第一章 勾股定理单元测试-2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

第一章 勾股定理 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2025·宿州质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,则正方形ABDE的面积为( ) A.81 B.144 C.225 D.169 2.下列说法中,正确的个数是( ) ①如果△ABC是直角三角形,那么a2+b2=c2一定成立; ②在△ABC中,如果a2+b2≠c2,那么△ABC一定不是直角三角形; ③两角及一边分别相等的两个三角形全等. A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2025·南京期中)当n为正整数时,在下列各组数:①3n,4n,5n;②,,;③2n-1,2n+1,2n+3中,是勾股数的是( ) A.① B.①② C.①③ D.②③ 4.如果直角三角形的边长为3,4,a,那么a2的值是( ) A.25 B.1 C.7 D.25或7 5.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是( ) A.52 B.48 C.72 D.76 6.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,面积分别为a,b,c,d.若a=2,b+c=12,则d为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 7.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,如图所示,若正方形ABCD的面积为28,AE+EB=7,则S△CFP-S△AEP的值是( ) A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.6.5 8.在平面内将长度为8,5,6的三根木棒按如图所示方式连接成折线A-B-C-D,其中AB可以绕点B任意旋转,保持∠C=90°,将A,D两点用绷直的皮筋连接,设皮筋的长度为d,则d不可能是( ) A.16 B.12 C.14 D.10 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,∠AED=90°,正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225,则以DE为直径的半圆的面积是 .  10.(2025·成都期中)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.1米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.若一个身高1.6米的学生正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 .  11.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有 个.  12.(2025·长沙期中)如图1是传统的手工推磨工具,根据它的原理设计了如图2的机械设备.磨盘半径OQ=25 cm,用长为125 cm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠OQP大小可变),点P在轨道AB上滑动,并带动磨盘绕点O转动,OA⊥AB,OA=80 cm,则磨盘转动过程中,点P到A的最小距离为 .  13.若点O是边长分别为9,41,40的三角形的内角平分线的交点,则点O到该三角形一边的距离是 .  14.如图1,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以这个直角三角形两直角边为边作正方形.图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4∶3的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形,…,按此规律,则图7中所有正方形的面积和为 .  三、解答题(共52分) 15.(6分)在四边形ABCD中,AB=12 cm,AD=9 cm,AD⊥AB,DC=8 cm,BC=17 cm,求四边形ABCD的面积. 16.(8分)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120米,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶,假设消防车行驶时周围100米以内的地区有噪音影响. (1)学校是否会受到影响?请说明理由. (2)如果受到影响,则影响时间是多长? 17. (8分)消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率,缩短救援时间,减少救援难度和风险.如图,已知云梯最多只能伸长到25 m(即AB=CD=25 m),消防车车身高3.5 m(即点A到地面EF的距离AH为3.5 m),救人时云梯伸长至最长,在完成从18.5 m(即BE=18.5 m)高的B处救人后,要到距点B的正上方5 m(即BD=5 m)高的D处救人,这时消防车需要从A处向着火的楼房DE靠近的水平距离AC为多少米? 18.(8分)(2025·重庆期末)某项目学习实验小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.测量数据如下表(不完整): 成员 组长:×××,组员:×××,×××,××× 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量步骤 如图,线段AB表示学校旗杆, 步骤一:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,用皮尺测量多出的这段绳子的长度; 步骤二:用手握绳梢在地面移动,从旗杆底部起,逐步远离,直到绳子拉直,不能再移动时为止,用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD; 步骤三:用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE. 测量数据 绳子垂到地面,比旗杆多出一段的长度 CD的长度 CE的长度 2 m 1 m 9 m … … 任务一:请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出学校旗杆AB的高度; 任务二:写出你在活动中的收获、反思或困惑(写出一条即可). 19.(10分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. (1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系:____________________.  (2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积. 20.(12分)(2025·无锡期中)如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图,他将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB. (1)当小明在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角B处,若MA=1.6米,AP=1.2米,则甲房间的宽度AB=__________ 米.  (2)当他在乙房间时,测得MA=1.6米,NB=1.2米,且∠MPN=90°,求乙房间的宽AB. (3)当他在丙房间时,测得MA=1.6米,且∠MPA=75°,∠NPB=45°,求丙房间的宽AB. 【附加题】(10分) 实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5 cm,BC是底面直径,高AB为5 cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线. 解决方案:路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示, 设路线1的长度为l1,则=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2; 路线2:高AB+底面直径BC,如图(1)所示: 设路线2的长度为l2,则=(AB+BC)2=(5+10)2=225. 为比较l1和l2的大小,我们采用“作差法”: 因为-=25(π2-8)>0,所以>,所以l1>l2. 小明认为应选择路线2. (1)问题类比:小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小. (2)问题拓展:请你帮他们继续研究:在一般情况下,圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当满足什么条件时,选择路线2?请说明理由. (3)问题解决:如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5 cm,当蚂蚁从点A出发,沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r.(注:按上面小明所设计的两条路线) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2025·宿州质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,则正方形ABDE的面积为(C) A.81 B.144 C.225 D.169 2.下列说法中,正确的个数是(A) ①如果△ABC是直角三角形,那么a2+b2=c2一定成立; ②在△ABC中,如果a2+b2≠c2,那么△ABC一定不是直角三角形; ③两角及一边分别相等的两个三角形全等. A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2025·南京期中)当n为正整数时,在下列各组数:①3n,4n,5n;②,,;③2n-1,2n+1,2n+3中,是勾股数的是(A) A.① B.①② C.①③ D.②③ 4.如果直角三角形的边长为3,4,a,那么a2的值是(D) A.25 B.1 C.7 D.25或7 5.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是(D) A.52 B.48 C.72 D.76 6.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,面积分别为a,b,c,d.若a=2,b+c=12,则d为(B) A.8 B.10 C.12 D.14 7.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,如图所示,若正方形ABCD的面积为28,AE+EB=7,则S△CFP-S△AEP的值是(A) A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.6.5 8.在平面内将长度为8,5,6的三根木棒按如图所示方式连接成折线A-B-C-D,其中AB可以绕点B任意旋转,保持∠C=90°,将A,D两点用绷直的皮筋连接,设皮筋的长度为d,则d不可能是(A) A.16 B.12 C.14 D.10 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,∠AED=90°,正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225,则以DE为直径的半圆的面积是　8π　.  10.(2025·成都期中)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.1米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.若一个身高1.6米的学生正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于　1.3米　.  11.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有　3　个.  12.(2025·长沙期中)如图1是传统的手工推磨工具,根据它的原理设计了如图2的机械设备.磨盘半径OQ=25 cm,用长为125 cm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠OQP大小可变),点P在轨道AB上滑动,并带动磨盘绕点O转动,OA⊥AB,OA=80 cm,则磨盘转动过程中,点P到A的最小距离为　60 cm　.  13.若点O是边长分别为9,41,40的三角形的内角平分线的交点,则点O到该三角形一边的距离是　4　.  14.如图1,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以这个直角三角形两直角边为边作正方形.图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4∶3的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形,…,按此规律,则图7中所有正方形的面积和为　200　.  三、解答题(共52分) 15.(6分)在四边形ABCD中,AB=12 cm,AD=9 cm,AD⊥AB,DC=8 cm,BC=17 cm,求四边形ABCD的面积. 【解析】连接BD, 在Rt△ABD中,∠A=90°, AB=12 cm,AD=9 cm, BD2=AD2+AB2=92+122=225, 所以BD=15 cm. 因为CD2+BD2=82+152=289,BC2=172=289, 所以CD2+BD2=BC2, 所以△BCD是直角三角形, ∠CDB=90°,所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×9×12+×8×15=114(cm2). 16.(8分)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120米,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶,假设消防车行驶时周围100米以内的地区有噪音影响. (1)学校是否会受到影响?请说明理由. (2)如果受到影响,则影响时间是多长? 【解析】(1)学校会受到影响,理由如下: 如图,过点A作AB⊥MN于点B, 因为AP=120米,∠QPN=30°, 所以AB=AP=×120=60(米).因为60米<100米, 所以学校会受到影响. (2)设从点E处开始学校受到影响,点F处结束, 则AE=AF=100米. 因为AB⊥MN,所以BE=BF. 在Rt△ABE中,由勾股定理得:BE2=AE2-AB2=1002-602=6 400,所以BE=80米, 所以EF=2BE=2×80=160(米). 因为消防车的速度为8米/秒,所以学校受影响的时间为=20(秒). 17. (8分)消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率,缩短救援时间,减少救援难度和风险.如图,已知云梯最多只能伸长到25 m(即AB=CD=25 m),消防车车身高3.5 m(即点A到地面EF的距离AH为3.5 m),救人时云梯伸长至最长,在完成从18.5 m(即BE=18.5 m)高的B处救人后,要到距点B的正上方5 m(即BD=5 m)高的D处救人,这时消防车需要从A处向着火的楼房DE靠近的水平距离AC为多少米? 【解析】延长AC交DE于点O,根据题意知,四边形AOEH是长方形, 所以OE=AH=3.5 m. 因为BE=18.5 m,BD=5 m, 所以OB=BE-OE=18.5-3.5=15(m),OD=BE+BD-OE=18.5+5-3.5=20(m). 因为在△AOB中,∠AOB=90°,AB=25 m,所以由勾股定理得OA2=AB2-OB2=252-152=400, 所以OA=20 m. 因为∠COD=90°,CD=AB=25 m, 所以OC2=CD2-OD2=252-202=225,所以OC=15 m, 所以AC=OA-OC=20-15=5(m). 18.(8分)(2025·重庆期末)某项目学习实验小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动,他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.测量数据如下表(不完整): 成员 组长:×××,组员:×××,×××,××× 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量步骤 如图,线段AB表示学校旗杆, 步骤一:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,用皮尺测量多出的这段绳子的长度; 步骤二:用手握绳梢在地面移动,从旗杆底部起,逐步远离,直到绳子拉直,不能再移动时为止,用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离CD; 步骤三:用皮尺测量C点与旗杆之间的距离CE. 测量数据 绳子垂到地面,比旗杆多出一段的长度 CD的长度 CE的长度 2 m 1 m 9 m … … 任务一:请你帮助该小组根据上表中的测量数据,求出学校旗杆AB的高度; 任务二:写出你在活动中的收获、反思或困惑(写出一条即可). 【解析】任务一:由题意可得:BE=CD=1米,设AB=x m, 则AE= m,AC= m. 在Rt△ACE中,AC2=AE2+CE2, 所以=+92, 解得:x=13, 答:学校旗杆AB的高度为13 m. 任务二:测量数据不准确,在测量过程中为了避免误差太大,可以多次测量,取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一). 19.(10分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. (1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系:____________________.  (2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积. 【解析】(1)因为S1=a2,S2=b2,S3=c2, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°, 所以a2+b2=c2,所以S1+S2=S3. 答案:S1+S2=S3 (2)成立,设直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c,所以S2=π()2=,S3=π()2=,S1=π()2=. 因为+=, 所以S1+S2=S3. (3)根据(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积, 所以阴影部分的面积=直角三角形的面积,所以阴影部分的面积=5×12÷2=30. 20.(12分)(2025·无锡期中)如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图,他将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB. (1)当小明在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角B处,若MA=1.6米,AP=1.2米,则甲房间的宽度AB=__________　米.  (2)当他在乙房间时,测得MA=1.6米,NB=1.2米,且∠MPN=90°,求乙房间的宽AB. (3)当他在丙房间时,测得MA=1.6米,且∠MPA=75°,∠NPB=45°,求丙房间的宽AB. 【解析】(1)在Rt△AMP中,因为∠A=90°,MA=1.6米,AP=1.2米, 所以由勾股定理得PM2=AM2+AP2=4,所以PM=2米. 因为PB=PM=2米,所以甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2米. 答案:3.2 (2)因为∠MPN=90°, 所以∠APM+∠BPN=90°. 因为∠APM+∠AMP=90°, 所以∠AMP=∠BPN. 在△AMP与△BPN中, 所以△AMP≌△BPN, 所以MA=PB=1.6米,PA=NB=1.2米,所以AB=PA+PB=1.2+1.6=2.8(米). (3)过N点作MA的垂线,垂足为点D,连接NM. 设AB=x,则AB=ND=x. 因为梯子的倾斜角∠BPN为45°, 所以△BNP为等腰直角三角形,△PNM为等边三角形(180°-45°-75°=60°,梯子长度相同),∠MND=15°. 因为∠APM=75°,所以∠AMP=15°, 所以∠DNM=∠AMP. 因为△PNM为等边三角形, 所以NM=PM, 所以△AMP≌△DNM(AAS), 所以AM=DN, 所以AB=DN=AM=1.6米, 即丙房间的宽AB是1.6米. 【附加题】(10分) 实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5 cm,BC是底面直径,高AB为5 cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线. 解决方案:路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示, 设路线1的长度为l1,则=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2; 路线2:高AB+底面直径BC,如图(1)所示: 设路线2的长度为l2,则=(AB+BC)2=(5+10)2=225. 为比较l1和l2的大小,我们采用“作差法”: 因为-=25(π2-8)>0,所以>,所以l1>l2. 小明认为应选择路线2. (1)问题类比:小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小. (2)问题拓展:请你帮他们继续研究:在一般情况下,圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当满足什么条件时,选择路线2?请说明理由. (3)问题解决:如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5 cm,当蚂蚁从点A出发,沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r.(注:按上面小明所设计的两条路线) 【解析】(1)因为圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm, 所以路线1:=AC2=AB2+BC2=52+π2=25+π2;路线2:=(AB+BC)2=(5+2)2=49. 因为-=25+π2-49=π2-24<0,所以<,所以l1<l2. (2)因为圆柱的底面半径为r cm,高为h cm, 所以路线1:=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+r2π2; 路线2:=(AB+BC)2=(h+2r)2=h2+4r2+4hr. 所以-=h2+r2π2-h2-4r2-4hr=r[r(π2-4)-4h]. 因为r>0,l1>l2,所以r(π2-4)-4h>0, 所以当>时,>,即选择路线2. (3)=AC2=AB2+BC2=25+(2πr)2,=(AB+BC)2=(5+4r)2, 由题意,得25+(2πr)2=(5+4r)2,解得r=, 所以当圆柱的底面半径r为 cm时,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等. 学科网（北京）股份有限公司 $$