第三章 位置与坐标 单元练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第三章 位置与坐标 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.根据下列描述能确定位置的是(B) A.学校报告厅3排 B.电影院第7排5座 C.中山二路 D.南偏东50° 2.(2025·泉州质检)在平面直角坐标系中,点(1,4)关于x轴对称的点的坐标为(A) A.(1,-4) B.(-1,4) C.(-1,-4) D.(4,1) 3.已知点A(-1,3)和点B(3,m-1),如果直线AB⊥y轴,那么m的值为(D) A.1 B.-4 C.-1 D.4 4.小米同学乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个圆之间距离是1 km(小圆半径是1 km).若小艇C相对于游船的位置可表示为(270°,1),则描述图中另外两艘小艇A,B的位置,正确的是(D) A.小艇A(30°,3),小艇B(60°,2) B.小艇A(30°,3),小艇B(120°,2) C.小艇A(120°,3),小艇B(150°,2) D.小艇A(120°,3),小艇B(210°,2) 5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),且AO=BO,∠AOB=90°,则点B的坐标为(B) A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,3) 6.在方格纸中,一只小虫沿小方格的边爬行,它的起始位置是A(2,-1),先爬到B(2,4),再爬到C(-3,4),则小虫至少爬了(A) A.10个单位长度 B.8个单位长度 C.9个单位长度 D.7个单位长度 7.若点A(x,y)的坐标满足等式x+y-xy=0,则称该点A为“和谐点”.若某个“和谐点”到x轴的距离为4,则该点的坐标为(B) A. (,4)或(2,2) B. (,-4)或(,4) C. (,-2)或(-2,-2) D. (,4)或(-,-4) 8.(2025·安庆期中)如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动,在第一分钟,它从原点运动到点(1,0);第二分钟,它从点(1,0)运动到点(1,1),而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动,且每分钟移动1个单位长度,那么在第2 024分钟时,这个粒子所在位置的坐标是(A) A.(44,0) B.(45,0) C.(44,1) D.(45,1) 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.在平面直角坐标系中,A(3,-5)位于第　四　象限.  10.已知点P关于x轴的对称点为(a,-1),关于y轴的对称点为(-2,b),那么点P的坐标是　(2,1)　.  11.在平面直角坐标系中,已知点P(-1,-3)和Q(3a+1,3-2a),且PQ∥x轴,则a的值为　3　.  12.(2025·西安质检)在平面直角坐标系中,点(-3,2)到原点的距离是 　.  13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(3,3),B(-1,1),C(2,1),若要使△ABC与△DBC全等(D不与A重合),则点D的坐标为　(3,-1)或(-2,-1)或(-2,3)　.  14.在平面直角坐标系中,对于任意三个不重合的点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值,“矩面积”S=ah.例如:A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.若D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为　-4或7　.  三、解答题(共52分) 15.(8分)如图是某校的平面示意图,网格中小正方形的边长为1,且已知E楼,A楼的坐标分别为(-2,2),(2,3).完成以下问题: (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系; (2)写出图中校门,B楼,C楼,D楼的坐标; (3)在图中用点M表示实验楼(0,-3)的位置. 【解析】(1)根据题意建立平面直角坐标系,如图所示. (2)如图,校门的坐标为(1,0),B楼的坐标为(1,-2),C楼的坐标为(-5,-3),D楼的坐标为(-3,0). (3)如图所示: 16.(8分)(2025·六安期中)已知点A(-3a-5,2+a),解答下列各题: (1)若点A在x轴上,求出点A的坐标. (2)若点B的坐标为(4,-3),且AB∥y轴,求出点A的坐标. (3)在(2)的基础上,AC∥x轴,线段AC=5,求C点的坐标. 【解析】(1)因为点A在x轴上,所以2+a=0,则a=-2,所以-3a-5=1,即点A的坐标为(1,0). (2)由点B的坐标为(4,-3),且AB∥y轴,可知:-3a-5=4,解得a=-3,所以2+a=-1, 所以点A的坐标为(4,-1). (3)因为AC与x轴平行, 所以A,C两点的纵坐标相同.又AC=5,所以C点横坐标为4+5=9或4-5=-1,所以C点的坐标为(9,-1)或(-1,-1). 17. (8分)如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标. 【解析】(答案不唯一)若以D为坐标原点,DC和AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系, 则A的坐标是(0,4),B的坐标是(6,4),C的坐标是(6,0),D的坐标是(0,0). 作EG⊥CD交AB于点F,因为AE=BE,所以AF=AB=×6=3. 在直角△AEF中,EF===4,则EG=4+4=8,所以E的坐标是(3,8). 18.(8分)【阅读材料】 在平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P(x,y)的勾股值,记为[P],即[P]=|x|+|y|(其中的“+”是四则运算中的加法),例如点P(1,2)的勾股值[P]=|1|+|2|=3. 【解决问题】 (1)求点A(-2,4),B(+,-)的勾股值[A],[B]; (2)若点M在x轴的上方,其横、纵坐标均为整数,且[M]=3,请直接写出点M的坐标. 【解析】(1)因为点A(-2,4),B(+,-), 所以[A]=|-2|+|4|=2+4=6,[B]=|+|+|-|=++-=2. (2)因为点M在x轴的上方,其横、纵坐标均为整数,且[M]=3, 所以x=±1,y=2或x=±2,y=1或x=0,y=3,所以点M的坐标为(-1,2),(1,2),(-2,1),(2,1),(0,3). 19.(10分)已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3). (1)在平面直角坐标系中描出各点,画出△ABC; (2)求△ABC的面积; (3)设点P在y轴上,且△APB与△ABC的面积相等,求P的坐标. 【解析】(1)如图所示: (2)过点C向x,y轴作垂线,垂足分别为D,E,所以S四边形DOEC=3×4=12, S△BCD=×2×3=3,S△ACE=×2×4=4,S△AOB=×2×1=1, 所以S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD-S△ACE-S△AOB=12-3-4-1=4. (3)当点P在y轴上时,S△ABP=BO·AP=4, 即×2AP=4,解得AP=4,所以点P的坐标为(0,5)或(0,-3). 20.(10分)对于实数a,b定义两种新运算“※”和“*”:a※b=a+kb,a*b=ka+b(其中k为常数,且k≠0).若对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),有点P'(a※b,a*b)与之对应,则称点P的“k衍生点”为点P'.例如:P(1,3)的“2衍生点”为P'(1+2×3,2×1+3),即P'(7,5). (1)点P(-1,5)的“3衍生点”的坐标为__________;  (2)若点P的“5衍生点”的坐标为(18,-6),求点P的坐标; (3)若点P的“k衍生点”为点P',且直线PP'平行于y轴,线段PP'的长度为线段OP长度的6倍,求k的值. 【解析】(1)点P(-1,5)的“3衍生点”的坐标为(-1+3×5,-1×3+5),即(14,2). 答案:(14,2) (2)设P(x,y),依题意得方程组,解得所以点P(-2,4). (3)设P(a,b),则P'的坐标为(a+kb,ka+b). 因为PP'平行于y轴, 所以a=a+kb,即kb=0.又因为k≠0,所以b=0, 所以点P的坐标为(a,0),点P'的坐标为(a,ka), 所以线段PP'的长度为|ka|, 线段OP的长度为|a|. 根据题意,有PP'=6OP, 所以|ka|=6|a|,所以k=±6. 【附加题】(10分) 已知,实数m,n,t满足m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=0. (1)求m,n,t的值. (2)如图,在平面直角坐标系中,A,B都是x轴正半轴上的点,C,D都是y轴正半轴上的点(点D在C上面),∠CBD=45°,∠BCD+∠DAO=180°. ①如图(1),若点A与B重合,CD=n,求B点的坐标; ②如图(2),若点A与B不重合,AD=m,BC=t,求△CBD的面积. 【解析】(1)因为m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0,所以m-6=0,n-8=0,t-2=0,解得m=6,n=8,t=2. (2)①因为∠BCD+∠DAO=180°,∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°, 所以∠BCD=∠AOD+∠ADO. 又因为∠AOD+∠BCO+∠OBC=180°,∠BCO+∠BCD=180°, 所以∠BCD=∠AOD+∠OBC, 所以∠OBC=∠ADO. 设∠OBC=∠ADO=x°, 因为∠ADO+∠DAO=90°, 所以2x°+45°=90°,所以x=22.5, 所以∠OBC=∠ADO=22.5°. 如图,过点C作CH⊥AD于H,CH的反向延长线交x轴于点E. 因为∠CBD=45°, 所以∠ACH=∠CBD=45°, 所以AH=CH. 又因为∠EAH=∠DCH=67.5°, 所以∠AEH=∠CDH=22.5°, 所以△AEH≌△CDH(AAS), 所以AE=CD=n=8. 又∠CAE=∠CEA=22.5°, 所以AC=EC.又OC⊥AE, 所以AO=OE=AE=4,所以B(4,0). ②如图,过D作DE⊥BC于E,并延长交x轴于点G. 因为∠CBD=45°,∠BED=90°, 所以∠BDE=∠CBD=45°, 所以BE=DE. 因为∠OBC+∠BCO=90°, ∠OBC+∠BGE=90°, 所以∠BCO=∠BGE=∠DCE. 又∠BEG=∠DEC=90°, 所以△BEG≌△DEC(AAS), 所以EG=EC. 因为∠BCD+∠DAO=180°,∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°, 所以∠BCD=∠AOD+∠ADO. 又因为∠AOD+∠OBC+∠OCB=180°,∠BCD+∠OCB=180°, 所以∠BCD=∠AOD+∠OBC, 所以∠OBC=∠ADO. 因为∠OBC+∠BGE=90°,∠ADO+∠OAD=90°,所以∠BGE=∠OAD, 所以AD=GD=m=6. 设DE=BE=x,又BC=t=2,GE=CE, 所以DG-DE=BE-BC, 所以6-x=x-2, 所以x=4,即DE=4, 所以=BC·DE=×2×4=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 位置与坐标 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.根据下列描述能确定位置的是( ) A.学校报告厅3排 B.电影院第7排5座 C.中山二路 D.南偏东50° 2.(2025·泉州质检)在平面直角坐标系中,点(1,4)关于x轴对称的点的坐标为( ) A.(1,-4) B.(-1,4) C.(-1,-4) D.(4,1) 3.已知点A(-1,3)和点B(3,m-1),如果直线AB⊥y轴,那么m的值为( ) A.1 B.-4 C.-1 D.4 4.小米同学乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示,每相邻两个圆之间距离是1 km(小圆半径是1 km).若小艇C相对于游船的位置可表示为(270°,1),则描述图中另外两艘小艇A,B的位置,正确的是( ) A.小艇A(30°,3),小艇B(60°,2) B.小艇A(30°,3),小艇B(120°,2) C.小艇A(120°,3),小艇B(150°,2) D.小艇A(120°,3),小艇B(210°,2) 5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),且AO=BO,∠AOB=90°,则点B的坐标为( ) A.(2,3) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,3) 6.在方格纸中,一只小虫沿小方格的边爬行,它的起始位置是A(2,-1),先爬到B(2,4),再爬到C(-3,4),则小虫至少爬了( ) A.10个单位长度 B.8个单位长度 C.9个单位长度 D.7个单位长度 7.若点A(x,y)的坐标满足等式x+y-xy=0,则称该点A为“和谐点”.若某个“和谐点”到x轴的距离为4,则该点的坐标为( ) A. (,4)或(2,2) B. (,-4)或(,4) C. (,-2)或(-2,-2) D. (,4)或(-,-4) 8.(2025·安庆期中)如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动,在第一分钟,它从原点运动到点(1,0);第二分钟,它从点(1,0)运动到点(1,1),而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动,且每分钟移动1个单位长度,那么在第2 024分钟时,这个粒子所在位置的坐标是( ) A.(44,0) B.(45,0) C.(44,1) D.(45,1) 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.在平面直角坐标系中,A(3,-5)位于第 象限.  10.已知点P关于x轴的对称点为(a,-1),关于y轴的对称点为(-2,b),那么点P的坐标是 .  11.在平面直角坐标系中,已知点P(-1,-3)和Q(3a+1,3-2a),且PQ∥x轴,则a的值为 .  12.(2025·西安质检)在平面直角坐标系中,点(-3,2)到原点的距离是 .  13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(3,3),B(-1,1),C(2,1),若要使△ABC与△DBC全等(D不与A重合),则点D的坐标为 .  14.在平面直角坐标系中,对于任意三个不重合的点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值,“矩面积”S=ah.例如:A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.若D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为 .  三、解答题(共52分) 15.(8分)如图是某校的平面示意图,网格中小正方形的边长为1,且已知E楼,A楼的坐标分别为(-2,2),(2,3).完成以下问题: (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系; (2)写出图中校门,B楼,C楼,D楼的坐标; (3)在图中用点M表示实验楼(0,-3)的位置. 16.(8分)(2025·六安期中)已知点A(-3a-5,2+a),解答下列各题: (1)若点A在x轴上,求出点A的坐标. (2)若点B的坐标为(4,-3),且AB∥y轴,求出点A的坐标. (3)在(2)的基础上,AC∥x轴,线段AC=5,求C点的坐标. 17. (8分)如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标. 18.(8分)【阅读材料】 在平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P(x,y)的勾股值,记为[P],即[P]=|x|+|y|(其中的“+”是四则运算中的加法),例如点P(1,2)的勾股值[P]=|1|+|2|=3. 【解决问题】 (1)求点A(-2,4),B(+,-)的勾股值[A],[B]; (2)若点M在x轴的上方,其横、纵坐标均为整数,且[M]=3,请直接写出点M的坐标. 19.(10分)已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3). (1)在平面直角坐标系中描出各点,画出△ABC; (2)求△ABC的面积; (3)设点P在y轴上,且△APB与△ABC的面积相等,求P的坐标. 20.(10分)对于实数a,b定义两种新运算“※”和“*”:a※b=a+kb,a*b=ka+b(其中k为常数,且k≠0).若对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),有点P'(a※b,a*b)与之对应,则称点P的“k衍生点”为点P'.例如:P(1,3)的“2衍生点”为P'(1+2×3,2×1+3),即P'(7,5). (1)点P(-1,5)的“3衍生点”的坐标为__________;  (2)若点P的“5衍生点”的坐标为(18,-6),求点P的坐标; (3)若点P的“k衍生点”为点P',且直线PP'平行于y轴,线段PP'的长度为线段OP长度的6倍,求k的值. 【附加题】(10分) 已知,实数m,n,t满足m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=0. (1)求m,n,t的值. (2)如图,在平面直角坐标系中,A,B都是x轴正半轴上的点,C,D都是y轴正半轴上的点(点D在C上面),∠CBD=45°,∠BCD+∠DAO=180°. ①如图(1),若点A与B重合,CD=n,求B点的坐标; ②如图(2),若点A与B不重合,AD=m,BC=t,求△CBD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$