22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

基础练 1.(1)解：画图如图所示.(2)填表略 16 14 =(x+2 -(x-2) -4-2024 第1题图 第11题图 2.C3.(1)>1减小增大>-1(2)y1<y2(3)y1>y24.解：由题意，得y =a(x一3)2，把点(1,4)代入，得4=a(1一3)2.解得a=1.,∴.a的值是1.当x>3时，y 随x的增大而增大.5.(1)y=-(.x-4)(2)左36.y=-3(x+1)27.h≤1 8.D9.B10.A11.解：(1)依题意，得a(m-1)=a.a≠0，∴.(m-1)2=1. m一1=士1.∴.m=2或m=0.P(m,a)在第一象限内，.∴.m>0..m=2,抛物线的 顶点为(1,0)；(2)：a>0,.当x<1时，y随x的增大而减小；(3)由(1)知m=2,而a =3,∴.P(2,3).∴.抛物线为y=3(x一1)2.PQ∥x轴交抛物线于点Q,.点Q与点 P关于直线x=1对称，.Q(0,3).小PQ=2..Sa@m=2PQ·Q0=2X2X3=3. 12.解：y=子（红一∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=九，当x=h时，该 函数取最小值0.当自变量x的值满足3≤x≤5时，与其对应的函数值y的最小值 为3，∴.①若h<3,则当x=3时，y取最小值3，即÷(3-h)2=3.解得，=6（不合题 意，舍去)，h2=0:②若3h5,则当x=h时，y取最小值0，与题设矛盾，故该种情况 不存在：③若5<九，则当x=5时，y取最小值3，即3(5-h)2=3.解得，=2（不合题 意，舍去)，h=8.综上所述，h的值是0或8. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识储备 1.抛物线 形状位置x=(h,k)上（下）左（右）h,k2.上减小增大 基础练 1.向下直线x=一3(-3,5)向上直线x=-1(-1,-2)向上直线x 5 (5,-7)2.A3.B4.(1)<1>111(2)<5.B6.(1)B(2)左 3下17.(1)-22一2解：(2)当x>2时，y随x的增大而减小，当x<2 时y随x的增大而增大.8.D9C0.C山.(1)号 解：(2)当y=0时， 1 （x一5)+6=0，解得x1=11,=一1（不合题意，舍去）.点D的坐标为(11， 0),.OD=11m.从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，.∴.OC D11m,CD=0C+0D=22m.(3)当x=10时，y=一6(10-5)2+6=一 6 65点0，在抛物线yx-5)+6上.又≈1.83>1.8顶部卫 6 不会碰到水柱.12.(1)y=(x+1)2-4解：(2)△BCM是直角三角形，理由如下： 令y=(x+1)-4=0.解得x1=1,x2=-3..B(-3,0),A(1,0).:M(-1,-4),C (0,-3),∴.BC=3+3=18,CM=1+1=2,BMP=(-3+1)+4=20.∴.BM= BC+CM.∴.△BCM是直角三角形；(3)由(2)知BC=√I8=32,CM=√2， ∠BCM=90.∴SAw=2BC·CM=2×3EXE=3.:SAx=2AB·C0= X4X3=6,.SI边形B=S△ABC十S△M=9. 22.1.4二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=a.x2十bx十c的图象和性质 知识储备 =品 (-b,4ac-b) b Aac-b 。减小增大 2a Aa 2a Aa 基础练 1.C2.会( bb Bb Aac-b x=-2a 6 Aac-b （2a）2a4a2a Aa 2a' (2) Aa (2,10)直线x=23.B4.D5.C6.解：(1).y= x+2x十3=一(x一1)+4，∴.函数图象的顶点坐标为(1， 4).图象如图所示.(2)①y>y2②当-1<x<4时，y的 取值范围是-5<y≤4.7.C8.C9.D10.y>y> y211.-412.解：(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3, 得3=(-2)-2a十3.解得a=2..y=x2+2x十3=(x十 1)2+2,∴.顶点坐标为(-1,2).(2)①把x=2代入y=x 十2x十3，得y=11,∴.当m=2时，n=11.②由题意，知一2 <m<2,此时2≤n<11.13.解：(1)令x=0,则y=2x 十1=1A0.1.令y=号x+1=0,则x=-2.B(-2,0.把点A0,1代入y= ax2一2a.x+c中，得c=1:(2)y=a.x2一2ax+1=a(x-1)2+1一a,∴.对称轴为直线x =1.①若a>0,根据x>1时，y随x增大而增大，.x=4时，有最大值a十2.即9a+ 1-a=a十2，解得a=子；②若a<0,根据x>1时y随x增大而减小，∴x=3时，有 最大值a+2.即4a十1一a=a十2，解得a=之（舍去).综上所述，a的值为7 微专题四比较二次函数值大小的三种常用方法 【例】方法1：(-1)c一34c-8>方法2：1y<下减小<> 方法3：下1小小 1.y1<y3<y22.c>b 微专题五函数图象共存问题 【例】C>><同<错误C 1.D2.D 方法技巧专题（一）二次函数与线段长度的和（差）问题 【例】解：令y=x-2x-3=0,则x1=-1,x2=3..‘A点在B点左侧，∴.A(-1,0),B (3,0).D(4,y)在抛物线上，∴y=4-2×4-3=5..D(4,5).:点B与点A关于 对称轴直线x=1对称，∴.连接AD交对称轴于点E,点E即为使BE十DE最小的 点，设直线AD的解析式为y=kx+6,把A(一1,0)，D(4,5)代人，得4←◇解得 6=1.六y=x+1.当x=1时=2，点E的坐标是(1,2. (k=1 1.(1)y=x2+4x-5解：(2)由题意知B(0,-5),.OC=5=OB=50A..OA=1. .C(一5,0)，A(1,0).点A与点C关于对称轴直线x=一2对称，.直线BC与直 线x=一2的交点即为使△ABM周长最小的点.设直线BC的解析式为y=kx+c,将 B(0,-5),C(-5,0)代入，得9 =-5， 5=。解得{k一直线BC的解析式为y 1c=-5. -x-5.∴.当x=一2时，y=一x-5=一（一2）一5=一3...点M的坐标是（一2， 3).2.(1)y=一x2+2x+3解：(2)直线1上存在点P,使PA一PD 有最大值.点C与点D关于直线1对称，PC=PD.∴PA一PD PA一PC.故当点A,C,P共线时，PA一PC最大.连接AC并延长交直 线l于点P,点P即为所求作的点.设直线AC的解析式为y=kx+m, 把A(-10.C03)代人，得m-0解得直线AC的 07=3 解析式为y=3x十3.：对称轴为直线x=1,当x=1时y=3x十3=A0 B 6.∴.点P的坐标是(1,6). 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识储备 1.y=ax2+bx+c 2.y=a(x-h)2+k 基础练 1.D 2.y=x2-4x+33.解：A(-1,0),B(0,-3),C(4,5).把A,B,C三点代入y 「a-b+c=0, a=1, =ax2+b.x十c中，得16a+4b+c=5,解得b=-2,∴y=x2-2x-3.4.D5.y =-3 c=-3. 4(x一2)2+36.解：设此二次函数的解析式是y=a(x一2)2+4.把（一2,0）代入，得 0=a(-2-2)2十4，解得a=-- ∴y=-子（x-2)+4.7.B8y=x2-4x+3 9.y=3.x2一9x-12或y=-3x2+9x+1210.y=(x-3)2+2(答案不唯一)11. y=一x2+2x十312.(1)一3解：(2)由表可知此二次函数的顶点为（一3,5），设其 解析式是y=a(x十3)+5，把点(-2,3)代入，得3=a(-2+3)+5.解得a= -2. y=-2(x+3)2+5.(3)-413.(1)y=x2+2x或y=x-2x解：(2)当m=2 时，二次函数解析式为y=x2一4x十3=(x一2)2一1，.C(0,3),顶点坐标为D(2, 1):(3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交 点时，PC十PD最短，设经过C,D两点的直线解析式为y=kx十b(k≠0)，则将C(0， 3),D2,-1D两点坐标代人解析式，得已2+6.解得（合3. k=。2,y=-2x十3.令 y=0,可得-2x+3=0,解得x=号∴当P点坐标为（号，0）时，PC+PD最短。 P Ay 第13题图 第14题图 14.解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y=a(x十5)(x+1),把C(0,一5)代入，得5a =一5.解得a=一1.∴.抛物线的解析式为y=一(x+5)(x十1)=一x2一6x一5；(2)过 点P作PQ∥y轴交AC于Q,设直线AC为y=kx+m,把A(-5,0),C(0,-5)代入 得流+00解得二y=-一5.当=-2时y=-x-5=-3:PQ22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识储备 十十一十十十十 知识点三抛物线y=ax2十bx十c的图象和性质 抛物线y=ax2十bx十c的对称轴是直线 3.二次函数y=-2x2一4x+1的图象大致是 ,顶点坐标是 ,当x= 时，y有最大（小）值，是 若a> 0,则当x< 2时y随x的增大而 ,当x 时，y随x的增大而 水 > 2a ；若a<0,恰 好相反 4.关于二次函数y=2x2十4x一1，下列说法正 十一十十十十”十十 确的是 () 01基础练 必备知识梳理 A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) 知识点一 抛物线y=a.x2十bx十c与y=a(z B.图象的对称轴在y轴的右侧 h)+k的关系 C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 1.把二次函数y=2x2一4x十1通过配方化成 D.y的最小值为-3 y=a(x一h)2十k的形式是 () 5.若抛物线y=a.x2+bx十c与x轴的两个交点为 A.y=2(x-1)2-3B.y=2(x-1)2+3 (一1,0)，(3,0)，则该抛物线的对称轴为（) C.y=2(x-1)2-1D.y=2(x-1)2+1 A.直线x=-3 B.直线x=3 知识点二抛物线y=ax2+bx+c的顶点公式 C.直线x=1 D.直线x=-1 2.(1)【新课标·补充解题过程】阅读解题过程， 6.（教材P37“思考”改编) 一材多题 完成填空： 已知二次函数y=一x2+2x十3. 求二次函数y=ax2十b,x十c的图象的对称轴 (1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数 和顶点坐标 的图象； 解：将y=ax2十bx+十c的二次项系数化为1， (2)①已知函数图象上两点A(x1,y)和 b 得y=a(x2+bx)十c. B(x2,y2),若1<x1<x2,则y与y2 a 的大小关系为 配方，得y=a[x2+b x+( )2 ②当一1<x<4时，求y的取值范围. ]+c. ..y=a(x+ 即y=a(x十 )2十 .抛物线的对称轴是直线 ,顶点坐 标是 (2)【运用】抛物线y=-2x2+8.x+2的顶点 坐标是 ,对称轴是 41九年极数学·上册 知识点四抛物线y=ax2十b.x十c的平移 03素养练 八学科素养培育·与 7.(2025·大庆模拟)在平面直角坐标系中，将 二次函数y=x2+2x+1的图象向右平移3 13.如图，直线y=2x十1与x轴、y 个单位长度，再向下平移2个单位长度所得 轴分别交于点B,A,抛物线y= 抛物线对应的函数表达式为 ( ax2-2ax十c经过点A. A.y=(x+4)2十2B.y=(x-2)2+2 (1)求点A,B的坐标及c的值； C.y=(x-2)2-2D.y=(x+4)2-2 (2)若函数y=ax2-2a.x+c在3≤x≤4时 02综合练 身关键能力捉升二 有最大值为a十2，求a的值. 8.当x≥2时，二次函数y=-x2十2x十m有最 大值4，则m的值是 () A.1 B.2 C.4 D.6 9.二次函数y=ax2+2a.x十 c的图象如图所示，下列说 法不正确的是 () A.a>0,c<0 B.对称轴为直线x=一1 C.当x<一2时，y随x的增大而减小 D.图象与x轴的另一个交点是(2,0) 10.抛物线y=a.x2-2ax十c(a>0)经过点A(-2, y1),B(-1,y2),C(5,)三点，则y1y2, 的大小关系是 11.若抛物线y=-x2+bx十4经过点(-2，n) 和(4，n)两点，则n的值是 12.如图，二次函数y=x2+ax十3的图象经过 点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据 图象直接写出n的取值范围 少解题妙招 抛物线对称性的应用 (1)利用对称性可求抛物线的对称轴：若抛物 线经过点(m,y)与(n,y),则其对称轴为直线x -m安产，如m, (2)可利用抛物线的对称性，将对称轴异侧的 点转化到同一侧，再利用二次函数的增减性比较 函数值的大小.如T10. 助学助款优质高数42