第二章 实数 单元练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2024·烟台中考)下列实数中的无理数是(C) A. B.3.14 C. D. 2.下列说法错误的是(B) A.3是9的平方根 B.的平方根为±4 C.25的平方根为±5 D.负数没有平方根 3.若式子有意义,则a的取值范围是(D) A.a>7 B.a<7 C.a≥7 D.a≤7 4.下列选项计算正确的是(C) A.=±5 B.±=3 C.=2 D.=±1 5.(2024·重庆中考)估计(+)的值应在(C) A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 6.(2024·北京中考)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是(C) A.b>-1 B.|b|>2 C.a+b>0 D.ab>0 7.如果请你来批阅作业,有以下四道题:①=-7;②=±3;③(-)2=4;④-=3.其中计算正确的题共有(A) A.1道 B.2道 C.3道 D.4道 8.(2024·德阳中考)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按如图方式进行排列: 则第八行左起第1个数是(C) A.7 B.8 C. D.4 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.化简:= 　.  10.若实数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示,则|a+b|+=　-2a　.  11.已知a,b均为正整数,如果0<-b<1,我们称b是的“主要值”,那么的“主要值”是　6　.  12.若|a+3|++(m-2)2=0,则(a+b)m=　1　.  13.为了比较与+1的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=4,D在BC上且CD=3,AC=1.通过计算可得　< +1.(填“>”“<”或“=”)  14.若实数x≠-1,则我们把-称为x的“和1负倒数”,如2的“和1负倒数”为-,-3的“和1负倒数”为,若x1=,x2是x1的“和1负倒数”,x3是x2的“和1负倒数”,…,以此类推,则x2 024=　-　.  三、解答题(共52分) 15.(6分)计算:(1)×(-)- ()-1+|-23|;　　(2)+|-2|+2 0230-(-1)1. 【解析】(1)原式=-5-7+|-8|=-5-7+8=-5+1. (2)原式=+2-+1+1=+2-+1+1=4. 16.(6分)求x的值: (1)4x2=;(2)(2x-1)3=-729. 【解析】(1)由4x2=,得x2=,所以x=±; (2)由(2x-1)3=-729,得2x-1=, 即2x-1=-9,解得x=-4. 17.(8分)计算: (1)+-;(2)(+1)2-; (3)+1;(4) (+×. 【解析】(1)原式=2+4-=5; (2)原式=5+2+1-2=6; (3)原式=+1=10+1=11; (4)原式=(2+)×=2+4. 18.(10分)已知x=,y=. (1)填空:x+y=__________,xy=__________.  (2)求x2-xy+y2的值. 【解析】(1)x=,y=, 所以x+y=+=,xy=×===. 答案:　 (2)x2-xy+y2=x2+2xy+y2-3xy=(x+y)2-3xy, 由(1)可知x+y=,xy=,所以原式=()2-3×=7-=. 19.(10分)定义:若两个二次根式m,n满足m·n=p,且p是有理数,则称m与n是关于p的和谐二次根式. (1)若m与是关于6的和谐二次根式,求m; (2)若2-与4+m是关于4的和谐二次根式,求m的值. 【解析】(1)由题意可得,m·=6,所以m=2; (2)由题意可得,(2-)(4+m)=4,整理得,(2-2)m=4-4,所以m=2. 20.(12分)数学活动课上,老师带领同学们探索的近似值的过程如下:因为面积为137的正方形的边长是,且11<<12,所以设=11+x,其中0<x<1,画出示意图,如图所示. 根据示意图,可得图中正方形的面积S正方形=112+2×11x+x2, 又因为S正方形=137, 所以112+2×11x+x2=137, 当x2<1时,可忽略x2,得22x+121≈137,得到x≈0.73. 所以≈11.73. (1)直接写出下列各数的整数部分的值:①;②. (2)仿照上述方法,探究的近似值(画出示意图,标明数据,并写出求解过程,结果精确至0.01). (3)结合上述具体实例,已知非负整数a,b,m,若a<<a+1,且m=a2+b,直接写出的近似值(用含有a,b的式子表示). 【解析】(1)①因为<<,所以2<<3,所以的整数部分的值为2. ②因为<<,所以9<<10,所以的整数部分的值为9. (2)因为面积为54的正方形的边长是,且7<<8, 所以设=7+x,其中0<x<1,画出示意图,如图所示. 根据示意图,可得图中正方形的面积S正方形=72+2×7x+x2. 又因为S正方形=54,所以72+2×7x+x2=54. 当x2<1时,可忽略x2,得14x+49≈54,得到x≈0.36,所以≈7.36. (3)如图,设=a+x, 根据示意图,可得图中正方形的面积为a2+2ax+x2,而m=a2+b, 当x2<1时,可忽略x2,得a2+2ax≈a2+b,所以x≈,所以≈a+. 【附加题】(10分) 阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意思是指两个人合在一起,取长补短,威力无穷.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如(+3)(-3)=-4,(+)(-)=1,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如==,==7+4.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫分母有理化. 解决问题: (1)比较大小:_____　 (用“>”“<”或“=”填空). (2)计算:+++…+. (3)设实数x,y满足(x+)(y+)=2 023,求x+y+2 023的值. 【解析】(1)==,==,因为>, 所以> . 答案:> (2)+++…+ =+ + +…+ =+++…+ =(1-)+(-)+(-)+…+(-) =1- . (3)因为(x+)(y+)=2 023,所以x+=, 所以x+=-y①, 同理y+=-x②, 所以①+②得:x+y++=+-(x+y), 所以x+y=0,所以x+y+2 023=2 023. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 (90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2024·烟台中考)下列实数中的无理数是( ) A. B.3.14 C. D. 2.下列说法错误的是( ) A.3是9的平方根 B.的平方根为±4 C.25的平方根为±5 D.负数没有平方根 3.若式子有意义,则a的取值范围是( ) A.a>7 B.a<7 C.a≥7 D.a≤7 4.下列选项计算正确的是( ) A.=±5 B.±=3 C.=2 D.=±1 5.(2024·重庆中考)估计(+)的值应在( ) A.8和9之间 B.9和10之间 C.10和11之间 D.11和12之间 6.(2024·北京中考)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( ) A.b>-1 B.|b|>2 C.a+b>0 D.ab>0 7.如果请你来批阅作业,有以下四道题:①=-7;②=±3;③(-)2=4;④-=3.其中计算正确的题共有( ) A.1道 B.2道 C.3道 D.4道 8.(2024·德阳中考)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按如图方式进行排列: 则第八行左起第1个数是( ) A.7 B.8 C. D.4 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.化简:= .  10.若实数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示,则|a+b|+= .  11.已知a,b均为正整数,如果0<-b<1,我们称b是的“主要值”,那么的“主要值”是 .  12.若|a+3|++(m-2)2=0,则(a+b)m= .  13.为了比较与+1的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=4,D在BC上且CD=3,AC=1.通过计算可得 +1.(填“>”“<”或“=”)  14.若实数x≠-1,则我们把-称为x的“和1负倒数”,如2的“和1负倒数”为-,-3的“和1负倒数”为,若x1=,x2是x1的“和1负倒数”,x3是x2的“和1负倒数”,…,以此类推,则x2 024= .  三、解答题(共52分) 15.(6分)计算:(1)×(-)- ()-1+|-23|;　　(2)+|-2|+2 0230-(-1)1. 16.(6分)求x的值: (1)4x2=;(2)(2x-1)3=-729. 17.(8分)计算: (1)+-;(2)(+1)2-; (3)+1;(4) (+×. 18.(10分)已知x=,y=. (1)填空:x+y=__________,xy=__________.  (2)求x2-xy+y2的值. 19.(10分)定义:若两个二次根式m,n满足m·n=p,且p是有理数,则称m与n是关于p的和谐二次根式. (1)若m与是关于6的和谐二次根式,求m; (2)若2-与4+m是关于4的和谐二次根式,求m的值. 20.(12分)数学活动课上,老师带领同学们探索的近似值的过程如下:因为面积为137的正方形的边长是,且11<<12,所以设=11+x,其中0<x<1,画出示意图,如图所示. 根据示意图,可得图中正方形的面积S正方形=112+2×11x+x2, 又因为S正方形=137, 所以112+2×11x+x2=137, 当x2<1时,可忽略x2,得22x+121≈137,得到x≈0.73. 所以≈11.73. (1)直接写出下列各数的整数部分的值:①;②. (2)仿照上述方法,探究的近似值(画出示意图,标明数据,并写出求解过程,结果精确至0.01). (3)结合上述具体实例,已知非负整数a,b,m,若a<<a+1,且m=a2+b,直接写出的近似值(用含有a,b的式子表示). 【附加题】(10分) 阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意思是指两个人合在一起,取长补短,威力无穷.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如(+3)(-3)=-4,(+)(-)=1,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如==,==7+4.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫分母有理化. 解决问题: (1)比较大小:_____ (用“>”“<”或“=”填空). (2)计算:+++…+. (3)设实数x,y满足(x+)(y+)=2 023,求x+y+2 023的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$