精品解析：江西省 鹰潭市余江区正源学校2024-2025学年七年级下学期6月月考数学试题

七年级练习（七） 数学 说明：1．范围：下册第一章至第五章第一节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. “静思笃行，持中秉正”是江西师范大学的校训，在这8个字中，任选一个字，可以看作是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 2. 若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 3. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若“a是实数，则”这一事件发生的概率为P，则（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，点D，E是边上的两点，，，现要直接用“”定理来证明，请你再添加一个条件：______． 8. 如图，与关于直线对称，则的度数为______． 9. 若，则______． 10. 一个不透明盒子中装有6个黑球和a个白球，这些球除颜色外都相同，经过若干次试验，发现“若从盒子中任意摸出一个球，恰是黑球”的概率为，则这个盒子中大约有白球_____个． 11. 已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为________． 12. 如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是________．（结果用含的式子表示） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中x，y满足，． 15. 如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 16. 如图，已知，，．求证：． 17. 如图，小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．具体信息汇集如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于点O，，垂足为点D．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 19. 甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的9张卡片，其中写有“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“剪子”的概率是多少? （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 20. 为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 （2）请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： （1）； （2）． 22. 将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：当时，______°，______°； （2）类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； （3）变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：______； （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级练习（七） 数学 说明：1．范围：下册第一章至第五章第一节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. “静思笃行，持中秉正”是江西师范大学的校训，在这8个字中，任选一个字，可以看作是轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念和简单概率计算的公式． 先判定出轴对称图形，再利用简单概率公式进行计算即可． 【详解】解：这8个字中，任选一个字，共有8种等可能结果，其中可以看作轴对称图形的汉字有“中”字1个， ∴其概率为， 故选：A． 2. 若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，即三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边．理解三角形三边关系定理是解题的关键． 设第三边为x，根据三边关系列不等式组即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，依题意得，， ， 能构成三角形的三边可能是B，C，D，不可能构成三角形的是A， 故选：A． 3. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等，全等三角形面积和周长相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 直接根据全等三角形的性质进行逐项分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项D正确； 无法判断选项A， B，C， 故选：D． 5. 若“a是实数，则”这一事件发生的概率为P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案． 【详解】解：根据绝对值的非负性得，，这是必然事件， ∴发生的概率为1， 故选：D． 6. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，点D，E是边上的两点，，，现要直接用“”定理来证明，请你再添加一个条件：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 现要直接用“”定理来证明，再添加一个条件应为：． 故答案为：． 8. 如图，与关于直线对称，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称图形对应角相等的性质求解角度． 根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形对应角相等进行求解即可． 【详解】∵与关于直线l对称， ∴与 是对应角， 根据轴对称的性质，对应角相等， ∵， ∴． 故答案为：． 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，平方根的求解，利用平方差公式得到，从而得到，进而求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 一个不透明盒子中装有6个黑球和a个白球，这些球除颜色外都相同，经过若干次试验，发现“若从盒子中任意摸出一个球，恰是黑球”的概率为，则这个盒子中大约有白球_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．根据黑球的个数和抽到黑球的概率可以求得球的总数，然后减去黑球个数即可得到白球个数． 【详解】解：由题意可得， 这个盒子中大约有白球：（个）， 故答案为：9． 11. 已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点是的中点 ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是________．（结果用含的式子表示） 【答案】或或 【解析】 【分析】根据点P有3种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可． 【详解】解：如图，过作，则由，可得， ∴，， ∴； 如图，同理可得； 如图，同理可得． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的运算以及多项式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则和平方差公式的应用． （1）分别根据负整数指数幂“，p为正整数）”和零指数幂“”的运算法则计算各项，再进行加减运算； （2）把看作一个整体，利用平方差公式“”展开，再整理结果． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 14. 先化简，再求值：，其中x，y满足，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 运用整式混合运算法则化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的意义求出x，y，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 15. 如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，先利用两直线平行内错角相等求出，结合角平分线定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． ， ． 16. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即． 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定性质为解题关键，根据题意得到，利用证明，即可得出结论． 【详解】略 17. 如图，小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．具体信息汇集如下：，相邻两平行线间的距离相等，，相交于点O，，垂足为点D．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明是解题的关键．找条件用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得到答案． 【详解】解：， ． ， ， ，即． 相邻两平行线间的距离相等， ． 在与中， ， （米） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形． 【答案】 解：如图所示．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念和性质，解题的关键是根据轴对称图形的定义，找到不同的对称轴，再确定对称位置的小正方形．​ 先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；观察已有三个黑色方块的位置关系，尝试寻找可能的对称轴，如水平方向、竖直方向或斜向的直线；根据找到的对称轴，确定能使四个黑色方块组成轴对称图形的对称小正方形位置，每种方法对应不同的对称轴．​ 【详解】略 19. 甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的9张卡片，其中写有“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“剪子”的概率是多少? （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：写有“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4， 甲先摸，则他摸出“剪子”的概率是． 【小问2详解】 解：甲先摸出了“石头”，则乙摸出“布”获胜， 乙获胜的概率是． 20. 为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 （2）请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 【答案】（1）A （2） 选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． 【小问1详解】 分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， ． 在与中 ． （2） 由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：当时，______°，______°； （2）类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； （3）变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）90；54 （2） ．理由如下： ， ． ， ， ， ． （3） ．理由如下： 设交于点O，如图． ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在中利用三角形内角和即可求出的度数，再根据三角形内角和得到得到，进而求出最后结果． （2）利用得到的度数，再根据三角形内角和定理得出，进而得到结论． （3）设交于点O，根据对顶角相等得到，进而得到从而得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：90，54； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围：______； （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） ，．理由如下： ， ，， ． （3） ，．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【小问1详解】 解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $