2.1认识实数◆培优检测2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 2.1认识实数◆培优检测 一、单选题 1．（24-25九年级下浙江温州开学考试）在下列数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下山东德州阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 6．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 8．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 9．（24-25八年级下湖北恩施期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末） 0.14．（填“”、“ ”或“”） 12．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 13．（21-22七年级上·北京海淀·期中）有理数，在数轴上对应的点如图所示，若，且，则的值是 ． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 三、解答题 16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 18．（24-25八年级上·全国·课后作业）设边长为4的正方形的对角线长为x． (1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间． 19．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 20．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3） 21．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 22．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 北师大版新初二数学衔接突围 2.1认识实数◆培优检测 解析版 一、单选题 1．（24-25九年级下浙江温州开学考试）在下列数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴根据实数大小比较方法可知，， ∴最小的数是， 故选：． 2．（24-25七年级下山东德州阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数6的倒数为， 故选；A． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 6．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，每个小正方形的边长为，的三边，，中无理数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、无理数，在网格图中作线段，根据每个小正方形的边长为，可得：，，，，利用勾股定理求出，，由网格图可知，根据无理数的定义可知无理数是． 【详解】解：如下图所示，在网格图中作线段， 则，，，， 在中，， 在中，， ，，， 的三边，，中无理数是． 故选：A． 8．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 9．（24-25八年级下湖北恩施期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴， 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为， ∵，即， ∴， ∴，即， 故选：A． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（    ） A． B．0 C．203 D．405 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据取整函数定义，分段计算每个整数区间内点的y值之和，再累加所有区间和最后一个点的值计算即可． 【详解】解：负数区间处理： 区间：包含4个点，每个点，和为． 区间到：共201个区间，每个区间5个点，y值从到．和为． 正数区间处理： 区间到：共203个区间，每个区间5个点，y值从0到202． 和为． 最后一个点：，直接加203． 总和计算： ． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末） 0.14．（填“”、“ ”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，直接得出的近似值，进而得出答案．正确得出的近似值是解题关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 13．（21-22七年级上·北京海淀·期中）有理数，在数轴上对应的点如图所示，若，且，则的值是 ． 【答案】-2或-6 【分析】先化简绝对值，再代入解方程即可． 【详解】∵， ∴a=2b或a=-2b， 当a=2b时， ∵， ∴b-2b=3， 解得b=-3， ∴a=2b= -6； 当a=-2b时， ∵， ∴b+2b=3， 解得b=1， ∴a=-2b= -2； 故答案为：-2或-6． 【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程，分类思想，熟练进行绝对值的化简，灵活求解一元一次方程是解题的关键． 14．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；由点B坐标确定圆柱的高；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 三、解答题 16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 【答案】①②，①③，④⑤⑥，②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，无限不循环小数即为无理数，实数包括无理数和有理数，解题的关键是根据实数的分类方法即可判定求解． 【详解】解：，，， 正数集合：{①②⋯}； 整数集合：{①③⋯}； 负分数集合：{④⑤⑥⋯}； 无理数集合：{②⑦⋯}； 故答案为：①②，①③，④⑤⑥，②⑦． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 【答案】见解析 【分析】先明确的含义是的绝对值，，根据且是整数，找出满足条件的整数，再在数轴上表示．本题主要考查了绝对值的概念、不等式的整数解以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的意义和整数的范围确定方法是解题的关键． 【详解】解：，，且是整数 又是整数 的值为，，，，，， 在数轴上表示，，，，，，如图所示， 18．（24-25八年级上·全国·课后作业）设边长为4的正方形的对角线长为x． (1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间． 【答案】(1)x不是有理数．理由见解析 (2)x在5和6之间 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，估算无理数的大小，正方形的面积，估算无理数的大小要用“夹逼法”思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． （1）直接利用勾股定理得出的值，再分排除它是整数和分数即可； （2）利用利用“夹逼法”即可得出的取值范围； 【详解】（1）解：不是有理数． 理由：由勾股定理可知，， 首先不可能是整数，32不是任何整数的平方， 其次也不可能是分数(因为若是最简分数，则，仍是一个分数，不等于， 综上可知：既不是整数，也不是分数，所以不是有理数； （2）∵， ∴，即， ∴x在5和6之间． 19．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 20．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较； （1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，由长方形的面积即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解； 会利用算术平方根求解，实数的大小比较是的解题的关键． 【详解】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)， 根据题意，得， 即， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∴绣布的长为24，宽为16． 周长为； （2）解：不能够裁出来． 理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r， 由题意，得， ∵π取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴． ∴不能够裁出来． 21．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形，无理数，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）找出常用的勾股数作图即可； （2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图1：即为所求， ． ∵ ，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图2，即为所求， ∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 22．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$