22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法求二次函数的解析式”，通过复习一次函数确定解析式需的点及条件，引导学生猜想二次函数所需点及条件，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过任务驱动（如已知顶点用顶点式和一般式两种方法求解析式）和变式演练，结合推理能力和模型意识，帮助学生掌握一般式、顶点式、交点式三种形式。分层作业满足不同学生需求，学生能提升思维与应用能力，教师可高效开展分层教学。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 单击此处编辑母版文本样式 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 单击此处编辑母版文本样式 会利用待定系数法求二次函数的解析式. ◎重点:用待定系数法求二次函数的解析式. ◎难点:用待定系数法求二次函数的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几个点的坐标?这几个点需要满足什么条件?请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标?这几个点需要满足什么条件?这节课,我们将重点研究这个问题. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 用待定系数法求二次函数的解析式   请你阅读课本“探究”的内容,总结用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤. 说一说:几个点可以确定二次函数的解析式?这几个点需要满足什么条件?   答:三个点可以确定二次函数的解析式,这三个点需不在同一直线上. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　请你根据课本中求二次函数解析式的过程,总结用待定系数法求二次函数解析式的步骤. 答:1.找出不在同一直线上的三个点的坐标;2.将三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列出三元一次方程组;3.解出方程组,求得a、b、c的值,得出二次函数解析式. 单击此处编辑母版文本样式 已知三点求解析式 1.已知抛物线经过(1,4),(-2,2)和(0,4)三点. (1)求这条抛物线的解析式. (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把(1,4),(-2,2)和(0,4)代入,得 解得a=-,b=,c=4, ∴这条抛物线的解析式为y=-x2+x+4. 单击此处编辑母版文本样式 (2)抛物线开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是( , ). 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、C(0,3)、B(2,-3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由题意得解得 则抛物线的解析式为y=-2x2+x+3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)抛物线的对称轴为直线x=-=, 当x=时,y=-2x2+x+3=, 即顶点坐标为( , ). 单击此处编辑母版文本样式 已知顶点求解析式 2.已知二次函数的图象的顶点是(-1,4),且经过点(1,2),求该二次函数的解析式.(用两种方法) 单击此处编辑母版文本样式 解:(方法一)设y=a(x-h)2+k,其中h=-1,k=4. ∵抛物线经过点(1,2), 将其代入y=a(x+1)2+4,得2=a(1+1)2+4,解得a=-, ∴这个二次函数的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-x+. 单击此处编辑母版文本样式 (方法二)设y=ax2+bx+c. ∵二次函数的图象的顶点是(-1,4),且经过点(1,2), ∴解得a=-,b=-1,c=, ∴这个函数的解析式为y=-x2-x+. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 抛物线的图象如图所示,其中A为顶点. (1)写出点A,B的坐标. (2)求出抛物线的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)观察图象可知,A(2,-4),B(0,4). (2)∵A为顶点,A(2,-4), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4, 把B(0,4)代入得4a-4=4, 解得a=2, ∴抛物线的解析式为y=2(x-2)2-4. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是要求出　 　的值.由已知条件列出　 　,求出　 　的值;求抛物线y=a(x-h)2+k的解析式,只要知道　 　和图象上　 　的坐标即可.  待定系数a、b、c 关于a、b、c的方程组 a、b、c 顶点坐标 异于顶点的任意一点 单击此处编辑母版文本样式 已知与x轴的交点求解析式 3.已知抛物线与x轴的两个交点为(-8,0)、(2,0),与y轴交于点(0,4),求抛物线的解析式. 解:∵抛物线与x轴的两个交点为(-8,0)、(2,0), ∴设y=a(x+8)(x-2),把(0,4)代入,得4=a(0+8)(0-2),解得a=-, ∴y=-(x+8)(x-2),即y=-x2-x+4. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　二次函数的解析式有三种形式,一是一般式　 　,需知道抛物线上的三点(不在一条直线上)即可求得;二是顶点式　 　,需知道抛物线的顶点和异于顶点的另外一点即可求得;三是交点式　 　,需知道抛物线与x轴的交点及异于交点的另外一点即可求得.  y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中的x、y满足下表,求这个二次函数的解析式. x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 0 -2 -2 0 … 单击此处编辑母版文本样式 　解:(方法不唯一)先把点(0,-2)代入y=ax2+bx+c中,得c=-2. 再把点(-1,0)、(2,0)分别代入y=ax2+bx-2中, 即解得 ∴这个二次函数的解析式为y=x2-x-2. 单击此处编辑母版文本样式 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标. (2)判断点P(,-2)是否在该二次函数的图象上.如果在,请求出△ABP的面积;如果不在,试说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵抛物线经过点A(-3,0),B(1,0), ∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1). ∵抛物线经过点C(0,3), ∴3=-3a,解得a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(-1,4).   单击此处编辑母版文本样式 　(2)∵当x=时,y=-()2-2×+3=-2, ∴点P(,-2)在该二次函数的图象上, ∴△ABP的面积=×(1+3)×2=4. 单击此处编辑母版文本样式 1一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过点(0,-4),则这个二次函数的解析式为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-2(x+2)2+4 B.y=-2(x-2)2+4 C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2+4 B 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2若抛物线经过(0,1)、(-1,0)、(1,0)三点,则此抛物线的解析式为 ( ) A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=-x2-1 C 单击此处编辑母版文本样式 3已知抛物线的顶点是(-3,2),且经过点(1,-14),求该抛物线的函数解析式. 解:∵抛物线的顶点是(-3,2), ∴可设抛物线的函数解析式为y=a(x+3)2+2. ∵抛物线经过点(1,-14), ∴-14=a(1+3)2+2,解得a=-1, ∴抛物线的函数解析式为y=-(x+3)2+2. 单击此处编辑母版文本样式 4如图,这是某二次函数的图象,则其解析式为 ( ) A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x+3 D.y=x2+2x-3 B 单击此处编辑母版文本样式 5求下列二次函数的表达式. (1)已知二次函数的图象的顶点为(2,0),且经过点(-2,4). (2)已知二次函数的图象经过点(3,0),(-2,0),(0,6). 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由题意,设二次函数的表达式为 y=a(x-2)2, 又∵过点(-2,4), ∴当 x=-2 时,y=4, ∴4=a(-2-2)2, ∴a=, ∴二次函数的表达式为 y=(x-2)2. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由题意,设二次函数的表达式为 y=a(x-3)(x+2), 又∵过点(0,6), ∴当 x=0 时,y=6, ∴6=a(0-3)(0+2), ∴a=-1, ∴二次函数的表达式为 y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6. 单击此处编辑母版文本样式 6已知二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足下表: x … -1 0 1 2 y … 3.5 1 -0.5 -1 x 3 4 5 …   y -0.5 1 3.5 …   单击此处编辑母版文本样式 (1)求这个二次函数的解析式. (2)利用上表,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由已知可得,二次函数y=ax2+bx+c经过点(2,-1),(0,1),(4,1), 则解得 ∴二次函数的解析式为y=x2-2x+1. 单击此处编辑母版文本样式 (2)函数图象如图所示. 单击此处编辑母版文本样式 7二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=-1. (1)求该二次函数的解析式. (2)求该图象的顶点坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+k, 将(-3,0),(0,3)代入y=a(x+1)2+k,得 解得 ∴y=-(x+1)2+4. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵y=-(x+1)2+4, ∴该图象的顶点坐标为(-1,4). 单击此处编辑母版文本样式 8如图,正方形的边长为1,A,B,C三个顶点都在抛物线上,O为原点,那么抛物线的表达式为 ( ) A.y=2x2+ B.y=-x2+ C.y=x2+ D.y=-(x-2)2 B 单击此处编辑母版文本样式 9在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(3,0)、B(2,-3)、C(0,-3). (1)求该抛物线的函数解析式. (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点,如果点D的横坐标为-2,试求点E的坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c. 由题意得9a+3b+c=0,4a+2b+c=-3,c=-3, ∴a=1,b=-2. ∴该抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3, 单击此处编辑母版文本样式 (2)由(1)得y=x2-2x-3, ∴该抛物线的对称轴是直线x=1. ∵D与E是抛物线上关于对称轴对称的两点,点D的横坐标为-2, ∴点E的横坐标是4, ∴当x=4时,y=16-8-3=5, ∴E(4,5). 单击此处编辑母版文本样式 10已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(-1,0),(3,0). (1)求这个二次函数的解析式. (2)求当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差. (3)若点P(-3,y1),Q(q,y2)在该二次函数的图象上,且y1<y2,请直接写出q的取值范围. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由题意得 解得 ∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴当x=1时,y有最小值-4. ∵当x=-2时,y=5;当x=2时,y=-3, ∴当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为5-(-4)=9. 单击此处编辑母版文本样式 (3)∵P(-3,y1)在y=x2-2x-3上, ∴y1=12, 令y=12,可得x2-2x-3=12, 解得x=5或x=-3. ∵y=x2-2x-3的图象开口向上,且y1<y2, ∴q的取值范围为q<-3或q>5. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 48 $