5.4　二元一次方程与一次函数 同步练 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

二元一次方程与一次函数(第2课时) A层基础夯实 知识点1　利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1.已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值: x … -2 1 3 … y … 7 -2 -8 … 则y与x的函数表达式为( ) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1 2.如图,直线l1,l2的交点坐标可以看作下列方程组 的解.( )  A. B. C. D. 3.已知直线y=-x+n和直线y=mx-2(m≠-)交于点A(-2,2),则m+n= .  知识点2　二元一次方程组与一次函数的实际应用 4.“五一”假期期间,数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地.下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.他们出发2.2小时时,离目的地还有( ) A.12千米 B.24千米 C.146千米 D.164千米 5.(2025·成都期中)某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃,线上可以通过APP进行团购拼单购买,线下可以到实体店购买.具体费用标准如下: ①线上销售方式:一律七折销售; ②线下销售方式:不超过5千克,按原价销售;超过5千克时,超出的部分每千克优惠8元.若购买水蜜桃x千克,所需费用y元,y与x之间的函数关系如图所示. (1)水蜜桃标价为 元/千克;  (2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式; (3)若想购买15千克水蜜桃,请问采用哪种方式购买更省钱? B层能力进阶 6.如图,长方形OABC的边OA在x轴上,O与原点重合,OA=1,OC=2,点D的坐标为(0,4),则直线BD的函数表达式为( ) A.y=-2x+2 B.y=-x+3 C.y=-2x+4 D.y=2x+4 7.(2025·深圳期中)如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6,0),B(-3,-2), C(4,0),D(0,4),当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时,直线l的函数表达式为 .  8.如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作是某个关于x,y的方程组的解,求这个方程组. 9.如图,直线l1:y1=kx+b与y轴交于点A,与x轴交于点B(,0),直线l2:y2=-x+2与y轴交于点C,与直线l1交于点D,点D到y轴的距离为2. (1)求直线l1的函数表达式. (2)请直接写出方程组的解: .  (3)求△ACD的面积. (4)在直线l1上是否存在异于点D的另一点M,使得△ACD与△ACM的面积相等?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. C层创新挑战(选做) 10.(模型观念、推理能力、运算能力)(2025·济南期中)共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向3 km-10 km的出行市场,现有A,B两种品牌的共享电动车,下面图象反映了收费y(元)与骑行时间x (min)之间的对应关系,其中A品牌收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2,请根据相关信息,解答下列问题: (1)分别求y1(x≥10),y2关于x的函数表达式; (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3 km/min,小明家到工厂的距离为9 km,那么小明选择 品牌共享电动车更省钱;(填“A”或“B”)  (3)当x为何值时,两种品牌共享电动车收费相差4元? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　二元一次方程与一次函数(第1课时) A层基础夯实 知识点1　二元一次方程与一次函数的关系 1.下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标可能是二元一次方程2x-y=6的解的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.以二元一次方程3x-2y=1的解为坐标的点都在直线l上,则直线l对应的函数表达式为 .  3.(易错警示题·概念不清)如图是一次函数y=ax-b的图象,则关于x的方程ax-1=b的解为x= .  知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系 4.(2025·合肥期中)已知直线l1:y=2x-5与直线l2:y=ax-b相交于点P(m,1),则方程组的解为( ) A.　 B.　 C.　 D. 5.(2025·重庆期中)如图,已知一次函数y=-x+4和y=ax+2(a≠0)的图象交于点M,则关于x,y的二元一次方程组的解是 .  6.(新考向·过程性学习)看图解决问题: (1)根据图1写出方程组的解是 .  (2)根据图2写出方程组的解是 .  (3)已知函数y=2x-1和y=x-3的图象交于点P. ①求出点P的坐标; ②在图3的坐标系中画出这两个函数的图象; ③求这两个函数图象与y轴围成的图形面积. B层能力进阶 7.(2025·福州期中)如图,一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象相交于点A,则点A的坐标为( ) A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1) 8.在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=x+2与y2=kx+b(k<0)的图象如图所示,则下列结论错误的是( ) A.y2随x的增大而减小 B.b>3 C.方程组的解为 D.当0<y1<y2时,-1<x<2 9.已知y=ax+b和y=kx的图象交于点P(2,-1),那么关于x,y的二元一次方程组的解是 .  10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x与一次函数y=-x+7的图象交于点A. (1)求点A的坐标. (2)如图,设x轴上一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y=x与y=-x+7的图象于点B,C,连接O C.若BC=OA,求△ABC的面积及点B、点C的坐标. C层创新挑战(选做) 11.(运算能力、模型观念、推理能力)已知直线l1:y=k1x+b1和直线l2:y=k2x+b2, (1)当 时,l1与l2相交于一点,这个点的坐标是( ;  (2)当 时,l1∥l2,此时方程组的解的情况是 ;  (3)当 时,l1与l2重合,此时方程组的解的情况是 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 二元一次方程与一次函数(第2课时) A层基础夯实 知识点1　利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1.已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值: x … -2 1 3 … y … 7 -2 -8 … 则y与x的函数表达式为(D) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1 2.如图,直线l1,l2的交点坐标可以看作下列方程组　　　　的解.(A)  A. B. C. D. 3.已知直线y=-x+n和直线y=mx-2(m≠-)交于点A(-2,2),则m+n=　-1　.  知识点2　二元一次方程组与一次函数的实际应用 4.“五一”假期期间,数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地.下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.他们出发2.2小时时,离目的地还有(B) A.12千米 B.24千米 C.146千米 D.164千米 5.(2025·成都期中)某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃,线上可以通过APP进行团购拼单购买,线下可以到实体店购买.具体费用标准如下: ①线上销售方式:一律七折销售; ②线下销售方式:不超过5千克,按原价销售;超过5千克时,超出的部分每千克优惠8元.若购买水蜜桃x千克,所需费用y元,y与x之间的函数关系如图所示. (1)水蜜桃标价为　　　　元/千克;  (2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式; (3)若想购买15千克水蜜桃,请问采用哪种方式购买更省钱? 【解析】(1)由题图可知,水蜜桃标价为÷70%=20(元/千克). 答案:20 (2)因为不超过5千克,按原价销售, 所以y=20x,0≤x≤5. 因为超过5千克时,超出的部分每千克优惠8元, 所以y=(20-8)(x-5)+20×5=12x-60+100=12x+40,x>5. 综上所述,线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式为y= (3)线上购买15千克水蜜桃所需费用为20×15×70%=210(元), 线下购买15千克水蜜桃所需费用为12×15+40=220(元), 因为210<220,所以线上购买更省钱. B层能力进阶 6.如图,长方形OABC的边OA在x轴上,O与原点重合,OA=1,OC=2,点D的坐标为(0,4),则直线BD的函数表达式为(C) A.y=-2x+2 B.y=-x+3 C.y=-2x+4 D.y=2x+4 7.(2025·深圳期中)如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6,0),B(-3,-2), C(4,0),D(0,4),当过点A的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时,直线l的函数表达式为　y=x+　.  8.如图,两直线l1,l2的交点坐标(2,2)可以看作是某个关于x,y的方程组的解,求这个方程组. 【解析】由题图知:两函数的图象经过点(2,2),(3,0),(0,3),可求得两直线的函数表达式为y=-2x+6和y=-x+3,因而直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组的解. 9.如图,直线l1:y1=kx+b与y轴交于点A,与x轴交于点B(,0),直线l2:y2=-x+2与y轴交于点C,与直线l1交于点D,点D到y轴的距离为2. (1)求直线l1的函数表达式. (2)请直接写出方程组的解:　　　　.  (3)求△ACD的面积. (4)在直线l1上是否存在异于点D的另一点M,使得△ACD与△ACM的面积相等?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)因为点D到y轴的距离为2,所以点D的横坐标为2,把x=2代入y2=-x+2得,y=-×2+2=1,所以D(2,1),把B(,0),D(2,1)代入y1=kx+b,得所以所以直线l1的函数表达式为y1=2x-3. (2)因为直线l1:y1=kx+b与直线l2:y2=-x+2交于点D(2,1), 所以方程组的解是 答案: (3)把x=0代入y2=-x+2,得y=2,所以C(0,2), 把x=0代入y1=2x-3,得y=-3, 所以A(0,-3),所以AC=2+3=5, 所以S△ACD=×5×2=5. (4)存在, 因为在直线l1上存在异于点D的另一点M,使得△ACD与△ACM的面积相等,所以点M到y轴的距离为2. 因为点D的横坐标为2, 所以点M的横坐标为-2, 把x=-2代入y1=2x-3得,y=2×(-2)-3=-7, 所以点M的坐标为(-2,-7). C层创新挑战(选做) 10.(模型观念、推理能力、运算能力)(2025·济南期中)共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向3 km-10 km的出行市场,现有A,B两种品牌的共享电动车,下面图象反映了收费y(元)与骑行时间x (min)之间的对应关系,其中A品牌收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2,请根据相关信息,解答下列问题: (1)分别求y1(x≥10),y2关于x的函数表达式; (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3 km/min,小明家到工厂的距离为9 km,那么小明选择　　　品牌共享电动车更省钱;(填“A”或“B”)  (3)当x为何值时,两种品牌共享电动车收费相差4元? 【解析】(1)当x≥10时,设y1=kx+b(k,b为常数,且k≠0), 将点(10,6),(20,8)分别代入y1=kx+b,得解得 所以当x≥10时,y1=0.2x+4. 因为B品牌每分钟收费8÷20=0.4(元),所以y2=0.4x(x≥0). 答:y1关于x的函数表达式为y1=0.2x+4(x≥10),y2关于x的函数表达式为y2=0.4x(x≥0). (2)9÷0.3=30(min), 当x=30时,y1=0.2x+4=0.2×30+4=10,y2=0.4x=0.4×30=12, 因为10<12,所以小明选择A品牌共享电动车更省钱. 答案:A (3)当0≤x<10时,|y1-y2|=|6-0.4x|=4,解得x=5或x=25(舍去); 当x≥10时,|y1-y2|=|0.2x+4-0.4x|=4,解得x=0(舍去)或x=40;所以x=5或40. 答:当x为5或40时,两种品牌共享电动车收费相差4元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　二元一次方程与一次函数(第1课时) A层基础夯实 知识点1　二元一次方程与一次函数的关系 1.下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标可能是二元一次方程2x-y=6的解的是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.以二元一次方程3x-2y=1的解为坐标的点都在直线l上,则直线l对应的函数表达式为　y=x-　.  3.(易错警示题·概念不清)如图是一次函数y=ax-b的图象,则关于x的方程ax-1=b的解为x=　4　.  知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系 4.(2025·合肥期中)已知直线l1:y=2x-5与直线l2:y=ax-b相交于点P(m,1),则方程组的解为(D) A.　 B.　 C.　 D. 5.(2025·重庆期中)如图,已知一次函数y=-x+4和y=ax+2(a≠0)的图象交于点M,则关于x,y的二元一次方程组的解是 　.  6.(新考向·过程性学习)看图解决问题: (1)根据图1写出方程组的解是　　　　.  (2)根据图2写出方程组的解是　　　　.  (3)已知函数y=2x-1和y=x-3的图象交于点P. ①求出点P的坐标; ②在图3的坐标系中画出这两个函数的图象; ③求这两个函数图象与y轴围成的图形面积. 【解析】(1)由题图1可得, 方程组的解是 答案: (2)由题图2可得,方程组的解是 答案: (3)①联立解得 所以点P坐标为(-2,-5). ②当x=0时,y=2x-1=-1,y=x-3=-3, 所以两条直线与y轴的交点分别为(0,-1),(0,-3),函数图象如图所示: ③由②可得这两个函数图象与y轴围成的图形面积为×[-1-(-3)]×2=2. B层能力进阶 7.(2025·福州期中)如图,一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象相交于点A,则点A的坐标为(C) A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1) 8.在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=x+2与y2=kx+b(k<0)的图象如图所示,则下列结论错误的是(D) A.y2随x的增大而减小 B.b>3 C.方程组的解为 D.当0<y1<y2时,-1<x<2 9.已知y=ax+b和y=kx的图象交于点P(2,-1),那么关于x,y的二元一次方程组的解是 　.  10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x与一次函数y=-x+7的图象交于点A. (1)求点A的坐标. (2)如图,设x轴上一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y=x与y=-x+7的图象于点B,C,连接O C.若BC=OA,求△ABC的面积及点B、点C的坐标. 【解析】(1)联立得 解得,则点A的坐标为(3,4). (2)根据两点间的距离公式得:OA==5, 因为BC=OA,所以BC=14. 设点B(a,a),C(a,-a+7), 所以a-(-a+7)=14,解得a=9. 过点A作AQ⊥BC,如图所示, 所以S△ABC=BC·AQ=×14×(9-3)=42,当a=9时,a=×9=12,-a+7=-9+7=-2, 所以B(9,12),C(9,-2). C层创新挑战(选做) 11.(运算能力、模型观念、推理能力)已知直线l1:y=k1x+b1和直线l2:y=k2x+b2, (1)当　k1≠k2　时,l1与l2相交于一点,这个点的坐标是(-,)　;  (2)当　k1=k2,b1≠b2　时,l1∥l2,此时方程组的解的情况是　无解　;  (3)当　k1=k2,b1=b2　时,l1与l2重合,此时方程组的解的情况是　有无数组解　.  学科网（北京）股份有限公司 $$