专题3.3 探索与表达规律（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（北师大版 2024）

专题3.3 探索与表达规律 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识引入1： 1 知识点（一）日历中的数字规律 2 【题型1】日历中的数字规律 2 知识引入2： 3 知识点（二）数字规律 3 【题型2】数字问题 3 【题型3】杨辉三角数字规律 4 【题型4】其他数字规律问题 5 知识点（三）图形规律 6 【题型5】图形规律——火柴棒、桌子摆放、三角形拼图问题 6 【题型6】图形规律——点阵问题 7 二. 同步练习 8 【基础巩固（20题）】 8 【能力提升（20题）】 13 【中考真题10题】 17 一．知识梳理与题型分类精析 知识引入1： 这是2025年 10 月的日历，探究下列问题 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 26 27 28 29 30 31 （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示. 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 26 27 28 29 30 31 知识点（一）日历中的数字规律 图1 图2 如图1，设正中间一个数为，则这九个数字之和为： （）+（）+（）+（）++（）+（）+（）+（）= 如图2，设正中间一个数为，则这五个数字之和为： （（）+（）++（）+（）= 【题型1】日历中的数字规律 【例题1】（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）将连续的偶数2，4，6，8，10，…，按下表进行排列． （1）十字框（即黑线框）内的五个数的和，与中间的数16有什么关系？ （2）若将十字框上下左右移动，框住另外的五个数． ①设此时十字框中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和； ②这五个数的和能否恰好等于？若能，直接写出这五个数，若不能，请说明理由． 【变式2】（22-23七年级上·云南红河·期末）如图是2022年11月的日历．    （1）带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 知识引入2： 任意写出一个位数，然后交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数，并求这两个数的和. 设这个两位数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数为，交换后的两位数为，它们的和是（）+（）=，所以得到以下规律： 知识点（二）数字规律 任意两位数，交换个位数字和十位数字后所得的两位数与原数的和一定是个位数字和十位数字的11倍. 【题型2】数字问题 【例题2】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． （1）填空：、的“友好数”分别是___________； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法， 如：       （1）根据上述算式的规律请计算：＝ （2）试写出一个与上述算式具有同样特征的算式： （3）为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为： ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； （1）请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； （2）你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，（在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由） 【题型3】杨辉三角数字规律 【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”．图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，那么的值是 ． 【题型4】其他数字规律问题 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【变式2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 小结：纯数字类规律探索题就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性的结论．此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示． 知识点（三）图形规律 如图，用火柴棒按下图的方式搭三角形，并填写下表 三角形个数 1 2 3 4 ... 火柴棒根数 1+12=3 1+22=5 1+32=7 1+42=7 ... 1+2= 按这样的规律搭下去，搭个这样的三角形需要多少根火柴棒 搭个这样的三角形需要根火柴棒。 【题型5】图形规律——火柴棒、桌子摆放、三角形拼图问题 【例题5】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． （1）2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． （2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【变式1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 【变式2】（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1 4 2 7 3 10 4 13 …… …… …… （1）每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． （2）摆20个正方形需要多少根小棒？ 【题型6】图形规律——点阵问题 【例题6】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（ ） A．265 B．266 C．267 D．268 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，则第2024个图形需棋子 枚． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． （1）则第4个图中有__________颗黑色棋子； （2）用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； （3）求第230个图中黑色棋子的颗数． 小结：图形类规律探究题包含形状一样但颜色不同的多个几何图形的图案问题，同一种图形大小不一排列问题，同一种图形的数量变化问题及数字与几何图形的有机结合排列等问题，通常以确定探索物体的个数和确定图形数量为主要内容出现． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）按规律排列的一组数据：，，□，，，，⋯，其中□内应填的数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）班级联欢会上，同学们按“个红气球、个黄气球、个绿气球、个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第个气球是（ ）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 3．（2025·云南临沧·一模）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察如图所示的四个三角形内的数，确定M的值为（   ） A．27 B．55 C．72 D．80 5．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，第6个图案有（   ）个五角星． A．13 B．16 C．19 D．22 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，的值为（   ） A．602 B．608 C．604 D．606 8．（24-25七年级下·山东·期末）为庆祝五一国际劳动节，某公司用花卉在小广场摆出了如图所示的图案，其中小黑点表示花卉．第一层需要1盆；第二层需要3盆；第三层需要5盆；第四层需要7盆……工作人员按照以上规律摆放完n层时，恰好共用100盆花卉，则第层的花卉盆数是（   ） A．21 B．23 C．25 D．27 二、填空题 9．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）观察下列有规律的数，并根据此规律写出第五个数 ，，，， ，，… 10．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述规律弹到第2025个音符是 ． 11．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面的等式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 ． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 13．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第7个图案由 个小正方形组成 14．（24-25七年级上·山东德州·期末）用棋子摆出下列一组图形：      按照这种规律摆下去，请问用枚棋子的是第 图 15．（22-23九年级下·广东阳江·阶段练习）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块． 16．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是62，则n的值是 ． 三、解答题 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）观察下列三行数，并完成下面的问题： 第一行：，4，，16，，64，…； 第二行：，2，，8，，32，…； 第三行：，2，，14，，62，…； （1）每一行的第8个数是___________、________、________； （2）求（1）中三个数的和． 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察日历找规律． （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． （1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　），第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） （2）用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是（　　），当时，所贴剪纸“〇”的个数是（　　） 20．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 探究三： 以长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【问题解决】 以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【探究拓展】 以五边形的5个顶点和它内部的n个点，共个顶点可把五边形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 （1）以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成____________个互不重叠的小三角形． （2）以m边形的m个顶点和它内部的n个点作为顶点，且，可把原m边形分割成3034个互不重叠的小三角形．求这个m边形的边数． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·云南·期中）下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到值为（    ） … A．355 B．356 C．435 D．436 3．（24-25七年级下·广东河源·期末）已知变量，的一些对应值如表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）将若干个小四边形按如图的规律排列，则第⑧个图形中小四边形的个数是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 7．（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）如图，是由相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第个图形中圆的个数为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 8．（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 二、填空题 9．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）的末位数字是 ． 10．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）观察下面一列数：按此规律，第2022个数是 ． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于 ． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，黑白相间且有规律排列的球．在第n个白色的球前面，黑色的球共有 个． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的的值是1，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，…，依次继续下去，第2024次输出的结果是 ． 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数，第3幅图形中“•”的个数为，…以此类推，则的值为 ． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）根据如图中点的排列规律，第幅图中共有 个点，第幅图中共有 个点． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）用白色和灰色圆形按照如图所示的方法摆图形． 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有 个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有 个． 三、解答题 17．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： （1）每一组的第6个数分别是_____，______，_____； （2）分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； （3）取每组数的第10个数，计算它们的和． 18．（24-25七年级上·河南郑州·期末）（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． （1）按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 20．（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． （1）若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． （2）计算的值． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 3．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 二、填空题 6．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 7．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 8．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 10．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 探索与表达规律 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识引入1： 1 知识点（一）日历中的数字规律 2 【题型1】日历中的数字规律 2 知识引入2： 5 知识点（二）数字规律 5 【题型2】数字问题 5 【题型3】杨辉三角数字规律 8 【题型4】其他数字规律问题 10 知识点（三）图形规律 12 【题型5】图形规律——火柴棒、桌子摆放、三角形拼图问题 12 【题型6】图形规律——点阵问题 14 二. 同步练习 17 【基础巩固（20题）】 17 【能力提升（20题）】 31 【中考真题10题】 44 一．知识梳理与题型分类精析 知识引入1： 这是2025年 10 月的日历，探究下列问题 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 26 27 28 29 30 31 （1）日历图中的数有什么规律？ （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示. 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 26 27 28 29 30 31 知识点（一）日历中的数字规律 图1 图2 如图1，设正中间一个数为，则这九个数字之和为： （）+（）+（）+（）++（）+（）+（）+（）= 如图2，设正中间一个数为，则这五个数字之和为： （（）+（）++（）+（）= 【题型1】日历中的数字规律 【例题1】（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． （1）若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； （2）请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； （3）在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是3的倍数；（3）不可能，理由见分析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 解：（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）将连续的偶数2，4，6，8，10，…，按下表进行排列． （1）十字框（即黑线框）内的五个数的和，与中间的数16有什么关系？ （2）若将十字框上下左右移动，框住另外的五个数． ①设此时十字框中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和； ②这五个数的和能否恰好等于？若能，直接写出这五个数，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）①；②不能，见分析 【分析】本题主要考查有理数的计算以及整式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意计算出，即可得到答案； （2）①通过观察知：左边的数字比中间的数字小2，右边的数字比中间的数字答2，上面的数字比中间的数字小10，下面的数字比中间的数字大10，设中间的数字为，将每个数表示出来即可进行计算； ②，由数表可知数字在第一列，故这五个数的和不能等于2210． 解：（1）解：十字框中的五个数字之和为， 又， 十字框中的五个数字之和是中间数字16的5倍； （2）解：①通过观察知：左边的数字比中间的数字小2，右边的数字比中间的数字答2，上面的数字比中间的数字小10，下面的数字比中间的数字大10． 中间的数字为， 左边的数字为，右边的数字为，上面的数字为．下面的数字为， 十字框中的五个数字之和为； ②不能，理由如下： ， 而由数表可知数字在第一列，故这五个数的和不能等于2210． 【变式2】（22-23七年级上·云南红河·期末）如图是2022年11月的日历．    （1）带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】（1）方框中9个数之和为方框正中心的9倍；（2）移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍，见分析 【分析】（1）方框内数字的和为99，恰好是中间数字11的9倍； （2）设中间的数为，则方框中所有的数字表示出来，相加得到． 解：（1）解：9个数之和为：， ， 答：方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）解：不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变． 设阴影方框正中心的数为x， 则9个数之和为： ， ∵， ∴恒成立， 答：移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 【点拨】此题考查了整式规律题，解题的关键是找出整式的规律． 知识引入2： 任意写出一个位数，然后交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数，并求这两个数的和. 设这个两位数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数为，交换后的两位数为，它们的和是（）+（）=，所以得到以下规律： 知识点（二）数字规律 任意两位数，交换个位数字和十位数字后所得的两位数与原数的和一定是个位数字和十位数字的11倍. 【题型2】数字问题 【例题2】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． （1）填空：、的“友好数”分别是___________； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【答案】（1），；（2）证明见分析 【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。 （1）由“友好数”的定义可得答案； （2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证． 解：（1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，， 故答案为：，； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数为：， 它的“友好数”为：， 这两个数的和为：， 因为，为正整数， 所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法， 如：       （1）根据上述算式的规律请计算：＝ （2）试写出一个与上述算式具有同样特征的算式： （3）为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为： ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 【答案】（1）722；（2）9298；（3）；； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意发现所给算式各部分的数字特征是解题的关键． （1）根据题中所给示例，发现规律即可解答． （2）根据（1）中发现的规律，写出符合要求的算式即可． （3）根据（1）中发现的规律，依次进行表示并写出计算结果即可． 解：（1）解：∵，，，， ∴当两个十位数字相同，且个位数字和为10的两位数相乘时，积的前一位（两位）由十位数字乘以十位数字加1组成，后两位为个位数字的积（积为一位数时高位由0补充）， ∴87×83=7221． 故答案为：7221． （2）由（1）中发现的规律可知： 符合要求的算式可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：当一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n时， 这个因数可表示为，则另一个因数可表示为， 则计算结果可表示为：． 故答案为：；；． 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ；；；； （1）请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； （2）你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，（在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由） 【答案】（1）原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式进行总结即可； （2）由（1）规律表示新的两位数，再利用整式加减法则计算即可． 解：（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， …， ∴把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； 故答案为：原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； （2）解：∵原来两位数的十位数字为，个位数字为， ∴由（1）中规律得新两位数可表示为：； ． 【题型3】杨辉三角数字规律 【例题3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类的规律探究，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 根据前几个数字的变化得到，计算出，，进而代入计算即可． 解：因为，，，，···， 所以， 故， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”．图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，求代数式的值．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．根据题意得出第个数记为，再代入求值，进而可得结果． 解：第一个数记为， 第二个数记为， 第三个数记为， ， 第个数记为， 故，，， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据得到， 计算，，代入计算即可． 本题考查了图形的规律计算，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 解：因为， 所以， 故，， 故， 故答案为：． 【题型4】其他数字规律问题 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【答案】 10028 【分析】此题考查数字的变化规律，代数式求值，找出y与之间的联系，得出规律，即可解答． 解：数字的序号为，其值为，由已知得 ；；；； ……… 仔细观察发现，序号每增加1，值就增加5，与第1个数相比，第个数应增加，∴第个数应为，即， 当时，． 故答案为：，10028． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确应用规律是解答此题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值． 解：， ， ， ， ……， 这列数是，，，，，， 发现这列数每三个循环， ，且， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 小结：纯数字类规律探索题就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性的结论．此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示． 知识点（三）图形规律 如图，用火柴棒按下图的方式搭三角形，并填写下表 三角形个数 1 2 3 4 ... 火柴棒根数 1+12=3 1+22=5 1+32=7 1+42=7 ... 1+2= 按这样的规律搭下去，搭个这样的三角形需要多少根火柴棒 搭个这样的三角形需要根火柴棒。 【题型5】图形规律——火柴棒、桌子摆放、三角形拼图问题 【例题5】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． （1）2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． （2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】（1），，；（2）共可坐人． 【分析】本题考查整式的图形规律．本题关键在于通过观察桌子拼接时可坐人数的变化，归纳出通用规律张桌子可坐人，再利用该规律解决实际问题（计算多张桌子拼接后的总人数）．解题时需注意从特殊到一般的归纳方法，以及规律在实际场景中的应用． （1）通过观察1张、2张、3张桌子拼接时可坐人数的变化，找出数量规律，进而推导出张桌子拼接时可坐人数的表达式； （2）先利用（1）中得到的规律计算每5张桌子拼成的大桌子可坐人数，再乘以大桌子的数量（8张）得到总人数． 解：（1）解：观察图形或分析拼接规律： 1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可坐人数增加2人； 因此2张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 3张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 归纳得出，张桌子拼在一起可坐人数为人． 故答案为：，，． （2）根据（1）中得到的规律，当时，可坐人数为人， 已知40张桌子可拼成8张大桌子，每张大桌子可坐14人， 因此总人数为人． 答：共可坐人． 【变式1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 【答案】132 【分析】本题考查的是探索规律题，根据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论． 解：第1个图形一共有个花盆； 第2个图形一共有个花盆； 第3个图形一共有个花盆； …… 第个图形一共有个花盆； 第10个图形中花盆的个数为， 故答案为：132． 【变式2】（2025六年级下·江苏无锡·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1 4 2 7 3 10 4 13 …… …… …… （1）每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． （2）摆20个正方形需要多少根小棒？ 【答案】（1）3；（2）61根 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键； （1）仔细观察表中的数据，需要小棒的根数随着个数而增加，且每次都是增加3根，所以，每增加一个正方形，就增加3根小棒，据此可解． （2）根据表格找出规律，然后代入求值即可． 解：（1）由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要根小棒；摆3个小正方形需要根小棒；摆4个小正方形需要根小棒…… 所以，每多摆1个正方形，就增加3根小棒． 故答案为：3． （2）根据表格，可以得出： 1个正方形需要4根小棒； 2个正方形需要7根小棒，； 3个正方形需要10根小棒，； …… 由此，可得规律：每增加一个正方形，就会增加3根小棒，则摆n个正方形需要根小棒，n为正整数． 当时 （根） 答：摆20个正方形需要61根小棒． 【题型6】图形规律——点阵问题 【例题6】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（ ） A．265 B．266 C．267 D．268 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的变化规律．仔细观察图形的变化，找到规律，利用规律求解． 解：第①个图形中有个★， 第②个图形中有个★， 第③个图形中有个★， 第④个图形中有个★， …， 第n个图形中共有个★． 当时，， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，则第2024个图形需棋子 枚． 【答案】6073 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，第1个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，得出规律，进而求出第2024个图形所需棋子数，即可． 解：观察图形可知，第1个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子， ∴第个图形有（枚）棋子， ∴第2024个图形需棋子（枚）； 故答案为：6073． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． （1）则第4个图中有__________颗黑色棋子； （2）用含的代数式表示第个图中黑色棋子的颗数； （3）求第230个图中黑色棋子的颗数． 【答案】（1）15；（2）；（3）693颗 【分析】本题考查了图形规律问题，涉及了列代数式、代数式求值，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）将代入求值即可． 解：（1）解：图1中有6颗黑色棋子， 图2中有9颗黑色棋子， 图3中有12颗黑色棋子， 图4中有15颗黑色棋子， 故答案为：15； （2）解：依题意，第1个图中黑色棋子的颗数是， 第2个图中黑色棋子的颗数是， 第3个图中黑色棋子的颗数是， ……， 所以第个图中黑色棋子的颗数是； （3）解：当时， ， 图230中黑色棋子的颗数是693颗． 小结：图形类规律探究题包含形状一样但颜色不同的多个几何图形的图案问题，同一种图形大小不一排列问题，同一种图形的数量变化问题及数字与几何图形的有机结合排列等问题，通常以确定探索物体的个数和确定图形数量为主要内容出现． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）按规律排列的一组数据：，，□，，，，⋯，其中□内应填的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 分子为连续奇数，分母为序号的平方加上1，根据规律即可得到答案． 解：观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方加上1， 第n个数据为：， 当时，这个数为． 故选：D． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）班级联欢会上，同学们按“个红气球、个黄气球、个绿气球、个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室．第个气球是（ ）的． A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得每个周期包含个气球，进而由即可求解，找到气球的排列规律是解题的关键． 解：∵， ∴每个周期包含个气球 ∵， ∴第个气球是黄色的， 故选：． 3．（2025·云南临沧·一模）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式的规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键．观察多项式中的系数和指数变化规律，分别确定a的系数、指数和b的系数、指数与项数n的关系即可解答． 解：一组按规律排列的多项式：，，，，，； 的系数依次为2，3，4，5，6，，次数都为1； 依此类推，第n项的系数为，次数为1，即对应项为； 的系数都为1，次数依次为3，4，5，6，7，； 依此类推，第n项的系数为，次数为，即对应项为； ∴第n个式子是． 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察如图所示的四个三角形内的数，确定M的值为（   ） A．27 B．55 C．72 D．80 【答案】B 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类得知识点，解答本题的关键是找出几个图形之间的规律进行解题．首先观察前三个图形可得规律：三角形顶点的数=三角形两底数之和×左底数字，即可求出M的值． 解：观察规律可知： ， ， ， 三角形顶点的数=三角形两底数之和×左底数字， 即． 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律． 通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 解：搭2个正方形需要根火柴棒； 搭3个正方形需要根火柴棒； ， 搭个这样的正方形需要根火柴棒， 搭2024个这样的正方形需要根火柴棒． 故选：C． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，第6个图案有（   ）个五角星． A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形类规律探索，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．根据前几个图形五角星个数的变化规律求解即可． 解：∵第1个图案有个五角星； 第2个图案有个五角星； 第3个图案有个五角星； ∴依规律可知第n个图案有个五角星． ∴第6个图案有个五角星． 故选：C． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，的值为（   ） A．602 B．608 C．604 D．606 【答案】A 【分析】本题主要考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式，然后代入数值计算即可． 解：由题意可得，， 当时，， 故选：A． 8．（24-25七年级下·山东·期末）为庆祝五一国际劳动节，某公司用花卉在小广场摆出了如图所示的图案，其中小黑点表示花卉．第一层需要1盆；第二层需要3盆；第三层需要5盆；第四层需要7盆……工作人员按照以上规律摆放完n层时，恰好共用100盆花卉，则第层的花卉盆数是（   ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形规律探索，观察图形的变化，找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 解：∵第一层需要盆；第二层需要盆；第三层需要盆；第四层需要盆…， ∴前层共有（盆） , ∵工作人员按照以上规律摆放完层时，恰好共用盆花卉, ， ， ， 层的花卉盆数是， 故选: A． 二、填空题 9．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）观察下列有规律的数，并根据此规律写出第五个数 ，，，， ，，… 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．观察可知，序号为奇数的数为正数，序号为偶数的数为负数，分数部分中分子为序号数，分母为序号数的平方加1，按此规律即可得到第五个数． 解：第一个数：； 第二个数：； 第三个数：； 第四个数：； …… 观察可知，序号为奇数的数为正数，序号为偶数的数为负数，分数部分中分子为序号数，分母为序号数的平方加1， 即第五个数是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·重庆秀山·阶段练习）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述规律弹到第2025个音符是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律．根据题意，得出所弹音符按4，5，6，7，1循环，据此可解决问题． 解：由题知，所弹音符按4，5，6，7，1循环． 因为， 所以弹到第 2025个音符是1． 故答案为：1． 11．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面的等式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，绝对值，有理数的减法，正确理解题意找到规律是解题的关键．联系题目给出的5个等式，找到其中的规律是关键． 通过上下对比发现等式左边都是某数减1，等式右边都是某数加3．从而联想等式最左边的数与等式右边绝对值的关系． 解：通过观察发现规律如下： ； ； ； ； ； 代入3.32，可得： ； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 【答案】 16 【分析】本题考查图形的规律，代数式，理解图形是解题的关键． 根据每个图形的黑色瓷砖增幅相等，都是3，可以猜测第n个图形黑色瓷砖是块，然后代入验证即可． 解：第一个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第二个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第三个图形∶黑色瓷砖是（块）； …… ∴第n个图形∶黑色瓷砖是块； 当时，（块）． 故答案为∶16； ． 13．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第7个图案由 个小正方形组成 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据规律归纳出第个图形中小正方形的数量解题的关键．根据前面几个图形可得到第个图形中小正方形的数量为，即可求解． 解：第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 第个图形由个小正方形组成， 第个图案由个小正方形组成， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东德州·期末）用棋子摆出下列一组图形：      按照这种规律摆下去，请问用枚棋子的是第 图 【答案】15 【分析】本题考查图形变化的规律，依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第1个图形所用棋子的个数为：； 第2个图形所用棋子的个数为：； 第3个图形所用棋子的个数为：； …， 所以第n个图形所用棋子的个数为个， 令， 解得， 故所摆的是第15个图形． 故答案为：15． 15．（22-23九年级下·广东阳江·阶段练习）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的变化类问题，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题，解答本题的关键是发现规律：多一个黑色六边形，多个白色六边形． 解：根据题意得：第个图里有白色地砖； 第个图里有白色地砖； 第个图里有白色地砖； …… 则第个图形中有白色地砖块． 故答案为:． 16．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是62，则n的值是 ． 【答案】 【分析】根据所给图形，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键． 解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个． 令， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）观察下列三行数，并完成下面的问题： 第一行：，4，，16，，64，…； 第二行：，2，，8，，32，…； 第三行：，2，，14，，62，…； （1）每一行的第8个数是___________、________、________； （2）求（1）中三个数的和． 【答案】（1）256、128、254；（2）638 【分析】此题考查了数字类的规律探究、有理数的乘方，发现每行数字间的关系是解题关键． （1）根据每行第n个数的变化规律求解即可； （2）根据（1）中所求数值进行求和即可． 解：（1）解：观察第一行：，，，，，，…， 则第8个数为； 观察第二行，每个数是第一行相应的数的一半，则第8个数为； 观察第三行，每个数是第一行相应的数减2，则第8个数为， 故答案为：256、128、254； （2）解：三个数的和为． 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察日历找规律． （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】（1）如果左上的数字为x，则右上为，左下为：，右下为：；（2）方框中9个数的和是中间数的9倍；（3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 【分析】本题主要考查了数表中的规律，用代数式表示， （1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：每行相邻两数差1，每一列相邻两数差7，解答即可； （2）直接写出这9个数，求出和，再根据结果解答； （3）根据（1）解答即可． 解：（1）解：利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为，左下为，右下为； （2）解： 答：方框中9个数的和是中间数的9倍； （3）解：我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． （1）第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　），第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） （2）用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是（　　），当时，所贴剪纸“〇”的个数是（　　） 【答案】（1）8，11；（2），80 【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键． （1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数． （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数． 解：（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为， 故答案为：，． （2）解：观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，； 第2个图中“〇”的个数为8，； 第3个图中“〇”的个数为11，； …… 发现规律：第n个图中“〇”有个． 当时，， 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是， 当时，所贴剪纸“〇”的个数是， 故答案为：，80． 20．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 探究三： 以长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【问题解决】 以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【探究拓展】 以五边形的5个顶点和它内部的n个点，共个顶点可把五边形分割成____________个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 （1）以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成____________个互不重叠的小三角形． （2）以m边形的m个顶点和它内部的n个点作为顶点，且，可把原m边形分割成3034个互不重叠的小三角形．求这个m边形的边数． 【答案】[问题探究]探究一：；探究二：；探究三：；[问题解决]；；[探究拓展]； ；[拓展延伸]（1）；（2）． 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中顶点及内部顶点数，分割出三角形的个数进行判定，找出规律是关键． [问题探究]探究一：根据图形分析即可；探究二：根据图形分析即可；探究三：结合图形分析即可； [问题解决]根据“问题探究”的规律判定即可； [探究拓展]根据题意，作图分析即可求解； [拓展延伸]（1）根据边数与顶点数，三角形个数的数量关系判定即可；（2）根据规律列式求解即可． 解：[问题探究] 探究一：根据图示得到，以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成个互不重叠的小三角形， 故答案为：； 探究二：根据图示得到，以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成个互不重叠的小三角形， 故答案为：； 探究三：根据图示， 以长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成个互不重叠的小三角形； [问题解决] 根据题意，以长方形的4个顶点和它内部的1个点，共5个点为顶点，得到互不重叠的三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点为顶点，得到互不重叠的三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点为顶点，得到互不重叠的三角形个数为：， ∴以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点为顶点，得到互不重叠的三角形个数为：， 故答案为：； [探究拓展] 如图所示， ∴以五边形的5个顶点和它内部的n个点，共个顶点可把五边形分割成互不重叠的三角形个数为：个， 故答案为：； [拓展延伸] （1）根据上述的计算方法得到，以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成互不重叠的三角形个数为：， 故答案为：； （2）根据上述计算的得，， 解得，， ∴这个m边形的边数为． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·云南·期中）下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律．观察给定单项式找出规律即可． 解：∵第1项正，第2项负，第3项正，…，符号交替变化， ∴第项符号为， ∵指数依次为3，5，7，…， ∴第项指数为， 综上所述，符号部分为，指数部分为，故第个单项式为， 故选：C． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到值为（    ） … A．355 B．356 C．435 D．436 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系． 分析前四个正方形，找到它们与个数之间的关系以及它们之间的关系，然后代入求解即可． 解：对以上正方形按顺序排列如下： 解：分析正方形中的四个数： 左上第一个数为：， ∴第⑨个正方形的左上第一个数； 右上第二个数为：， ∴第⑨个正方形的右上第二个数； 左下第三个数为第二个数加1，即， 右下第四个数为右上第二个数与左下第三个数的乘积加1即， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末）已知变量，的一些对应值如表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，代数式求值，通过观察表格中与的对应值，发现的值恰好是的立方，即，将代入即可求得对应的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据表格数据，当时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，， 由此可得与的关系式为， 当时，， 故选：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为2， 第2个图形中黑色正方形的数量为3， 第3个图形中黑色正方形的数量为5， 第4个图形中黑色正方形的数量为6， 第5个图形中黑色正方形的数量为8， ．．．， 当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个； 当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个， 当时，． 故选：D． 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【分析】本题规律探索问题，把 转化为 ，再根据题中规律展开，即可求解． 解： ， 其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 故选：B． 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）将若干个小四边形按如图的规律排列，则第⑧个图形中小四边形的个数是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，找到图形的变化规律是解题的关键 设第n个图形有个小四边形（n为正整数），观察图形，根据各图形中小四边形个数的变化可得出变化规律，再代入即可求出结论． 解：设第n个图形有个小四边形（n为正整数）． 观察图形可知     第1个图形有4个小四边形，即； 第2个图形中有7个小四边形，即； 第3个图形中有10个小四边形，即； …， 按此规律排列下去， ∴（n为正整数）， 所以第8个图形中小四边形的个数为：． 故选：B． 7．（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）如图，是由相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第个图形中圆的个数为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】通过观察图形，找出每个图形中圆的个数的规律，然后根据规律计算第7个图形中圆的个数． 解：第个图形有个圆，即； 第个图形有个圆，即； 第个图形有个圆，即； ……， 以此类推，第个图形中圆的个数为． 当时，． 故选：． 【点拨】本题考查了图形规律探究，掌握图形规律探究方法善于总结规律是解题的关键． 8．（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 解：第1个图案中有个正方形， 第2个图案中有个正方形， 第3个图案中有个正方形， ……， 第n个图案中有个正方形， ∴第2025个图案中正方形的个数是个， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）的末位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，规律型—数字的变化类； 分别求出，，，，，…，可得（n是从1开始的正整数）的个位数字以3、9、7、1为一个循环组依次循环，进而求出的个位数字为7，同理可得的个位数字为1，的个位数字为1，然后计算即可． 解：∵， ， ， ， ，…， ∴（n是从1开始的正整数）的个位数字以3、9、7、1为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字为7， 同理可得：的个位数字为1，的个位数字为1， ∵， ∴的末位数字是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）观察下面一列数：按此规律，第2022个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的规律型：数字的变化类，由所给的数可得，奇数项为正，偶数项为负，其分母为，据此即可作答． 解：， ， ， ， ， ， 第个数为：， 第2022个数为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于 ． 【答案】356 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．写出这个数为，观察发现从第四个数字开始，以为周期，10个为一循环，据此规律求解即可得． 解：由题意得：这个数为， 观察可知，从第四个数字开始，以为周期，10个为一循环， ∵，，， ∴这个100位数的各个数字之和等于， 故答案为：356． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，黑白相间且有规律排列的球．在第n个白色的球前面，黑色的球共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．观察图形，总结出规律求解即可． 解：∵第2个白球前面是1个黑球， 第3个白球前面是（个）黑球， 第4个白球前面是（个）黑球， ……， 则在第n个白色的球的前面，黑色的球共有． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的的值是1，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，…，依次继续下去，第2024次输出的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数字的规律探究，有理数的混合运算，根据数据求出从第一次开始，输出结果为8、4、2、1，每4次一个循环，由此即可得出答案． 解： 第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， ， 以此类推，从第一次开始，输出结果为8、4、2、1，每4次一循环， ， 第2024次输出的结果是1， 故答案为：1． 14．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数，第3幅图形中“•”的个数为，…以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确观察图形得到，进而根据对所求式子进行裂项求解即可得到答案． 解：， ， ， ， 以此类推，可知； ， 故答案为：． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）根据如图中点的排列规律，第幅图中共有 个点，第幅图中共有 个点． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，由图可知，后面一个图形比前面一个图形多个点，即可得幅图中共有个点，再求出时代数式的值即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 解：由图可知，后面一个图形比前面一个图形多个点， ∴第幅图中共有个点， 当时，， ∴第幅中共有个点， 故答案为：，． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）用白色和灰色圆形按照如图所示的方法摆图形． 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有 个圆形；当一个图形中有6个灰色圆形时，白色的圆形有 个． 【答案】 25 30 【分析】本题考查了图形规律探究，能够发现圆形个数的变化规律是解题的关键．通过观察分析第n个图中有圆形的个数为个，有灰色圆形n个，有白色圆形个，据此即可求解． 解：第1个图中有圆形的个数为1个，，有灰色圆形1个； 第2个图中有圆形的个数为4个，，有灰色圆形2个，有白色圆形个； 第3个图中有圆形的个数为9个，，有灰色圆形3个，有白色圆形个； 第4个图中有圆形的个数为16个，，有灰色圆形4个，有白色圆形个； 第n个图中有圆形的个数为个，有灰色圆形n个，有白色圆形个， 当时，（个）， 当一个图形中有6个灰色圆形时，即时，则白色圆形有：（个）， 故答案为：25；30． 三、解答题 17．（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： （1）每一组的第6个数分别是_____，______，_____； （2）分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； （3）取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 解：（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 18．（24-25七年级上·河南郑州·期末）（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了图形类规律问题，能正确找出规律是解题的关键； （1）根据图形可得每增加一层就增加5根小棒，据此即可解答； （2）根据题意作答即可． 解：（1）第一个图形需要7根小棒， 第二个图形需要根小棒， 第三个图形需要根小棒， … 则第n个图形需要根小棒， 故答案为：； （2）摆法如图（答案不唯一）所示： 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． （1）按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）米；18块；（2）块 【分析】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，解题的关键是找到规律． （1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量； （2）观察题目中的已知图形，可得前3个图案中有花纹的地面砖数和正方形地砖总数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和正方形地砖总数． 解：（1）解：根据题意得：第1个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为 第2个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 第3个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 故答案为：米；18 （2）解：根据题意得：第1个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为1块， 第2个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为2块， 第3个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为3块， ……， 第n个图案中的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为n块， ∴没有花纹的地砖块数为块． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． （1）若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． （2）计算的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 解：（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解： 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 3．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 5．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 7．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 8．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 10．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$