22.1.4 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 栏目导航 要点概览 探究新知 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 要点概览 减小 增大 增大 减小 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的符号关系 系数 符号 图象特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴为y轴 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 探究新知 探究点一　二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系 【例1】 已知二次函数y=-x2+2x+1的图象为抛物线C. (1)把二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式; (2)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后,所得抛物线为C′.请直接写出抛物线C′的函数解析式. 解:(1)y=-x2+2x+1=-(x2-2x)+1=-(x2-2x+1-1)+1=-(x-1)2+2. (2)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后,所得抛物线为C′:y=-(x-1+2)2+2+1, 即y=-(x+1)2+3. 5 二次函数的一般式转化为顶点式的一般步骤 (1)把二次项和一次项提取二次项系数;(2)在括号内配方;(3)写成顶点式的形式. 注意:括号内配方时,要加上一次项系数一半的平方,同时减去这个一次项系数一半的平方. 6 【新知巩固】 1.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长 度,得到抛物线的函数解析式为( ) A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-3 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-3 2.将抛物线y=x2+2x+3先向右平移　　个单位长度,再向下平移　　个单位长度,可得到抛物线y=x2.  3.[易错题]二次函数y=-x2+bx+c的图象向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到二次函数y=-x2+2x-1的图象,则b=　 　, c=　 　.  D 1 2 8 -14 探究点二　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【例2】 把二次函数y=-x2+4x+1化成y=a(x-h)2+k的形式, (1)指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象. 解:(1)y=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,图象开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5). 列表: x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … -4 1 4 5 4 1 -4 … 描点、连线如图所示. (2)当x≤m时,y随x的增大而增大,求m的取值范围. 解:(2)∵a=-1<0, ∴当x<2时,y随x的增大而增大. ∵x≤m时,y随x的增大而增大, ∴m≤2. 画二次函数y=ax2+bx+c的图象的方法 (1)配方成顶点式; (2)确定开口方向、对称轴和顶点坐标,在对称轴两侧对称取点,按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 【新知巩固】 4.(2025.陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有( ) D 5.(2025.金牛区期中)如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那y1,y2,y3之间的大小关系是　 　.  6.(2025.东丽区期中)已知函数y=4x2-mx+5,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小;则m=　 　. y2>y3>y1 -16 解:(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∴函数图象的顶点坐标为(1,4).图象如图所示. 7.已知二次函数y=-x2+2x+3. (1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象; 解:(2)①y1<y2　②当-1<x<4时,y的取值范围是-5<y≤4. (2)①已知函数图象上两点A(x1,y1)和 B(x2,y2),若x1<x2<0,则y1与y2的大小关系为　　　　;  ②当-1<x<4时,求y的取值范围. 谢谢观赏！ 16 A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 $$