精品解析：2025年山东省济宁市邹城十一中中考数学三模试题

九年级数学第三次模拟测试 数学试题 一．选择题：（共10题，每题3分，共30分） 1. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 6. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数结论中，正确的是（ ） A. 图象的顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 图象与x轴的一个交点是 D. 图象开口向下 8. 如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一列数，，……中，，且（n为正整数，且），则（ ）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是_____． 13. 如图，将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，折痕恰好为，则的值为______． 14. 将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是________________． 第一行 第二行 2 第三行 …… 15. 如果平移抛物线得到新的抛物线，抛物线和与轴的交点为同一个点，则称抛物线和为“同族抛物线”，如图已知抛物线与是“同族抛物线”，与轴都交于点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线经过点.若点是抛物线对称轴上一动点，连接、、，则周长的最小值为 __. 三．解答题（共8个题，共75分） 16. （1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标． 18. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩(分) x≤25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数(人) 2 1 0 2 1 1 1 4 14 b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜x≤29，29＜x≤30)： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 26.75 26.75 26 本学期 28.50 m 30 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全折线统计图，并标明数据； (2)请完善c中的统计表，m的值是　 　； (3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有　 　名学生成绩达到优秀； (4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩(分) x≤25 25＜x≤26 26＜x≤27 27＜x≤28 28＜x≤29 29＜x≤30 人数(人) 6 8 3 3 4 6 通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．请你判断小元的说法是　 　(填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是　 　． 19. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 20. 臂架泵车（如图）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面图，进料口到建筑楼的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，，，，为输送臂，可绕，，，旋转，已知输送臂垂直地面且米，米，米，，． （1）的长约为________；（直接写出答案） （2）求出料口到地面的距离． （参考数据：，，，） 21. 如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 22. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （）如图①，折痕端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （）点恰好落在边上． 如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （）如图③，若，连接．当是以为腰等腰三角形时，请直接写出线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为． （1）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值随的增大而减小时的取值范围； （2）当时，若函数的最小值为3，求的值； （3）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、．当抛物线与四边形的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点、点，且点的纵坐标大于点的纵坐标．若时，求值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第三次模拟测试 数学试题 一．选择题：（共10题，每题3分，共30分） 1. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的方向与位数有关，本题中首先把亿展开，可得：，用科学记数法表示，需要把小数点向左移动位，所以为． 【详解】解：． 故选：B． 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 5. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出， 【详解】解：延长，交于， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，直角三角形性质，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，交于点，连接，，由正六边形性质得，垂直平分，垂直平分，，则有，，通过勾股定理得出，然后由弧长公式即可求解． 详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴，垂直平分，垂直平分，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为， 故选：． 7. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） A. 图象的顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 图象与x轴一个交点是 D. 图象开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 8. 如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 9. 已知一列数，，……中，，且（n为正整数，且），则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，关键是由题意得到数字的一般规律． 根据题意得到规律，继而即可求解． 详解】解：， ， 由题意得，则， 解得：， ，则， 解得：， ∴可得， ∴， 故选：D． 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 二．填空题：（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查公式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构是解题关键，注意因式分解要彻底． 12. 桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是_____． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果， ∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为， 故答案为. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，折痕恰好为，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形的性质，，根据折叠可得，进而得出，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合， ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正弦的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是________________． 第一行 第二行 2 第三行 …… 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前五行共有个数，第个数为，从而可得第六行左起第1个数是第个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前五行共有个数，第个数为， 则第六行左起第1个数是， 故答案为：． 15. 如果平移抛物线得到新的抛物线，抛物线和与轴的交点为同一个点，则称抛物线和为“同族抛物线”，如图已知抛物线与是“同族抛物线”，与轴都交于点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线经过点.若点是抛物线对称轴上一动点，连接、、，则周长的最小值为 __. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出x，可得出A，B的坐标，再令，可得出C的坐标，用待定系数法可求出的解析式，从而得出抛物线的对称轴，过点C作直线的垂线与抛物线交于点E，连接与直线相交于P，连接，此时周长最小，然后由坐标系内两点间的距离求出和的长度即可． 【详解】解：令，解得或， ，， 将代入，解得， ， 抛物线是抛物线通过平移得到的， ，即， 将，代入抛物线得，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 过点作直线的垂线与抛物线交于点，连接与直线相交与，连接， 由对称性知，， 两点之间线段最短， 周长的最小为， ，关于直线对称， ， ，， 周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题属于函数中新定义类问题，主要考查待定系数法求函数解析式，坐标系中两点间距离公式以及轴对称—最短线路问题，得出的解析式是解题关键． 三．解答题（共8个题，共75分） 16. （1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）3；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，整式混合运算法则，进行计算即可． （1）先根据得出，求出，根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，二次根式运算法则，进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴ ； （2） ， 把，代入得： 原式． 17. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本尺规作图-作两个角相等，由两条直线平行的判定即可得到答案； （2）根据题意，由待定系数法求出函数表达式，再联立方程组求一次函数与反比例函数图象交点即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 直线即为所求； 【小问2详解】 解：平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点， 将代入一次函数，得到， 解得， 一次函数为， 一次函数为的图象与反比例函数的图象交于点， 将代入一次函数为，得到， 解得，则， ， 反比例函数为， 由（1）知，则直线， 联立，解得或（为负值，舍去）， 点的坐标． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作两个角相等、平行线的判定与性质、待定系数法确定函数表达式、求函数图象的交点坐标等知识，熟练掌握基本尺规作图-作两个角相等、一次函数与反比例函数综合是解决问题的关键． 18. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩(分) x≤25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数(人) 2 1 0 2 1 1 1 4 14 b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜x≤29，29＜x≤30)： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 26.75 26.75 26 本学期 28.50 m 30 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全折线统计图，并标明数据； (2)请完善c中的统计表，m的值是　 　； (3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有　 　名学生成绩达到优秀； (4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩(分) x≤25 25＜x≤26 26＜x≤27 27＜x≤28 28＜x≤29 29＜x≤30 人数(人) 6 8 3 3 4 6 通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．请你判断小元的说法是　 　(填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是　 　． 【答案】(1)见解析；(2)见解析，30；(3)120；(4)B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中　． 【解析】 【分析】(1)计算出成绩为26分的学生人数，补全折线统计图即可； (2)根据中位数的定义即可得到结论； (3)求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论； (4)根据众数的定义即可得到结论． 【详解】(1)成绩为26分学生人数为：30﹣18﹣2﹣1﹣3﹣2＝4， 补全折线统计图如图所示； (2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数， ∴m＝30； 故答案为30； (3)150×＝120名， 即本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀， 故答案为120； (4)B，理由：虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中， 故答案为B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中． 【点睛】本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 19. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】任务1：；全等三角形的对应角相等；任务2：见解析；任务3：或2 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 任务1：由尺规作图作交角平分线的依据即可求解； 任务2：过点作，交于，可证得，可知，进而得，则，可知，即可证明结论； 任务3：如图，过点作，则，，再结合角平分线可证，根据平行可证明，得，进而可知，当平分且将分成面积比为的两部分时，或2，即可求得或2． 【详解】解：任务1：思路：由作图可知，，，， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线． 任务2：过点作，交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴是的平分线． 任务3：如图，过点作，则，， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， 当平分且将分成面积比为的两部分时，或2， ∴或2． 20. 臂架泵车（如图）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面图，进料口到建筑楼的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，，，，为输送臂，可绕，，，旋转，已知输送臂垂直地面且米，米，米，，． （1）的长约为________；（直接写出答案） （2）求出料口到地面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】（1）； （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作，利用锐角三角函数可得，根据等腰三角形的性质可得米； 过点作，垂足为，利用勾股定理可以求出米，根据进料口到建筑楼的水平距离为米，可得米，根据可证，根据全等三角形的性质可得进料口到地面的距离为（米）． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， ，， ，， ， (米)， 故答案为：米； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作，垂足为， 在中， 米， 米， 米， ， 在和中， ， ， 到地面的距离为（米）， 到地面的距离为米． 21. 如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，即， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 与相切； 【小问2详解】 解：连接，如图， ，，， ． 在中，，， ∴， ， ， ， 为的直径， ． ∴在中，， ∴， 由勾股定理得． ， ， ． ， ∴在中，， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （）点恰好落在边上． 如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（）①；②；（）补图见解析，证明见解析；（）或 【解析】 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为． （1）若点在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值随的增大而减小时的取值范围； （2）当时，若函数的最小值为3，求的值； （3）分别过点、作轴的垂线，交抛物线的对称轴于点、．当抛物线与四边形的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点、点，且点的纵坐标大于点的纵坐标．若时，求值； 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象及性质，解直角三角形，涉及分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键． （1）顶点，由点在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧随的增大而减小由此即可求解； （2）分和时讨论：当且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得； （3）先算出、、、四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形的两边交点，求出、坐标；根据正切等于对边比临边的值，可求出． 【小问1详解】 解：顶点坐标， ∴， 又已知， ∴，且A点在第一象限， ∴，此时抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：； 【小问2详解】 解：函数的对称轴为，且开口向上，可知： ①当，且时，则， 可知当时，函数可取得最小值， 即， 解得：（舍去），， ②当，且时，则， 可知当时，函数可取得最小值，即， 解得； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：由题意可知，、、、， 如图所示，当时，当抛物线与四边形的边有两个交点，点在边上、点在边上且与顶点重合，连接， 此时点， ∵为直角三角形， ∴， 解得； 如图所示，当时，若点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，垂足为， 此时， ∴在中， ， 解得， 所以当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $