山东省济南市历下区私立济南齐鲁学校2025年七年级暑假线上测试数学试题（2025.7）

私立济南齐鲁学校七年级数学线上测试试题 一、选择题 1.第届夏季奥运会于年月日至月日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列事件中，属于必然事件的是(    ) A. 太阳从东方升起 B. 抛掷枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上 C. 打开电视机在播放新闻联播 D. 在只装有个红球和个白球的袋子里，摸出一个黑球 4.如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为连接，交于点，交于点，连接则图中阴影部分的面积之和为    ． A. B. C. D. 6.一个动点以每秒厘米的速度沿图的边框边框拐角处都互相垂直按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图，已知，则下列说法正确的有(    ) 动点的速度是； 的长度为； ； 在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、；；；；其中说法正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 8.如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为                    ． 9.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交边于点，若，，则的面积是                    ． 第9题图 第10题图 第11题表 10.如图，，平分，于，，已知，则 __          ____． 11.漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小明制作了一个简单的漏刻模型，并研究发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的水位为                    ． 12.如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，过点作于点，延长交于点，下列结论： 过点作于点，延长交于点，则 若是中点，则其中正确的结论有          只填写序号 三、计算题 13.计算   四、解答题 14.本小题分如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． 求的面积； 画出，使它与关于直线成轴对称； 在直线上找一点，使周长最小． 15.本小题分如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点、、、在同一条直线上，且，，． 求证：； 若，，求的度数． 16.本小题分一只口袋里放着个红球、个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． 事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是          ； 搅匀袋中的球后，取出红球的概率为多少？ 如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 17.本小题分如下图，实验中学位于一条南北向公路的一侧处，门前有两条长度均为米的小路、通往公路，与公路交于，两点，且，两点相距米． 为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路的新路点在上，使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路请 在 图 中 画 出并计算新路的长度． 为保证学生的安全，在公路上的点和点处设置了一组区间测速装置，点在点的北侧，且距实验中学处米．一辆汽车经过区间共用时秒，若此段公路限速为约，请判断该车是否超速，并说明理由． 18.本小题分大明湖上赛龙舟是泉城济南独有的端午民俗文化盛会．年月日，第二十三届明湖龙舟邀请赛隆重开幕，来自省内外的十余只参赛队伍展开激烈竞逐．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程米与划行的时间分之间满足的关系如图所示，根据图象信息，回答问题： 甲队划行的速度为          米分；当时，乙队划行的速度为          米分； 当           分钟时，甲、乙两队划行途中相遇； 当划行多少分钟时，甲、乙两队划行的路程相差米？ 19.本小题分【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是          由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是          ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长． 【灵活运用】如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论． 答案 1.【答案】  【解析】本题考查了轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：、不是轴对称图形，故该选项是错误的； B、不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、是轴对称图形，故该选项是正确的； D、不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：、与不是同类二次根式不能合并， 选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并， 选项错误，不符合题意； C、，故C选项正确，符合题意； D、与不是同类二次根式不能合并， 选项错误，不符合题意； 故选：． 根据二次根式的运算法则逐项计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，逐一进行判断即可． 【详解】解：、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； B、抛掷枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、打开电视机在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意； D、在只装有个红球和个白球的袋子里，摸出一个黑球，是不可能事件，不符合题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】垂直平分，垂直平分， ，，， ， 的周长， 故选：． 5.【答案】  【解析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ，，， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， 阴影部分的面积之和为 ， 正方形的面积为， 即， ， 阴影部分的面积之和为． 故选C． 6.【答案】  【解析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点的运动，得出当点在不同边上时的面积变化，并对应图得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】解：当点在上时，如图所示，    ， ， 三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点在上时，如图所示，是的高，且，    ，此时三角形面积不变， 当点在上时，如图所示，是的高，，，三点共线，    ，点从点到点运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点在上时，如图所示，是的高，且，    ，此时三角形面积不变， 当点在时，如图所示，    ，点从点向点运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图可得时，点在上， ， ，， 动点的速度是， 故正确，符合题意； 当时，点在上，此时三角形面积不变， 动点由点运动到点共用时， ， 故错误，不符合题意； 当，点在上，， 动点由点运动到点共用时， ， 故错误，不符合题意； 当的面积是时，点在上或上， 点在上时，， 解得， 点在上时， ， 解得， ， 从点运动到点共用时， 由点到点共用时， 此时共用时， 故正确，符合题意； 综合上所述：正确的有个， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，故正确，符合题意； 如图，作交的延长线于，作于， ， ， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，，， ， 由知≌， ， ， ， ，即， 在和中， ， ≌， ，， ，即， 是等边三角形， ，故正确，符合题意； 由知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故错误，不符合题意； ≌，≌， ，即， ≌， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有， 故选：． 证明，从而得出≌，即可判断；作交的延长线于，作于，可证明≌，得到，，，即可证明≌得到，从而得出是等边三角形，即可判断；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断；根据≌，≌，≌，即可判断． 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8.【答案】或  【解析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形一个底角为，顶角为； 等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 9.【答案】  【解析】过点作于，如图，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：过点作于，如图，    由作法得平分， ， ， 的面积． 故答案为：． 10.【答案】  【解析】解：作于， 平分， ，， ， ，， ， ， 中，， ， ． 在与中， ， ≌， ． 故答案为：． 由角平分线的定义和平行线的性质易得，，作于，根据角平分线的性质可得，，在中，易得，再由勾股定理求出的长，故可得出的长，根据全等三角形的判定定理得出≌，故可得出，据此得出结论． 此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键． 11.【答案】  【解析】本题主要考查了一次函数的实际应用，由题意及表格数据可知记录错误的数据为当时，，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把和代入求解出函数解析式即可得到答案． 【详解】解：由表格可得：当时，当时，当时，时间每增加一分钟，水位就上升，由此可知错误的数据为当时，， 设水位与时间的函数解析式为， 把和代入得： 解得： 水位与时间的函数解析式为， 当时，则有， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断；过点作交延长线于点，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断；过点作交的延长线于点，过点作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ，， ，故正确； 如图所示，过点作交延长线于点，    又， ， ， 同理可得：， ，故正确； 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作    ， 又， 同理可证， ， ，故正确； 延长交于，过作于，过作于，    为中点； 同理可得：， ，， ，而， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，而， ；故正确． 故答案为：． 13.【答案】解：原式 ； 原式 ；  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 14.【答案】【小题】 解：的面积； 【小题】 如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， 即为所求； 【小题】 解：如图，连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件， 点即为所求．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】   详细解答和解析过程见【答案】   详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】【小题】 证明：， 即，     ， ，     在和中， ． 【小题】 ，， ，     ， ，     ．   【解析】  本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： 利用证明即可；   根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 16.【答案】【小题】 【小题】 解：一只口袋里放着个红球、个黑球， 搅匀袋中的球后，从口袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含种情况，则取出红球的概率为； 【小题】 解：设放入红球个，则由题意得，解得， 答：放入红球有个．   【解析】  题中只有红球和黑球，“从口袋中随机摸出一个球是绿球”是不可能事件从而得到概率为； 【详解】解：一只口袋里放着个红球、个黑球，没有绿球， 事件“从口袋中随机摸出一个球是绿球”发生的概率是， 故答案为：；   分析出题中从口袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含种情况，由简单概率公式求解即可得到答案；   设放入红球个，由简单概率公式列方程求解即可得到答案． 17.【答案】【小题】 解：过点作，交于点，则即为所求，如图所示： ，，， ，， 在中，， 由勾股定理得， ，， ， 新路长度是米． 【小题】 解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ，， ， ， 该车经过区间用时， 该车的速度为， ． 该车没有超速．   【解析】  详细解答和解析过程见【答案】   详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】【小题】 【小题】 【小题】 解：根据甲、乙的函数图象可知， 当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为，  在存在一个时刻，两者划行的路程相差米，设时间为， 则， 解得，符合题意； 当，由于在时，两者划行的路程相差为米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为，  在存在两个时刻，两者划行的路程相差米，设时间为， 则或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，或分钟时，甲、乙两队划行的路程相差米．   【解析】  本题考查函数的图象，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． 结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时的速度； 【详解】解：由图象可知，甲队划行的速度为：米分； 当时，乙队划行的速度为：米分；   结合图象，可知在时间分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； 解：设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在分钟后，即划行米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，  ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；   结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差米的情况，分两种情况讨论即可． 19.【答案】【小题】 【小题】 延长到，使，连接，如图所示：    ，，， ， 是中线， ， 在和中， ， ，， ，， ， ． 【小题】 等量关系为：         理由如下：延长到点，使，连接，，如图所示：    ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 即， 中，由勾股定理得：， ．   【解析】  由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； 【详解】由已知和作图得到，，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：；．   延长到，使，连接，根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到；   延长到点，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$