2.1 认识实数（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

2.1 认识实数 题型一 无理数的判断 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列实数中，属于无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25七年级下·北京·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 题型二 实数的分类 4．实数可分为（    ） A．正数和负数 B．整数和分数 C．分数和小数 D．有理数和无理数 5．下列分类，正确的是（　　） A．有理数 B．无理数 C．实数 D．实数 6．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 7．把下列各数填入它所属的集合内： ，0，，，，，，，，（两个3之间依次多个0）． 分数集合：{                                              …}；负整数集合：{                                              …}； 无理数集合：{                                              …}． 8．把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}；整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}；非负数集合：{__________________…}． 题型三 与实数相关的概念辨析 9．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（    ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数 C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数 10．下列说法：①绝对值最小的有理数是；②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④，5，都是单项式；⑤ 是三次三项式中，正确的个数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 12．下列说法： ①数轴上的点与实数成一一对应关系； ②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数； ④任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 实数的性质 13．若a、b、c均为不为0的实数，且，则= 题型五 比较实数的大小 14．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 15．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，点是硬币圆周上一点，点与数所对应的点重合．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是 ． 题型六 在数轴上表示实数 17．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 18．（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 题型一 估算无理数的大小 1．如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 题型二 在网格中作长为无理数的线段 4．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． （实数的非负性）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 认识实数 题型一 无理数的判断 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列实数中，属于无理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不合题意； 、是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意； 、是整数，属于有理数，该选项不合题意； 、是整数，属于有理数，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数、有理数的分类、实数的分类 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数），逐一判断各数是否为有理数． 【详解】解：：整数，属于有理数； ：分数，属于有理数； 0：整数，属于有理数； ：即，分数，属于有理数； ：含无理数π，属于无理数； ：有限小数，属于有理数； 13：整数，属于有理数； （每两个3之间依次增加一个2）：虽有一定规律，但无循环节，属于无理数． 综上，有理数有6个（、、0、、、13）， 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京·期末）在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个； 故答案为：1． 题型二 实数的分类 4．实数可分为（    ） A．正数和负数 B．整数和分数 C．分数和小数 D．有理数和无理数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，实数可分为正实数和负实数以及0或实数可分为有理数和无理数．熟练掌握实数的分类是解题的关键． 根据实数的定义和分类进行判断． 【详解】解：实数可分为：有理数和无理数， A、B、C均不严谨，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 5．下列分类，正确的是（　　） A．有理数 B．无理数 C．实数 D．实数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】实数的分类 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：实数分为有理数和无理数， 故选：C． 【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、无理数 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键． 根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分数：③④⑧⑨； 非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨ 无理数：⑥⑦． 7．把下列各数填入它所属的集合内： ，0，，，，，，，，（两个3之间依次多个0）． 分数集合：{                                              …}； 负整数集合：{                                              …}； 无理数集合：{                                              …}． 【答案】，，，；，，；，（两个3之间依次多个0）． 【难度】0.85 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类． 根据实数的分类填写即可． 【详解】解：，，， 分数集合：{，，，…}； 负整数集合：{，，，…}； 无理数集合：{，（两个3之间依次多个0），…}． 故答案为：，，；，，；，（两个3之间依次多个0）． 8．把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④，⑤3.5，⑥，⑦，⑧，⑨0.010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）． 负数集合：{__________________…}； 整数集合：{__________________…}； 分数集合：{__________________…}； 非负数集合：{__________________…}． 【答案】①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨ 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、实数的分类 【分析】此题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键． 根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可． 【详解】，， 负数集合：{　①⑤⑧…} 整数集合：{　①③④…} 分数集合：{　②⑤⑦⑧…} 非负数集合：{　②③④⑥⑨…} 故答案为：①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨． 题型三 与实数相关的概念辨析 9．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（    ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数 C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数概念理解、实数与数轴、无理数 【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意； B、无理数是无限不循环小数，例如，故B选项错误，不符合题意； C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意； D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键． 10．下列说法：①绝对值最小的有理数是；②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④，5，都是单项式；⑤ 是三次三项式中，正确的个数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数、实数概念理解 【分析】根据实数的分类、单项式和多项式的定义进行选择即可．实数分为有理数和无理数，其中有理数包含有限小数和无限循环小数；无理数包含无限不循环小数． 【详解】解：①绝对值最小的有理数是；此说法正确； ②无限不循环小数是无理数；此说法错误； ③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；此说法错误； ④，5，是单项式，不是单项式；此说法错误； ⑤ 是三次三项式，此说法正确； 故选A． 【点睛】本题考查了实数、单项式以及多项式，掌握实数的分类、单项式和多项式的定义是解题的关键． 11．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数的性质、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意． B．两个无理数的和可能为有理数．例如，与的和为（有理数），所以原说法错误，故此选项不符合题意． C．负数没有最大值．例如，比大，所以原说法错误，故此选项不符合题意． D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 12．下列说法： ①数轴上的点与实数成一一对应关系； ②两个无理数的和还是无理数； ③无限小数都是无理数； ④任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数的分类、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，无理数．根据实数与数轴的关系即可判断①；根据实数的分类即可判断④；根据无理数的定义即可判断②④． 【详解】解：①数轴上的点与实数成一一对应关系，说法正确； ②两个无理数的和可以是有理数，如，原说法错误； ③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误； ④任何实数不是有理数就是无理数，说法正确； ∴说法正确的一共有2个， 故选：B． 题型四 实数的性质 13．若a、b、c均为不为0的实数，且，则= 【答案】1或 【难度】0.85 【知识点】实数的性质、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了实数的除法和绝对值的化简，分类讨论是解题关键．根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值等于他的相反数，可化简掉绝对值的负号，再根据有理数的除法，可得答案 【详解】解：，且a、b、c均为不为0的实数， a、b、c三个数中有一个负数或三个负数． 当a、b、c中只有一个负数时， 设，则； 当a、b、c中有三个负数时，． 故答案为：1或 ． 题型五 比较实数的大小 14．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及点所对应的数，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值．根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或， 故选D． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，点是硬币圆周上一点，点与数所对应的点重合．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为个单位长度， 硬币的周长为， 点为， 点对应的实数是， 故答案为：． 题型六 在数轴上表示实数 17．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较、无理 实数的大小比较，先估算，再利用比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小比较，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题的关键， 根据数轴上实数、、、的位置，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴最小的实数是m． 故选：A． 题型一 估算无理数的大小 1．如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴，即 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标在与之间， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， ∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点， ∴设这一点坐标为x，x2=13， ∵9<13<16， ∴， 故选B． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是 （写出一个满足条件的a即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】无理数、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 在网格中作长为无理数的线段 4．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． (2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、无理数 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形，无理数，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）找出常用的勾股数作图即可； （2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图1：即为所求， ． ∵ ，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图2，即为所求， ∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)17 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、实数与数轴、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可； （2）以为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求． 【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的面积是， 故答案为：17； （2）解：如图：点P表示的数为. （实数的非负性）阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$