5.2.2 加减消元法 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.2.2 加减消元法 学习目标 1.通过探究，得出用加减消元法解二元一次方程组的方法和步骤，并会用加减消元法解二元一次方程组； 2.通过合作交流，能选择恰当的方法解二元一次方程组. 2 核心知识点一 探究学习 用加减法解二元一次方程组 在一次数学考试结束后，数学老师打算买一些本子和笔奖励学生. 已知买三只笔和两本本子共需 14 元，若买两只笔和三本本子共需 16 元，则笔和本子单价为多少元？ 3x + 2y = 14 2x + 3y = 16 解：设笔的单价为 x 元，本子的单价为 y 元. 根据题意得： 你会解这个方程组吗？ 3 3x + 2y = 14 2x + 3y = 16 ① ② 解：由 ②，得 y = ③ 将 ③ 代入 ①，得 3x + 2× = 14， 给方程两边×3得，9x+2×(16-2x)=14 x = 2 将 x = 2 代入 ③ 得， y = 4 所以原方程组的解是 x = 2 y = 4 还有其他的解法吗？ 4 把 ② 变形 5y = 2x +11 可以直接代入①呀！ 怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3x + 5y = 21， ① 2x - 5y = -11. ② 解：由②，得 5y = 2x + 11 ③ 将 ③ 代入 ①，得 3x + 2x + 11 = 21， x = 2 将 ② 代入 ① 得 3×2 + 5y = 21，y = 3. 所以原方程组的解是 x = 2 y = 3. → 变形 → 代入消元 → 求解 → 回代求解 → 写解 5 怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3x + 5y = 21， ① 2x - 5y = -11. ② 把 ② 变形得 代入 ①，不就消去 x 了！ 把 ② 变形得，x= ③ 将③代入①得，y = 3 将 y = 3代入①中得，x = 2 新知学习 6 5y 和 -5y 互为相反数…… 怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3x + 5y = 21， ① 2x - 5y = -11. ② 基本思路 → 消元 7 解：① + ②，得 5x = 10 x = 2 将 x = 2 代入 ①，得 3×2 + 5y = 21， y = 3 所以原方程组的解是 x = 2 y = 3 → 加减消元：将两式相加(减)消去其中一个未知数,得到一元一次方程 → 求解:解出消元之后的一元一次方程 → 代入:将一元一次方程的解回代到原式中并 求解 → 写解:写出元方程组的解 8 [概括新知] 加减消元法解二元一次方程组: (1)概念:通过两式相加(减)消去其中一个未知数,这种解二元 一次方程组的方法叫做　　　　　　,简称　　　　　.  (2)基本思路:通过加减“　　　　”——把“　　　　”变为 “　　　　”.  加减消元法 加减法 消元 二元 一元 9 思考：如果方程组中的两个式子同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，应该如何求解呢？ 2y + 3z = -4， 5y + 6z = -7. ②未知数的系数有何特点？ 加减之后并没有消元 z 的系数是倍数关系 如何求解方程组： 大家自己试一试吧！ 用代入消元法复杂，不可用 ①可不可以直接进行加减消元？ 把z的系数变为相同 10 2y + 3z = -4， ① 5y + 6z = -7. ② 方程组： 解：①×2，得 4y + 6z = -8 ③ ② - ③，得 ( 5y + 6z ) - ( 4y + 6z ) = -7 - (-8) y = 1 将 y = 1 代入①，得 2×1 + 3z = -4 z = -2 所以原方程组的解是 y = 1 z = -2. → 变形：找系数的最小公倍数 → 加减消元：将两式相加(减)消去其中一个未 知数,得到一元一次方程 → 求解:解出消元之后的一元一次方程 → 代入:将一元一次方程的解回代到原 式中并求解 → 写解:写出元方程组的解 11 用加减消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形 根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减. ②加减 12 用加减消元法解二元一次方程组的步骤： ③求解 解消元后的一元一次方程. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中. ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 13 知识点一：加减消元法 1. 解方程组时，通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为_____________，简称__________． 加减消元法 加减法 自学自研 (1)①×2－②，得_________，解得y＝2， (2)把y＝2代入①，解得_________， (3)所以原方程组的解为_______________． 7y＝14 x＝4 知识点二：利用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 3. (1)两式相加(减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (2)解这个一元一次方程； (3)将求出的未知数的值代入原方程组中系数相对简单的方程中，求出另一个未知数的值； (4)写出二元一次方程组的解． 解：①＋②，得2x＝4， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝1， 解：①＋②，得3x＝6， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得2＋y＝4， 解得y＝2， 知识点三：用适当的方法解二元一次方程组 5. (1)解二元一次方程组时，根据方程组系数的特点选择较简单的方法消元； (2)当方程组较复杂时，通常先化简变形，再选择最佳方法消元． 解：①×3，得9x－3y＝21③， ②＋③，得10x＝20，解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝－1， 解：①＋②，得8x＝16， 解得x＝2， 把x＝2代入②， 解：将②代入①，得2(1－y)＋4y＝5， 解：把①代入②，得5x＋2x－3＝11， 解得x＝2， 将x＝2代入①，得y＝1. 导学导练 解：由①＋②，得7x＝21， 解得x＝3， 把x＝3代入①，得6＋3y＝3， 解得y＝－1， 解：①×2＋②，得11x＝33， 解得x＝3， 把x＝3代入①，解得y＝3， 解：由②－①×2，得x＝6， 把x＝6代入①， 解得y＝－3， 得3c＋14＝8，解得c＝－2. 得3a－2b＝2①. 得－2a＋2b＝2②； ①和②联立解得a＝4，b＝5， ∴a＋b＋c＝4＋5－2＝7 课堂小结 解二元一次方程组 基本思路“消元” 加减法解二元一次方程组的一般步骤 变形：同一个未知数的系数相同或互为相反数 加减：消去一个元 求解：求出两个未知数的值 写解：写出方程组的解 29 2. 用加减法解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，①,2x－3y＝2②))的步骤： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2)) 4. 用加减法解方程组： (1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，①,x－y＝1；②)) ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，①,2x－y＝2.②)) ∴原方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2)) 6. 用适当的方法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝7，①,x＋3y＝－1.②)) ∴原方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1)) ∴原方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(3,2))) 【典例导引】 7. 【例1】用加减消元法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝9，①,5x＋2y＝7.②)) 解得y＝－ eq \f(3,2)， 将③代入②，得x＝1－ eq \f(3,2)＝－ eq \f(1,2)， ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2))) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋4y＝5，①,x＝1－y.②)) 解得y＝ eq \f(3,2)③. 【典例导引】 7. 【例1】用代入法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x－3，①,5x＋y＝11.②)) ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) 【变式训练】 8. 用代入法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，①,4x＋3y＝13.②)) ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1)) 9. 【例2】用加减消元法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋y＝15，①,3x－2y＝3.②)) ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3)) 10. 用加减消元法解方程组： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，①,3x＋4y＝6.②)) ∴原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－3)) 把 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2))代入ax＋by＝2， 11. 【例3】解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋by＝2，,cx－7y＝8))时，本应解出 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2，))但由于看错了系数c，而得到解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))试求a＋b＋c的值． 解：把 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2))代入cx－7y＝8， ∵看错系数c，解得错误解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，)) ∴把 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))代入ax＋by＝2， $$