精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题

2025年数学适应性考试 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，属于正整数的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 多项式的次数是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 4. 据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（ ） A. 1251700 B. 0.000012517 C. 0.00012517 D. 125170 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高 ，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（ ） A. 足球的单价 B. 排球的单价 C. 足球的数量 D. 排球的数量 8. 纯电动汽车（）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩 的电量 B. 汽车电池含电率达到时充电用时 C. 本次充电持续时间是 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 9. 如图，在中，，平分 交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则______． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 13. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 14. 定义新运算：，例如：．若，则的值为_____． 15. 如图，在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段 的延长线上时，的长是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 17. 如题图，已知在 中． （1）实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） （2）应用与求解：若 为边上的中线，且的周长为16，求 的周长． 18. 为激发学生热爱科学的兴趣，树立科技报国的远大志向，学校开展七年级科学知识竞赛．每班选派1组（8人）参赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．七年级（1）班和（2）班的成绩整理成如下：请认真阅读信息，回答下列问题： 小明同学对这两个班的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级（1）班 7 七年级（2）班 7 c （1）填空：___________，___________． ________； （2）小强认为两个班级成绩的平均数相等，因此两个班成绩一样好．小明认为小强的观点比较片面，请结合上表中的信息帮助小明说明理由（写出两条）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（ 是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度 为 ，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，） （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离． 20. 芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道和，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． （1）用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． （2）芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 21. 如图，是的直径，点为外一点，过点作 于点，交于点和点，连接，与相交于点，点为线段上一点，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若点为的中点，的半径为2.5，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若 ，且弹起后球飞行的高度在离桌面至 时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 23. 在平行四边形中，对角线交于点，是线段 上一个动点（不与点重合），过点分别作 的平行线，交 于点，交 于点 ，连接 ． （1）如图1，如果，，求证：； （2）如图2，如果，，且与 相似，求的值，并补全图形； （3）如图3，如果，且射线 过点A，求 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年数学适应性考试 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，属于正整数的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正整数的概念，熟知大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 【详解】解：这四个数中，属于正整数的是3， 故选：C． 2. 多项式的次数是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题直接根据多项式次数的定义作答即可． 【详解】解：由题可得：中的次数最高，是3次， 故选：B． 3. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，它的投影属于中心投影． 故选B． 4. 据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（ ） A. 1251700 B. 0.000012517 C. 0.00012517 D. 125170 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方式分别对每一项进行解答，即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不正确，不符合题意； B、，故本选项不正确，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了方位角，解答此类题的关键是认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解． 7. 某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高 ，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（ ） A. 足球的单价 B. 排球的单价 C. 足球的数量 D. 排球的数量 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，得到相应的关系式是解决本题的关键．设排球的单价为x元，足球的单价为元，列出分式方程解答即可． 【详解】解：设排球的单价为x元，足球的单价为元， 根据题意可得：， 故选：B． 8. 纯电动汽车（）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩 的电量 B. 汽车电池含电率达到时充电用时 C. 本次充电持续时间是 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可． 【详解】解：A．由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩 的电量，说法正确，不符合题意； B．由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，说法正确，不符合题意； C．由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，说法正确，不符合题意； D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是80千瓦时，则 到的电量变化对应的耗电量为：（千瓦时），原说法错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图，在中，，平分 交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和 ，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得 即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 在中，，解得， ∵平分 ， ∴ ， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分 ， ∴． 故选∶C． 10. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将等式两边平方，得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则 ．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 故答案为：． 14. 定义新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，由新定义可得，进一步解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段 的延长线上时，的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，连接根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：连接如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在 中， ， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组； 分别求出不等式组中两个不等式的解集，取其公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 17. 如题图，已知在中． （1）实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） （2）应用与求解：若为边上的中线，且的周长为16，求 的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作图、三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有 是和 的公共角，所以只需作出 ，就能使△APC∽△BAC成立； （2）根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，可得的值，最后加上的长度，就能得出 的周长． 【小问1详解】 解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） 【小问2详解】 解：如图， 为边上的中线， ， 的周长为16，， ， ∴， ， ，即 的周长为． 18. 为激发学生热爱科学的兴趣，树立科技报国的远大志向，学校开展七年级科学知识竞赛．每班选派1组（8人）参赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．七年级（1）班和（2）班的成绩整理成如下：请认真阅读信息，回答下列问题： 小明同学对这两个班的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 七年级（1）班 7 七年级（2）班 7 c （1）填空：___________，___________． ________； （2）小强认为两个班级成绩的平均数相等，因此两个班成绩一样好．小明认为小强的观点比较片面，请结合上表中的信息帮助小明说明理由（写出两条）． 【答案】（1）；7； （2） 小强的观点比较片面，理由不唯一，例如： ①七年级（1）班成绩的优秀率为，高于七年级（2）班成绩的优秀率， 从优秀率的角度看，七年级（1）班成绩比七年级（2）班好； ②七年级（1）班成绩的中位数为7．5，高于七年级（2）班成绩的中位数， 从中位数的角度看，七年级（1）班成绩比七年级（2）班组好； ③七年级（2）班的方差为0．73，低于七年级（1）班的方差， 从方差的角度看，七年级（2）班成绩比七年级（1）班组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好， 所以小强的观点比较片面． 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：将七年级（1）班组的成绩按照从小到大的顺序排列为：3，7，7，7，8，9，10，10； 位于中间的两个数为7和8， 故中位数为： ； 在七年级（2）班组中，出现次数最多的是7分； 故 ； ； 故答案为：；7； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（ 是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度 为 ，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，） （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离． 【答案】（1）点P到地面的高度约为 （2）Q点到N点的距离约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点B，延长交于点A．先证明四边形是矩形．则，求出．由 即可得到答案； （2）由勾股定理求出，则．再证明．得到．由即可得到答案． 【小问1详解】 解：作于点B，延长交于点A． ∴． ∵， ∴． 由题意得： ， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴． 答：点P到地面的高度约为； 【小问2详解】 ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：Q点到N点的距离约为． 20. 芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道 和 ，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． （1）用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． （2）芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 【答案】（1）（1）①；②运算结果一定是9的倍数，见解析； （2）4,4,6 【解析】 【分析】此题考查有理数的规律探究，读懂题目信息，理解交换后的三位数与原三位数的差是9的倍数是解题的关键． （1）①根据已知等式，找出一般性规律，写出即可； ②设原来的三位数是，交换位置后的三位数是，求出两数的差即可得出结论； （2）由被减数的百位数可以确定减数的个位数，减数的个位数确定被减数的百位数，相减即可． 【小问1详解】 解：①；；；；； 故答案为：； ②正确，理由如下：设原来的三位数是，交换位置后的三位数是， ∴， 所以结果一定是9的倍数； 【小问2详解】 ， 故答案为4,4,6． 21. 如图，是的直径，点为外一点，过点作 于点，交于点和点，连接，与相交于点，点为线段上一点，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若点为的中点，的半径为2.5，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质与切线的判定定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）由题意连接，得出 ，进一步得出 即 ，由此可证为的切线； （2）连接，，先得出， ，以及， ，进一步得出 ，勾股定理得出 ，最后即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵是直径，的半径为2.5， ∴， ， ∵， ，， ∴， ， ∵ ， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若 ，且弹起后球飞行的高度在离桌面至 时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】任务一：； 任务二：不能实现，理由见解析； 任务三： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型以及熟练掌握待定系数法是解题的关键． 任务一：设抛物线的解析式为，将代入进行求解即可； 任务二：由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为，得出直线解析式，代入，得即可以此进行判断； 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，进行求解得出弹起后抛物线的表达式，由最佳击球效果时，弹起高度范围为，当时，，以此进行击球点与发球机水平距离的取值范围的求解． 【详解】任务一：解： 由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； 任务二： 不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，球网上方中点的坐标为， 则设直线解析式为：，则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； 任务三： 设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时， 解得： 或 ， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴由最佳击球效果时，弹起高度范围为，得 当时，， 解得：，， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 23. 在平行四边形中，对角线交于点，是线段上一个动点（不与点重合），过点分别作 的平行线，交于点，交 于点 ，连接 ． （1）如图1，如果，，求证：； （2）如图2，如果，，且与 相似，求的值，并补全图形； （3）如图3，如果，且射线 过点A，求 的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ． 在平行四边形中，， ． 又， ， ， ∴，而， ∴， ∴， ， ， ． （2）补全图形如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再证明，即可得到结论； （2）先补全图形，证明平行四边形为矩形，再证明，．此时有，可得，证明，设，那么，，再进一步求解即可； （3）证明平行四边形为菱形．四边形为菱形，可得，同理可得： ，设，，可得，求解（负根已舍），同理可得：，证明，证明，设，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：补全图形如图所示． ， 平行四边形为矩形，， ，， ． 又∵， ∴，， ∴，而，与 相似， 只能，． 此时有， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 设，那么，， ，， ∴． ∴， ∵， ∴， ， ． 【小问3详解】 解：， 平行四边形为菱形． ∴，，， ∴ ， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可得： ， 设，， ． ， ∴， ， ， ， ， （负根已舍）， 同理可得：， ， ∵， ． 又， ． 设， ． ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的含义，一元二次方程的解法，本题的难度较大，画出图形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $