探究点二　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【例2】 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2+2x-10=0的根;其中二次函数y=x2+2x-10的图象如图所示. (1)由图象可知,方程有几个根?分别在哪两个数之间? 解:(1)方程有两个实数根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间. (2)利用计算器计算. 方程的一个近似根是多少? 解:(2)计算如下: 则方程的一个近似根是x=-4.3. x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用,通过画函数的图象解一元二次方程时,近似值在y值正负交换的地方,当x由x1到x2对应的y值出现y1>0,y2<0(或y1<0,y2>0)时,则x1和x2中必有一个是方程的近似值. 【新知巩固】 3.根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值. 根据上表,得方程x2+2x=6的一个解大约是　 　(精确到0.01).  1.65 x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.916 9 5.969 6 6.022 5 6.075 6 … 探究点三　二次函数与一元二次方程、不等式 【例3】 如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0). (1)方程ax2+bx+c=0的解为　 　;  (2)不等式ax2+bx+c>0的解集为　 　;  (3)不等式ax2+bx+c<0的解集为　 　.  x1=1,x2=3 x<1或x>3 1<x<3 ax2+bx+c=0的解是二次函数与x轴交点的横坐标,不等式ax2+bx+c> 0(或<0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围.不等式如果带有等号,其解集也相应带有 等号. 【新知巩固】 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法错误的是( ) A.a<0,b>0 B.b2-4ac>0 C.方程ax2+bx+c=0的解是x1=5,x2=-1 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是0<x<5 5.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线:　 　.  D 6.(2025安徽期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题. (1)方程ax2+bx+c=0的根为　 　;  (2)不等式ax2+bx+c<0的解集为　 　;  (3)若方程ax2+bx+c=k无实数根,则k的取值范围为　 　.  x1=0,x2=2 x<0或x>2 k>2 谢谢观赏！ 17 【例1】 不画图象,判断下列二次函数图象与x轴的公共点的个数: (1)y=-x2+x-4;(2) y=1-6x-x2. 解:(1)∵b2-4ac=12-4×(-)×(-4)=1-4=-3<0, ∴二次函数y=-x2+x-4的图象与x轴没有公共点. 或0 解:∵抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,∴Δ=(-1)2-4×(k-1)×1 ≥0, 解得k≤. 又∵k-1≠0,∴k≠1. ∴k的取值范围是k≤且k≠1. x= $$