6.1.3 数据的离散程度 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

6.1.3 数据的离散程度 学习目标 1.理解离差平方和、方差、标准差的概念.（重点） 2.理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．（重点、难点） 2 知识点一：离差平方和 1. (1)离差平方和是刻画一组数据的离散程度的一种统计量； (2)离差平方和是各项数据与它们________________________； (3)用公式表示为S＝______________________________． 平均数之差的平方和 自学自研 2. 5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，计算这组数据的离差平方和： (1)平均数＝________________________＝____； (2)这组数据的离差平方和S＝___________________________________________＝____． (6＋8＋10＋7＋9)÷5 8 (6－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2 10 4. (1) 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为( ) A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 D (2)在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩(环)如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为( ) A.10和0.1 B．9和0.1 C．10和1 D．9和1 C 知识点三：标准差 5. (1)标准差是方差的算术平方根； (2)标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例导引】 7. 【例1】已知一组数据－1.2，0，－3，－2.3，0，1.计算这组数据的离差平方和、方差和标准差(精确到0.1). 导学导练 ∴这组数据的标准差≈1.4 【变式训练】 8. 已知一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，求这组数据的方差和标准差． 解：∵这组数据1，3，2，5，x的平均数是3， ∴(1＋3＋2＋5＋x)÷5＝3，∴x＝4， A 10. 王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是( ) A．方差是0.159 6% 　B．众数是25% C．离差平方和是25% 　D．平均数是26.2% C 小区绿化率(%) 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 11. 【例3】 为考查甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度(单位：cm)如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99.你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由． ∴s甲2<s乙2， ∴甲种农作物长得比较整齐 12. 某机关为提高办事效率，对办事人员进行工作考核，下面是两名办事人员上半年六个月的工作业绩考核情况(每个月满分为10分).甲：5，6，8，7，9，7；乙：3，6，7，9，10，7.根据所学知识，请你比较谁的工作业绩较稳定． ∵s甲2<s乙2， ∴甲的工作业绩较稳定 课堂小结 方差 概念 方差是各个数据与平均数差的平方的________ 公式 ___________________________________ 其中，x是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差 标准差 概念 标准差就是方差的____________ 公式 _________________________________________ 平均数 算术平方根 19 课堂小结 方差 概念 方差是各个数据与平均数差的平方的________ 公式 ___________________________________ 其中，x是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差 标准差 概念 标准差就是方差的____________ 公式 _________________________________________ 平均数 算术平方根 20 (x1－ eq \x\to(x))2＋(x2－ eq \x\to(x))2＋…＋(xn－ eq \x\to(x))2 知识点二：方差 3. (1)方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数； (2)方差通常用s2来表示，计算公式是：s2＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \x\to(x))2＋(x2－ eq \x\to(x))2＋…＋(xn－ eq \x\to(x))2](可简单记忆为“方差等于差方的平均数”)； (3)方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． eq \r(2) 6. (1)已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是________； (2)(2025·深圳龙岗区月考)小明利用公式s2＝ eq \f(1,n)[(1－ eq \x\to(x))2＋(2－ eq \x\to(x))2＋(3－ eq \x\to(x))2＋(4－ eq \x\to(x))2＋(5－ eq \x\to(x))2]计算若干个数的方差，则这些数的标准差为________． eq \r(3) ∴这组数据的方差s2＝ eq \f(1,6)[(－1.2＋ eq \f(11,12))2＋2(0＋ eq \f(11,12))2＋(－3＋ eq \f(11,12))2＋(－2.3＋ eq \f(11,12))2＋(1＋ eq \f(11,12))2]≈1.9， 解：(1)∵这组数据－1.2，0，－3，－2.3，0，1的平均数是 eq \f(1,6)(－1.2＋0－3－2.3＋0＋1)＝－ eq \f(11,12)， ∴这组数据的离差平方和S＝(－1.2＋ eq \f(11,12))2＋2(0＋ eq \f(11,12))2＋(－3＋ eq \f(11,12))2＋(－2.3＋ eq \f(11,12))2＋(1＋ eq \f(11,12))2≈11.7， ∴这组数据的方差s2＝ eq \f(1,5)[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2， ∴这组数据的标准差是 eq \r(2) 9. 【例2】随机抽取一组数据，根据方差公式得s2＝ eq \f((40－40)2＋(39.8－40)2×4＋(40.1－40)2×2＋(40.2－40)2×3,10)＝0.03，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是( ) A．样本容量是11 B．平均数是40 C．离差平方和是0.3 D．39.8的权数是4 ∴s甲2＝ eq \f(1,6)×[(98－100)2＋(102－100)2＋…＋(99－100)2]＝ eq \f(5,3)； s乙2＝ eq \f(1,6)×[(100－100)2＋(103－100)2＋…＋(100－99)2]＝ eq \f(10,3)， 解：∵甲组数据的平均数＝ eq \f(1,6)×(98＋102＋100＋100＋101＋99)＝100(cm)； 乙组数据的平均数＝ eq \f(1,6)×(100＋103＋101＋97＋100＋99)＝100(cm)； ∴s甲2＝ eq \f(1,6)×[(5－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2]＝ eq \f(5,3)， s乙2＝ eq \f(1,6)×[(3－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2]＝5， 解：∵ eq \x\to(x)甲＝ eq \f(1,6)×(5＋6＋8＋7＋9＋7)＝7(分)， eq \x\to(x)乙＝ eq \f(1,6)×(3＋6＋7＋9＋10＋7)＝7(分)， s＝ s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] s＝ s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] $$