6.1　平均数与方差 同步练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

平均数与方差(第2课时) A层基础夯实 知识点1　离差平方和 1.已知一组数据:4,4,3,5,6,2,则这组数据的离差平方和是( ) A. B.4 C.6 D.10 2.把8个苹果按重量分为{5,5,8},{10,10,11,12,12}两组,则这种分组的组内离差平方和是 .  知识点2　方差和标准差 3.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛,每人射击20发子弹.他们射击成绩的平均数及标准差如表所示. 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 8.6 8.6 9.2 9.2 标准差s(环) 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且稳定的运动员参赛,则应选运动员( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.小明在处理一组数据“12,12,28,15,■”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在20~30内,则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 5.(2025·南昌期中)已知一组数据1,2,3,4,5的平均数是,方差是,另一组数据2,3,4,5,6的平均数是,方差是,则下列说法正确的是( ) A.=,= B.≠,= C.=,≠ D.≠,≠ 6.(2025·株洲期中)小明等五位同学以各自的年龄为一组数据,计算出这组数据的方差是0.5,则10年后小明等五位同学年龄的方差 (填“不变”“增大”或“减小”).  B层能力进阶 7.(2025·济南期中)在数学史演讲比赛中,小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析,并制作了如下表格: 平均数 众数 方差 9.1 9.3 0.1 如果每个评委打分都高0.1,那么表格中数据一定不会发生变化的是( ) A.平均数与方差 B.众数 C.平均数 D.方差 8.现有甲组数据:1,2,3,4,5,乙组数据:11,12,13,14,15.若甲、乙两组的离差平方和分别为S1,S2,则S1,S2的关系是( ) A.S1=S2 B.S1=10+S2 C.S1<S2 D.S1>S2 9.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到数据如图.则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为 .(填“<”或“>”)  10.(易错警示题·概念不清)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是3,则另一组新数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的标准差为 .  11.(2024·泰安中考)某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个,测得它们的直径(单位:mm),并制作统计图如下: 根据以上信息,解答下列问题: (1) 项目 平均数 众数 甲 80 a 乙 m 76 则m= ,a= .  (2)苹果直径的方差越小,苹果的大小越整齐,据此判断, 供应商供应的苹果大小更为整齐.(填“甲”或“乙”)  (3)超市规定直径82 mm(含82 mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2 000个,其中,大果约有多少个? C层创新挑战(选做) 12.(运算能力、数据观念、推理能力)某校为了普及环保知识,从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛(满分100分),并对成绩进行整理分析,得到如下信息: 项目 平均数 众数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 八年级参赛学生成绩 85.5 85 根据以上信息,回答下列问题: (1)填空:m= ;  (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为,,请判断 (填“>”“<”或“=”); (3)从平均数和众数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好; (4)从平均数和方差的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平均数与方差(第1课时) A层基础夯实 知识点1　众数 1.(2025·扬州期中)某校组织“庆国庆”画展,参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为:58,56,58,60,则这组数据的众数为(C) A.56 B.57 C.58 D.59 知识点2　算术平均数 2.数学期中考试,齐思所在班级的平均分是112分,苗想所在班级的平均分是122分,这次齐思的数学成绩与苗想相比(D) A.齐思分数高 B.苗想分数高 C.他们分数一样 D.以上三种都有可能 3.(2025·宁波期中)为了解学生在假期中的阅读量,语文老师统计了全班学生在假期里的读书数量,统计结果如表,那么假期里该班学生读书数量的平均数与众数分别为(C) 读书数量/本 2 3 4 5 6 人数/人 6 6 10 8 5 A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5 4.某班男生的平均身高是165厘米.请你想一想,下面哪位男生最不可能是这个班的?(C) A.乐乐身高168厘米,是篮球队中锋 B.力力身高132厘米,是全班最矮的 C.明明身高165厘米,是全班最高的 D.浩浩身高180厘米 5.已知一组数据a1,a2,a3,a4的平均数是5,则另一组新数据2a1,2a2,2a3,2a4的平均数是　10　.  知识点3　加权平均数 6.在某大学数学与统计学院的研究生入学考试中,三名考生甲、乙、丙在笔试、面试中的成绩(百分制)如表所示,你觉得被录取的考生是(A) 考生 笔试(40%) 面试(60%) 甲 80 90 乙 90 80 丙 85 85 A.甲　　 B.乙　　 C.丙　　 D.无法判断 7.某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试,三项成绩分别为72分、50分、88分.若这三个分数依次按1∶2∶1的比例确定综合成绩,则该应聘者的得分为　65　分.  8.某校为了解学生一周课外阅读情况,随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间,并将数据进行整理制成统计图(如图).请解答以下问题: (1)本次调查的总人数是　　　　　;  (2)抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少? (3)若该校共有2 000名学生,请估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数. 【解析】(1)本次调查的总人数为4+8+15+10+3=40(人); 答案:40 (2)×(1×4+2×8+3×15+4×10+5×3)=3(小时), 答:此次抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是3小时; (3)2 000×=1 400(人), 答:估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1 400. B层能力进阶 9.数据“3,4,5”的平均数为a1,添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为a2,若a1=a2,则添加的数据为(C) A.0 B.3 C.4 D.5 10.(2025·石家庄期中)x1,x2,…,x5的平均数为m;x6,x7,…,x20的平均数为n,则x1,x2,…,x20的平均数为(D) A.m+n B. C. D. 11.(易错警示题·概念不清)在转盘游戏的活动中,小英根据试验数据绘制出下面的扇形统计图,则每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是　22.5元　.  12.有4种糖果,每千克价格分别为50元、60元、70元、80元,现依次称取0.2 kg、0.3 kg、0.1 kg、0.4 kg,混合包装成盒,这种糖果每盒价格应定为　67　元比较合适(包装盒价格除外).  13.已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是5,则另一组数据5x1-5,5x2-5,5x3-5,5x4-5的平均数是　20　.  14.为了解某校八年级学生暑假期间每天的睡眠时长(单位:h),随机调查了该校八年级a名学生,得到统计图(如图). (1)填空:m=　　　　,a=　　　　;  (2)求抽样学生每天睡眠时长的平均数和众数; (3)根据样本数据,若该校八年级共有学生400人,估计该校八年级学生暑假期间每天睡眠时长不足8 h的人数. 【解析】(1)m%=1-6%-14%-34%-30%=16%,所以m=16,所以a=8÷16%=50. 答案:16　50 (2)50×6%=3,50×14%=7,50×34%=17,50×30%=15, =8.36(h), 因为睡眠时长8 h的人数最多,所以睡眠时长的众数为8 h, 答:抽样学生每天睡眠时长的平均数为8.36 h,众数为8 h; (3)400×(6%+14%) =400×20% =80(人), 答:估计该校八年级学生暑假期间每天睡眠时长不足8 h的人数为80. C层创新挑战(选做) 15.(运算能力、模型观念、推理能力)一家小吃店原有三个品种的水饺,其中菜馅水饺售价为6元/碗,鸡蛋馅水饺售价为8元/碗,肉馅水饺售价为10元/碗,每碗有10个水饺.该店新增了混合水饺,每碗3个菜馅的,3个鸡蛋馅的,4个肉馅的.算一算,混合水饺每碗的定价应该是多少?如果混合水饺的定价是7.6元/碗,你觉得三个品种的水饺应如何搭配才合理? 【解析】混合水饺每碗定价为0.6×3+0.8×3+1×4=8.2(元).如果混合水饺的定价是7.6元/碗,设有菜馅水饺x个,鸡蛋馅水饺y个,肉馅水饺z个.由题意知,0.6x+0.8y+z=7.6,同时x+y+z=10,且x,y,z均为正整数,所以当x=5,y=2,z=3或x=4,y=4,z=2或x=3,y=6,z=1时,方程成立,同时又符合题意.所以如果混合水饺的定价是7.6元/碗,则搭配方式有:①5个菜馅水饺,2个鸡蛋馅水饺,3个肉馅水饺;②4个菜馅水饺,4个鸡蛋馅水饺,2个肉馅水饺;③3个菜馅水饺,6个鸡蛋馅水饺,1个肉馅水饺. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平均数与方差(第2课时) A层基础夯实 知识点1　离差平方和 1.已知一组数据:4,4,3,5,6,2,则这组数据的离差平方和是(D) A. B.4 C.6 D.10 2.把8个苹果按重量分为{5,5,8},{10,10,11,12,12}两组,则这种分组的组内离差平方和是　10　.  知识点2　方差和标准差 3.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛,每人射击20发子弹.他们射击成绩的平均数及标准差如表所示. 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数(环) 8.6 8.6 9.2 9.2 标准差s(环) 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且稳定的运动员参赛,则应选运动员(C) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.小明在处理一组数据“12,12,28,15,■”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在20~30内,则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的(B) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 5.(2025·南昌期中)已知一组数据1,2,3,4,5的平均数是,方差是,另一组数据2,3,4,5,6的平均数是,方差是,则下列说法正确的是(B) A.=,= B.≠,= C.=,≠ D.≠,≠ 6.(2025·株洲期中)小明等五位同学以各自的年龄为一组数据,计算出这组数据的方差是0.5,则10年后小明等五位同学年龄的方差　不变　(填“不变”“增大”或“减小”).  B层能力进阶 7.(2025·济南期中)在数学史演讲比赛中,小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析,并制作了如下表格: 平均数 众数 方差 9.1 9.3 0.1 如果每个评委打分都高0.1,那么表格中数据一定不会发生变化的是(D) A.平均数与方差 B.众数 C.平均数 D.方差 8.现有甲组数据:1,2,3,4,5,乙组数据:11,12,13,14,15.若甲、乙两组的离差平方和分别为S1,S2,则S1,S2的关系是(A) A.S1=S2 B.S1=10+S2 C.S1<S2 D.S1>S2 9.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到数据如图.则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为　> .(填“<”或“>”)  10.(易错警示题·概念不清)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是3,则另一组新数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的标准差为　2　.  11.(2024·泰安中考)某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个,测得它们的直径(单位:mm),并制作统计图如下: 根据以上信息,解答下列问题: (1) 项目 平均数 众数 甲 80 a 乙 m 76 则m=　　　　,a=　　　　.  (2)苹果直径的方差越小,苹果的大小越整齐,据此判断,　　　　供应商供应的苹果大小更为整齐.(填“甲”或“乙”)  (3)超市规定直径82 mm(含82 mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2 000个,其中,大果约有多少个? 【解析】(1)由题意得:m=(75+76×3+79+80+81+83+86+88)÷10=80;甲的10个苹果的直径中,83出现的次数最多,故众数a=83. 答案:80　83 (2)甲的方差为:×[(76-80)2+(77-80)2+(78-80)2+(79-80)2+2×(80-80)2+(81-80)2+3×(83-80)2]=5.8; 乙的方差为×[(75-80)2+3×(76-80)2+(79-80)2+(80-80)2+(81-80)2+(83-80)2+(86-80)2+(88-80)2]=18.4, 因为5.8<18.4,所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐. 答案:甲 (3)2 000×=600(个) 答:大果约有600个. C层创新挑战(选做) 12.(运算能力、数据观念、推理能力)某校为了普及环保知识,从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛(满分100分),并对成绩进行整理分析,得到如下信息: 项目 平均数 众数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 八年级参赛学生成绩 85.5 85 根据以上信息,回答下列问题: (1)填空:m=　　　　　;  (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为,,请判断　　　　 (填“>”“<”或“=”); (3)从平均数和众数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好; (4)从平均数和方差的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好. 【解析】(1)七年级成绩中80分的最多,有3个,所以众数m=80. 答案:80 (2)因为七年级成绩的方差是=×[(74-85.5)2+3×(80-85.5)2+(86-85.5)2+2× (88-85.5)2+(89-85.5)2+(91-85.5)2+(99-85.5)2]=46.05, 八年级成绩的方差是=×[(76-85.5)2+(77-85.5)2+3×(85-85.5)2+2×(87-85.5)2+2× (88-85.5)2+(97-85.5)2]=31.25, 所以>. 答案:> (3)因为平均数相同,八年级的众数较大,所以八年级的成绩较好. (4)因为平均数相同,八年级的方差小,所以八年级的成绩更稳定,较好. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平均数与方差(第1课时) A层基础夯实 知识点1　众数 1.(2025·扬州期中)某校组织“庆国庆”画展,参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为:58,56,58,60,则这组数据的众数为( ) A.56 B.57 C.58 D.59 知识点2　算术平均数 2.数学期中考试,齐思所在班级的平均分是112分,苗想所在班级的平均分是122分,这次齐思的数学成绩与苗想相比( ) A.齐思分数高 B.苗想分数高 C.他们分数一样 D.以上三种都有可能 3.(2025·宁波期中)为了解学生在假期中的阅读量,语文老师统计了全班学生在假期里的读书数量,统计结果如表,那么假期里该班学生读书数量的平均数与众数分别为( ) 读书数量/本 2 3 4 5 6 人数/人 6 6 10 8 5 A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5 4.某班男生的平均身高是165厘米.请你想一想,下面哪位男生最不可能是这个班的?( ) A.乐乐身高168厘米,是篮球队中锋 B.力力身高132厘米,是全班最矮的 C.明明身高165厘米,是全班最高的 D.浩浩身高180厘米 5.已知一组数据a1,a2,a3,a4的平均数是5,则另一组新数据2a1,2a2,2a3,2a4的平均数是 .  知识点3　加权平均数 6.在某大学数学与统计学院的研究生入学考试中,三名考生甲、乙、丙在笔试、面试中的成绩(百分制)如表所示,你觉得被录取的考生是( ) 考生 笔试(40%) 面试(60%) 甲 80 90 乙 90 80 丙 85 85 A.甲　　 B.乙　　 C.丙　　 D.无法判断 7.某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试,三项成绩分别为72分、50分、88分.若这三个分数依次按1∶2∶1的比例确定综合成绩,则该应聘者的得分为 分.  8.某校为了解学生一周课外阅读情况,随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间,并将数据进行整理制成统计图(如图).请解答以下问题: (1)本次调查的总人数是 ;  (2)抽查的这些学生一周平均课外阅读时间是多少? (3)若该校共有2 000名学生,请估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数. B层能力进阶 9.数据“3,4,5”的平均数为a1,添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为a2,若a1=a2,则添加的数据为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 10.(2025·石家庄期中)x1,x2,…,x5的平均数为m;x6,x7,…,x20的平均数为n,则x1,x2,…,x20的平均数为( ) A.m+n B. C. D. 11.(易错警示题·概念不清)在转盘游戏的活动中,小英根据试验数据绘制出下面的扇形统计图,则每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是 .  12.有4种糖果,每千克价格分别为50元、60元、70元、80元,现依次称取0.2 kg、0.3 kg、0.1 kg、0.4 kg,混合包装成盒,这种糖果每盒价格应定为 元比较合适(包装盒价格除外).  13.已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是5,则另一组数据5x1-5,5x2-5,5x3-5,5x4-5的平均数是 .  14.为了解某校八年级学生暑假期间每天的睡眠时长(单位:h),随机调查了该校八年级a名学生,得到统计图(如图). (1)填空:m= ,a= ;  (2)求抽样学生每天睡眠时长的平均数和众数; (3)根据样本数据,若该校八年级共有学生400人,估计该校八年级学生暑假期间每天睡眠时长不足8 h的人数. C层创新挑战(选做) 15.(运算能力、模型观念、推理能力)一家小吃店原有三个品种的水饺,其中菜馅水饺售价为6元/碗,鸡蛋馅水饺售价为8元/碗,肉馅水饺售价为10元/碗,每碗有10个水饺.该店新增了混合水饺,每碗3个菜馅的,3个鸡蛋馅的,4个肉馅的.算一算,混合水饺每碗的定价应该是多少?如果混合水饺的定价是7.6元/碗,你觉得三个品种的水饺应如何搭配才合理? 学科网（北京）股份有限公司 $$