第十五章轴对称练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 练习 一、单选题 1．以下是四款常用人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．16 D．21 4．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 5．如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．正六边形有 条对称轴． 12．点关于x轴对称的点的坐标为 ． 13．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 14．如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为 ． 15．如图，在长方形中，点P在上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，已知．则的度数为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 17．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 18．如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)①说明：； ②填空：___________度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？说明理由： (3)如图，若点是的中点，连接、，判断与有什么数量关系？说明理由． 19．等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 练习2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B D C B A D 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 由题意无法证明，故C不一定正确． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 的周长为13， ， 的周长， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键；根据等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、有两个角等于的三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、一条边上的高也是这条边的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C符合题意； D、有一个外角等于的等腰三角形，则其相邻的内角为，有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标， 先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案. 【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为， ∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点. 故选：B. 6．D 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．，则此项正确，不符合题意； C．，则此项正确，不符合题意； D．不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线定义. 先根据角平分线定义及三角形内角和定理求出，进而的得，然后说明，接下来结合，的周长为可得答案. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 8．B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 11．6/六 【分析】本题主要考查对称轴，熟练掌握正多边形的特点、轴对称图形的定义是解决本题的关键． 根据轴对称图形的定义解决此题． 【详解】解：如图． ∴正六边形共有6条对称轴． 故答案为： 6． 12． 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 13．8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15． 【分析】根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，，，可得的度数，进一步可得的度数． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， 根据翻折，可得，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查折叠的性质（对应角相等、对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线 ）、角的和差计算及三角形面积公式．熟练掌握折叠性质，利用其转化角和线段的等量关系，是解题关键． （1）利用折叠性质，将转化为与相关的角，通过角的和差计算其度数； （2）依据折叠性质得出线段相等关系，确定的高与底，结合面积公式求解． 【详解】（1）解：由折叠可得，． ， ； （2）解：由折叠性质：，且；． 由（1）知，且， 为等腰直角三角形， ． ， ． 17．(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 18．(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）①利用证明即可；②由全等三角形的性质得，进而得到，再根据邻补角的性质即可求解； （）证明即可求证； （）如图，延长至，使得，连接，则，可证，得到，，，即得，，又由得，可得，得到，即得到，进而可证明，得到，即可得，即可求证． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，邻补角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19．(1)15 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． （1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系； ②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）①，理由如下： 如图，延长交于点N， 设， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 20．(1) (2) (3) (4)9，或． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案； （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过作于E，证明即可得到答案； （4）分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）解：过点B作， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）解：①当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴； ②当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴， ∴； ③当作斜边，时，作三角形高，过D作，过A作， 同理可得，，， 由（1）得，， ∴，， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的面积是9，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$