精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试题

2024～2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校 第二次质量检测七年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 校园开放月活动，学生们精心设计了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键是掌握相应的概念，中心对称图形关于点对称，轴对称图形关于线对称，进行判断． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形； B．不是轴对称图形，是中心对称图形； C．是轴对称图形，不是中心对称图形； D．是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：A． 2. 若，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 3. 用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（ ） A. 正三角形和正四边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正四边形和正六边形 D. 正四边形和正八边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，先算出每个多边形的内角，正多边形的组合能否铺满地面，解题的关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，解题的关键是掌握平面镶嵌定义． 【详解】解：、正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正四边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，， ∴，显然取任何整数时，不能得正整数，故不能铺满，符合题意； 、正四边形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意， 故选：． 4. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能够组成三角形． D、，不能组成三角形； 故选：C． 5. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可． 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 6. 若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 由题意无法证明，故C不一定正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，是关于、的二元一次方程的解，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入二元一次方程中即可求的值． 【详解】把代入二元一次方程中， ，解得． 故答案是：． 【点睛】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键． 10. 如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 11. 某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲与乙合作3天后，又单独做了天，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可知，甲一共工作天，乙一共工作3天，最后根据甲、乙的工作总量之和为1列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝320°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°， ∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°， ∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O， ∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°， ∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°． 故答案是：70°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 13. 如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若，且于点F，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合旋转性质得，，，再根据，故，则，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 14. 如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”判断①②即可； 根据与各边长之间的数量关系判断③即可； 设，，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出即可判断④． 【详解】解：①∵E是的中点， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵，，但与不一定相等， ∴③与的周长不一定相等， ∴③不正确，不符合题意； ④如图，设，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴④正确，符合题意． 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共78分） 15. 解方程（组）： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化1即可； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 由得，， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 16. 解不等式（组）： （1）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）， 数轴表示为： （2）；整数解为： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式以及一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再系数化1求出不等式的解集，再在数轴上表示解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而确定整数解． 【小问1详解】 解： ， 解得：， ∴原不等式的解集为： 【小问2详解】 解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：． 17. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 【答案】这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【解析】 【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意，得 （n−2）•180°＝360°×4+180°， 解得：n＝11． 360°×4+180°=1620° 则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度． 【点睛】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 18. 如图，在中，，点、分别在边、上，且点、关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据的周长为24，可得，再由，可求出，得出，再根据对称性可得，即可得出的周长． 【详解】解：的周长为24， ， ，， ， 解得：， ，， 点、关于直线对称， ， 的周长． 19. 如图，在中，是边上的高，． （1）求的度数； （2）若平分交于点E，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）高线，得到，三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）三角形的外角求出的度数，角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数． 【小问1详解】 解：在中， 是边上的高， ． 又， ． 【小问2详解】 ，， ． 又平分， ， ∴． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）的面积为______． （2）在图①中，将平移得到，使点A的对应点为点D． （3）在图②中，将绕点C顺时针旋转得到． 【答案】（1）5 （2） 如图所示，即为所求： （3） 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了网格求三角形的面积，平移作图，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用割补法进行列式计算，即可作答． （2）结合平移的性质可知点A先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，据此找出点B、C的对应点E、F，再依次连接，即可作答． （3）先结合旋转的性质和网格的特点，分别将、绕点C顺时针旋转得到对应的线段，再连接，即可作答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元；（2）该商店共有3种进货方案．方案1为购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件；方案2为购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件；方案3为购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件． 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题目条件列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设购进A纪念品每件需x元，购进B纪念品每件需y元． 根据题意可得 解得 答：购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元． （2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件． 根据题意可得， 解得． 因为m为购进A种纪念品的件数，所以m只能取正整数． 所以m取50，51，52，此时取50，49，48． 故该商店共有3种进货方案． 方案1为购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件； 方案2为购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件； 方案3为购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或者不等式组是解题关键． 22. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”，问题解决： （1）在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”_____（填序号）； （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：方程， 解得：， 不等式组 整理得， 解得：， 由题意可得：， 整理得 解得：； 【小问3详解】 解：方程， 解得：， 方程， 整理得 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 23. 解答下列各题： （1）【问题引入】如图①，在中，点D在的延长线上，三角形的内角与外角的角平分线相交于点P，求证：． （2）【深入探究】如图②，在图①中，，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，则______． （3）【问题拓展】如图③，在四边形中，四边形的内角与外角的角平分线BP、CP相交于点P，若，则______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） 证明：三角形的内角与外角的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线得到，再由三角形外角定理得到，，然后代入证明即可； （2）先由（1）的结论求出，再由折叠可得，然后根据角平分线定义以及三角形内角和定理即可求解； （3）先由（1）结论可得，然后运用三角形内角和定理和邻补角即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴由（1）得， ∵翻折， ∴， ∴ ∵的角平分线与的角平分线交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：延长交于点， 同理由（1）可得：， ∵， ∴， ， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，将绕着的中点O旋转得到，点E为的中点．点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结，设点P的运动时间为t秒． （1） ， 度． （2）用含t的代数式表示的长． （3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值． （4）在点P的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【答案】（1）10，130 （2）当时，，当时， （3）当将四边形的周长分成两部分时，t的值为或 （4）的度数为或或或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质即可求解； （2）分类讨论：当时，当时，即可求解； （3）当将四边形的周长分成两部分时，或，即可求解； （4）当时，点A与点关于对称，点A与点关于对称；当时，点A与点关于对称，点A与点关于对称，即可求解． 【小问1详解】 解：将绕着的中点O旋转得到， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：10，130； 【小问2详解】 解：点t秒运动，， 当时，， 当时，； 【小问3详解】 解：P点t秒运动， 则， 当将四边形的周长分成两部分时， 或， 解得或， 经检验或是原方程的根， 当将四边形的周长分成两部分时，t的值为或； 【小问4详解】 解：如图， 当时， ， ， 点A与点关于对称， ； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 点A与点关于对称， ； 如图， 当时， ， 点A与点关于对称， ； 点A与点关于对称， ； 综上所述，的度数为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，对称的性质，旋转的性质等；能根据垂直进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校 第二次质量检测七年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 校园开放月活动，学生们精心设计了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（ ） A. 正三角形和正四边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正四边形和正六边形 D. 正四边形和正八边形 4. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，是关于、的二元一次方程的解，则_____． 10. 如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是______． 11. 某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 12. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是_____． 13. 如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若，且于点F，则______°． 14. 如图所示，在中，D是上一点，，E是的中点，设，，，的面积分别为，，，，给出下面四个结论：①；②；③与的周长相等；④，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共78分） 15. 解方程（组）： （1）． （2）． 16. 解不等式（组）： （1）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数． 18. 如图，在中，，点、分别在边、上，且点、关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长． 19. 如图，在中，是边上的高，． （1）求的度数； （2）若平分交于点E，，求的度数． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上． （1）的面积为______． （2）在图①中，将平移得到，使点A的对应点为点D． （3）在图②中，将绕点C顺时针旋转得到． 21. 太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？ 22. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”，问题解决： （1）在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”_____（填序号）； （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，试求m的取值范围． 23. 解答下列各题： （1）【问题引入】如图①，在中，点D在的延长线上，三角形的内角与外角的角平分线相交于点P，求证：． （2）【深入探究】如图②，在图①中，，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，则______． （3）【问题拓展】如图③，在四边形中，四边形的内角与外角的角平分线BP、CP相交于点P，若，则______．（用含的代数式表示） 24. 如图，在中，，，将绕着的中点O旋转得到，点E为的中点．点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结，设点P的运动时间为t秒． （1） ， 度． （2）用含t的代数式表示的长． （3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值． （4）在点P的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $