7.2　平行线的证明 同步练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

平行线的证明(第2课时) A层基础夯实 知识点1　平行线的性质 1.如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为( ) A.66° B.64° C.62° D.60° 2.(2025·沈阳期中)如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=55°,则∠AED'=( ) A.30° B.45° C.60° D.70° 3. (2025·常州期中)如图,点F是∠ABC的平分线BM上一点,E在BC上,且EF∥AB.若∠CEF=40°,则∠BFE的大小为 °.  4.如图1,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,且AB∥CE,CD∥BE. (1)求证:∠1=∠2. (2)如图2,延长AB,DC交于点F,求∠F的度数. 知识点2　平行线性质和判定的综合应用 5.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4=( ) A.108° B.82° C.80° D.72° 6.(2025·衡水质检)如图,已知CB∥DE,∠D+∠B=180°.求证:AB∥CD.以下是排乱的证明过程:①∵∠D+∠B=180°;②∴∠D+∠C=180°;③∴AB∥CD;④∵CB∥DE;⑤∴∠B=∠C,正确的顺序应是( ) A.①②③④⑤ B.④②①⑤③ C.④⑤①②③ D.①②④⑤③ 7.如图,已知∠B=∠BCD,∠BAC=90°,∠B+∠D=180°,∠ACB∶∠ACD=1∶2,则∠BAD= °.  8.(2025·长沙期中)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,FG⊥AB于G,DE∥BC,求证:∠1=∠2. B层能力进阶 9.如图,直线CE∥DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°,则∠1+∠2=( ) A.15° B.25° C.30° D.45° 10.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,若∠BCD=110°,∠CDE=95°,则∠DEF的度数为 .  11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如果两个角的两边分别平行,其中一个角α比另一个角的4倍少30度,则角α的度数为 .  12.如图,D、E、F、G是△ABC边上的点,DE∥AC,∠ADE=∠CGF. (1)求证:AD∥GF; (2)若AD平分∠BAC,∠AED=100°,∠C=56°,求∠CFG的度数. 13.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度? C层创新挑战(选做) 14.(模型观念、推理能力、运算能力)(1)如图1,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE,求证:∠BFE=∠FEC; (2)如图2,已知AB∥CD,∠EAF=∠EAB,∠ECF=∠ECD,求证:∠AFC=∠AEC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线的证明(第2课时) A层基础夯实 知识点1　平行线的性质 1.如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为(C) A.66° B.64° C.62° D.60° 2.(2025·沈阳期中)如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=55°,则∠AED'=(D) A.30° B.45° C.60° D.70° 3. (2025·常州期中)如图,点F是∠ABC的平分线BM上一点,E在BC上,且EF∥AB.若∠CEF=40°,则∠BFE的大小为　20　°.  4.如图1,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,且AB∥CE,CD∥BE. (1)求证:∠1=∠2. (2)如图2,延长AB,DC交于点F,求∠F的度数. 【解析】(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠ABE=∠1,∠DCE=∠2, ∵AB∥CE,CD∥BE, ∴∠ABE=∠E,∠DCE=∠E, ∴∠ABE=∠DCE,∴∠1=∠2; (2)∵∠2=∠1,∠DCE=∠2,∠DCE=∠E, ∴∠2=∠1=∠E=∠DCE, ∵∠1+∠2+∠E=180°, ∴∠1=∠2=∠E=60°, ∴∠E=∠DCE=60°, ∵CE∥AB,∴∠F=∠DCE=60°. 知识点2　平行线性质和判定的综合应用 5.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4=(D) A.108° B.82° C.80° D.72° 6.(2025·衡水质检)如图,已知CB∥DE,∠D+∠B=180°.求证:AB∥CD.以下是排乱的证明过程:①∵∠D+∠B=180°;②∴∠D+∠C=180°;③∴AB∥CD;④∵CB∥DE;⑤∴∠B=∠C,正确的顺序应是(B) A.①②③④⑤ B.④②①⑤③ C.④⑤①②③ D.①②④⑤③ 7.如图,已知∠B=∠BCD,∠BAC=90°,∠B+∠D=180°,∠ACB∶∠ACD=1∶2,则∠BAD=　112.5　°.  8.(2025·长沙期中)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,FG⊥AB于G,DE∥BC,求证:∠1=∠2. 【证明】∵CD⊥AB,FG⊥AB, ∴∠CDB=∠FGB=90°, ∴CD∥FG,∴∠2=∠3, ∵DE∥BC,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2. B层能力进阶 9.如图,直线CE∥DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°,则∠1+∠2=(C) A.15° B.25° C.30° D.45° 10.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,若∠BCD=110°,∠CDE=95°,则∠DEF的度数为　115°　.  11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如果两个角的两边分别平行,其中一个角α比另一个角的4倍少30度,则角α的度数为　10°或138°　.  12.如图,D、E、F、G是△ABC边上的点,DE∥AC,∠ADE=∠CGF. (1)求证:AD∥GF; (2)若AD平分∠BAC,∠AED=100°,∠C=56°,求∠CFG的度数. 【解析】(1)∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠DAC, ∵∠ADE=∠CGF, ∴∠DAC=∠CGF,∴FG∥AD; (2)∵DE∥AC,∠AED=100°, ∴∠EAC=180°-∠AED=80°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC=∠EAC=40°, ∵AD∥FG,∴∠DAC=∠FGC=40°, ∵∠C=56°,∴∠CFG=180°-∠C-∠FGC=84°. 13.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度? 【解析】如图,过点B作直线BE∥CD. ∵CD∥AF,∴BE∥CD∥AF, ∴∠ABE=∠A=105°, ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 又∵BE∥CD,∴∠CBE+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠CBE=150°. C层创新挑战(选做) 14.(模型观念、推理能力、运算能力)(1)如图1,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE,求证:∠BFE=∠FEC; (2)如图2,已知AB∥CD,∠EAF=∠EAB,∠ECF=∠ECD,求证:∠AFC=∠AEC. 【证明】(1)如图1,延长BF、DC相交于点G, ∵AB∥CD,∴∠ABF=∠G. ∵∠ABF=∠DCE,∴∠DCE=∠G, ∴BG∥CE.∴∠BFE=∠FEC; (2)如图2,连接AC, 设∠EAF=x,∠ECF=y, 则∠EAB=4x,∠ECD=4y, ∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°, ∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°, ∴∠CAE+∠ACE=180°-(4x+4y),∠FAC+∠FCA=180°-(3x+3y), ∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)=180°-[180°-(4x+4y)]=4x+4y=4(x+y), ∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-[180°-(3x+3y)]=3x+3y=3(x+y), ∴∠AFC=∠AEC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线的证明(第1课时) A层基础夯实 知识点1　平行线的判定 1.如图,不能判断l1∥l2的条件是(C) A.∠1=∠3 B.∠4=∠5 C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180° 2.如图,在下列给出的条件中,不能判定AC∥DF的是(A) A.∠1=∠2 B.∠4+∠2=180° C.∠2=∠3 D.∠A=∠1 3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,交点为M,N.∠AMN=60°,∠DNF=120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是(D) ∵∠AMN+∠DNF=60°+120°=180°(☆), ∠DNF=∠CNM(○), ∴∠AMN+∠CNM=180°(　), ∴AB∥CD(△). A.☆代表已知 B.○代表对顶角相等 C.　代表等量代换 D.△代表两直线平行,同旁内角互补 4.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有　①②④　 .(填序号) ①∠1=∠3; ②∠2=∠4; ③∠DAB+∠ABC=180°; ④∠BAD+∠ADC=180°. 5.(2025·惠州期中)如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F. 求证:(1)∠ABC+∠ADC=180°; (2)BE∥DF. 【证明】(1)四边形ABCD中,∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°. (2)∵BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F, ∴∠ABC=2∠1,∠ADC=2∠3, ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠1+∠3=90°, ∵△ADF中∠5+∠3=90°, ∴∠1=∠5,∴BE∥DF. 知识点2　平行线判定定理的应用 6.如图1是生活中常见的晾衣架,将其侧面抽象成平面图形,如图2所示,则使EG∥BH成立的条件是(B) A.∠1=∠5 B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠4=∠5 7.某学员在驾校练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是(D) A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B.第一次向左拐45°,第二次向右拐135° C.第一次向左拐60°,第二次向右拐120° D.第一次向左拐53°,第二次向左拐127° 8.下列各图中,能画出AB∥CD的是(D) A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ B层能力进阶 9.如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是(A) A.∠BAC=∠ACD B.∠B=∠ACD C.∠BAD=∠CDA D.∠B+∠DCE=180° 10.以下四种沿AB折叠的方法中,由相应条件不能判定纸带两条边线a,b互相平行的是(C) A.展开后测得∠1=∠2 B.展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C.测得∠1=∠2 D.测得∠1=∠2 11.如图,已知点E、D、C、F在一条直线上,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E. (1)AD与BC平行吗?请说明理由; (2)AB与EF的位置关系如何?请说明理由. 解:(1)AD∥BC,理由如下: ∵∠ADE+∠ADF=180°(　　　　　　),  ∠ADE+∠BCF=180°(已知), ∴∠ADF=∠　　　　,  ∴AD∥BC(　　　　　　　　　　　　　).  (2)AB与EF的位置关系是　　　　.  请完成说理过程: 【解析】(1)AD∥BC,理由如下: ∵∠ADE+∠ADF=180°(平角定义),∠ADE+∠BCF=180°(已知), ∴∠ADF=∠BCF, ∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行). 答案:平角定义　BCF　同位角相等,两直线平行 (2)AB与EF的位置关系是平行, 理由:∵BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠ABE, ∵∠ABC=2∠E,∴∠ABE=∠E,∴AB∥EF. 答案:平行 12.(1)如图(1)所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由. (2)如图(2)所示在(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F,试判断OM与O'N的位置关系. 【解析】(1)∵AB⊥EF,CD⊥EF, ∴AB∥CD. (2)延长NO'至P. ∵OM平分∠EOB,O'N平分∠CO'F, ∴∠EOM=∠FO'N=45°, ∵∠FO'N=∠EO'P, ∴∠EOM=∠EO'P=45°, ∴OM∥O'N(同位角相等,两直线平行). 13.如图,已知点E在BD上,EA平分∠BEF,EC平分∠DEF. (1)求证:AE⊥CE; (2)若∠1=∠A,∠2=∠C,求证:AB∥CD. 【证明】(1)∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF, ∴∠1=∠BEF,∠2=∠DEF, ∵∠BEF+∠DEF=180°, ∴∠1+∠2=90°, ∴∠AEC=90°, ∴AE⊥CE; (2)∵∠1=∠A,∠2=∠C, ∴∠1+∠A+∠2+∠C=2(∠1+∠2)=180°, ∴∠B+∠D=(180°-2∠1)+(180°-2∠2)=360°-2(∠1+∠2)=180°,∴AB∥CD. 14.如图,已知AB,CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,且∠1+∠2=90°,求证:AB∥CD. 【证明】∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD(已知), ∴∠BEF=2∠1,∠EFD=2∠2(角平分线定义), ∴∠BEF+∠EFD=2∠1+2∠2(等式性质), ∵∠1+∠2=90°(已知), ∴∠BEF+∠EFD=2(∠1+∠2)=180°, ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行). C层创新挑战(选做) 15.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°. 【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是　　　　　　;∠BCE与∠ACD的数量关系是　　　　　　.  【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动,绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB,画出图形并简要说明理由; 【拓展应用】(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数;并直接写出此时DE与AC的位置关系. 【解析】(1)∵∠BCD+∠ACD=90°,∠ACE+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠ACE; ∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE, ∴∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°,∴∠BCE+∠ACD=180°. 答案:相等　互补 (2)分两种情况: ①如图1所示,当∠ACE=∠A=30°时,CE∥AB, ∴∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°. ②如图2所示,当∠BCE=∠B=60°时,CE∥AB, ∴∠ACD=360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE=360°-90°-60°-90°=120°. 综上所述,当∠ACD等于60°或120°时,CE∥AB; (3)设∠ACD=α,则∠BCE=3α. 由(1)可知,∠BCE+∠ACD=180°, ∴3α+α=180°,∴α=45°,即∠ACD=45°,当D,E在AC两侧时DE⊥AC, 当D,E在AC同侧时DE∥AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线的证明(第1课时) A层基础夯实 知识点1　平行线的判定 1.如图,不能判断l1∥l2的条件是( ) A.∠1=∠3 B.∠4=∠5 C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180° 2.如图,在下列给出的条件中,不能判定AC∥DF的是( ) A.∠1=∠2 B.∠4+∠2=180° C.∠2=∠3 D.∠A=∠1 3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,交点为M,N.∠AMN=60°,∠DNF=120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是( ) ∵∠AMN+∠DNF=60°+120°=180°(☆), ∠DNF=∠CNM(○), ∴∠AMN+∠CNM=180°(　), ∴AB∥CD(△). A.☆代表已知 B.○代表对顶角相等 C.　代表等量代换 D.△代表两直线平行,同旁内角互补 4.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有 .(填序号) ①∠1=∠3; ②∠2=∠4; ③∠DAB+∠ABC=180°; ④∠BAD+∠ADC=180°. 5.(2025·惠州期中)如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F. 求证:(1)∠ABC+∠ADC=180°; (2)BE∥DF. 知识点2　平行线判定定理的应用 6.如图1是生活中常见的晾衣架,将其侧面抽象成平面图形,如图2所示,则使EG∥BH成立的条件是( ) A.∠1=∠5 B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠4=∠5 7.某学员在驾校练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是( ) A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B.第一次向左拐45°,第二次向右拐135° C.第一次向左拐60°,第二次向右拐120° D.第一次向左拐53°,第二次向左拐127° 8.下列各图中,能画出AB∥CD的是( ) A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ B层能力进阶 9.如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是( ) A.∠BAC=∠ACD B.∠B=∠ACD C.∠BAD=∠CDA D.∠B+∠DCE=180° 10.以下四种沿AB折叠的方法中,由相应条件不能判定纸带两条边线a,b互相平行的是( ) A.展开后测得∠1=∠2 B.展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C.测得∠1=∠2 D.测得∠1=∠2 11.如图,已知点E、D、C、F在一条直线上,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E. (1)AD与BC平行吗?请说明理由; (2)AB与EF的位置关系如何?请说明理由. 解:(1)AD∥BC,理由如下: ∵∠ADE+∠ADF=180°( ),  ∠ADE+∠BCF=180°(已知), ∴∠ADF=∠ ,  ∴AD∥BC( ).  (2)AB与EF的位置关系是 .  请完成说理过程: 12.(1)如图(1)所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由. (2)如图(2)所示在(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F,试判断OM与O'N的位置关系. 13.如图,已知点E在BD上,EA平分∠BEF,EC平分∠DEF. (1)求证:AE⊥CE; (2)若∠1=∠A,∠2=∠C,求证:AB∥CD. 14.如图,已知AB,CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,且∠1+∠2=90°,求证:AB∥CD. C层创新挑战(选做) 15.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°. 【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是 ;∠BCE与∠ACD的数量关系是 .  【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动,绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB,画出图形并简要说明理由; 【拓展应用】(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数;并直接写出此时DE与AC的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$