1. 3　勾股定理的应用 学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

3　勾股定理的应用 课时目标 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.勾股定理在折叠中的应用 在勾股定理的应用中,通常会通过图形的折叠得到直角三角形,然后利用勾股定理解决问题. 1.如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点C落在AB边上的点E处,AD是折痕,则△BDE的周长为( ) A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.14 2.勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用 一般情况下,遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时,可以构造 ,运用 求解.  2.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路,却踩伤了花草.他们少走的路长为 .  重点　典例研析　启思凝智 重点1　勾股定理在折叠中的应用(抽象能力、运算能力) 【典例1】如图,将长方形ABCD对折,使得边AB、边CD重合,折痕与边BC、边AD交于点E、点F,AB=3,BC=10,点P是边AB上一点,将∠B沿着EP折叠得到 ∠M,线段PM、线段EM分别交边AD于点N、点Q. (1)当M,N重合时,线段PB的长是多少? (2)当点P与点A重合时,点H是边CD上一点,将∠C沿着线段EH折叠,使得点C落在边AD上的点G,线段GQ的长是多少? 举一反三 1.如图所示,E为长方形ABCD的边BC上的一点,将长方形ABCD沿直线DE折叠,使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD=8 cm,BE=3 cm则图中阴影部分的面积为( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.10 cm2 B.20 cm2 C.30 cm2 D.40 cm2 2.(2025·重庆期末)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折叠,使点A落在点P处,PD交CB于点Q,则CQ的长为 .  重点2　勾股定理及其逆定理的实际应用(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P13例拓展)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为( ) A.0.7 m B.1.5 m C.2.2 m D.2.4 m 举一反三 1.(2025·成都期中)一架长5 m的梯子,如图所示斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙1.4 m,如果梯子的顶端下滑0.8 m,那么它的底部滑行了( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.8 m B.1 m C.1.2 m D.1.6 m 2.(2025·温州期中)如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙底端C的距离为0.7米.当梯子的顶端沿墙面下滑 米后,梯子处于A1B1位置,恰与原位置AB关于墙角∠ACB的平分线所在的直线轴对称.  技法点拨 勾股定理的实际应用 素养　思维提升　入境深探 链接生活 勾股定理与放风筝 学习了“勾股定理”后,小明发现可以利用勾股定理测量风筝的垂直高度.具体操作如下: 先测量水平距离BD=16米,然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF=20米,小明的身高AB=1.7米. (1)求此时风筝的垂直高度EF; (2)若站在点A不动,想把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置(即CF=18米,点C,F,D在一条直线上,图中所有点均在同一平面内),则还需放出风筝线多少米? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　勾股定理的应用 课时目标 应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.勾股定理在折叠中的应用 在勾股定理的应用中,通常会通过图形的折叠得到直角三角形,然后利用勾股定理解决问题. 1.如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点C落在AB边上的点E处,AD是折痕,则△BDE的周长为(C) A.6　　　B.8　　　C.12　　　D.14 2.勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用 一般情况下,遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时,可以构造　直角三角形　,运用　勾股定理　求解.  2.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路,却踩伤了花草.他们少走的路长为　4 m　.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　勾股定理在折叠中的应用(抽象能力、运算能力) 【典例1】如图,将长方形ABCD对折,使得边AB、边CD重合,折痕与边BC、边AD交于点E、点F,AB=3,BC=10,点P是边AB上一点,将∠B沿着EP折叠得到 ∠M,线段PM、线段EM分别交边AD于点N、点Q. (1)当M,N重合时,线段PB的长是多少? (2)当点P与点A重合时,点H是边CD上一点,将∠C沿着线段EH折叠,使得点C落在边AD上的点G,线段GQ的长是多少? 【自主解答】(1)如图, 由折叠可知,PB=PM,ME=BE=5, 由勾股定理,可得MF2=ME2-EF2=52-32=16,MF=4,所以AM=1, 设PB=PM=x,则AP=3-x, 在Rt△APM中,由勾股定理,可得AP2+AM2=PM2,所以(3-x)2+12=x2,解得:x=,所以PB=,所以当M,N重合时,PB的长为. (2)如图, 因为将∠C沿着线段EH折叠,使得点C落在边AD上的点G, 所以EC=EG=5.因为EF=3,所以GF=4. 由折叠可得:∠MEP=∠BEP,PB=PM=3,BE=ME=5, 又因为PF∥BE,所以∠QPE=∠BEP, 所以∠MEP=∠QPE,所以PQ=EQ. 设PQ=EQ=y,则MQ=5-y, 在Rt△PMQ中, 由勾股定理,可得PM2+MQ2=PQ2, 所以32+=y2.解得:y=. 在Rt△QFE中,由勾股定理,可得QF2=QE2-EF2=()2-32=, 即QF=, 所以GQ=GF+QF=4+=. 举一反三 1.如图所示,E为长方形ABCD的边BC上的一点,将长方形ABCD沿直线DE折叠,使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD=8 cm,BE=3 cm则图中阴影部分的面积为(C) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.10 cm2 B.20 cm2 C.30 cm2 D.40 cm2 2.(2025·重庆期末)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折叠,使点A落在点P处,PD交CB于点Q,则CQ的长为 　.  重点2　勾股定理及其逆定理的实际应用(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P13例拓展)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为(C) A.0.7 m B.1.5 m C.2.2 m D.2.4 m 举一反三 1.(2025·成都期中)一架长5 m的梯子,如图所示斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙1.4 m,如果梯子的顶端下滑0.8 m,那么它的底部滑行了(D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.8 m B.1 m C.1.2 m D.1.6 m 2.(2025·温州期中)如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙底端C的距离为0.7米.当梯子的顶端沿墙面下滑　1.7　米后,梯子处于A1B1位置,恰与原位置AB关于墙角∠ACB的平分线所在的直线轴对称.  技法点拨 勾股定理的实际应用 素养　思维提升　入境深探 链接生活 勾股定理与放风筝 学习了“勾股定理”后,小明发现可以利用勾股定理测量风筝的垂直高度.具体操作如下: 先测量水平距离BD=16米,然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF=20米,小明的身高AB=1.7米. (1)求此时风筝的垂直高度EF; (2)若站在点A不动,想把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置(即CF=18米,点C,F,D在一条直线上,图中所有点均在同一平面内),则还需放出风筝线多少米? 【解析】(1)由题意得,AB=DE=1.7米, 在Rt△BDF中,由勾股定理得DF2=BF2-BD2=202-162=144, 所以DF=12米. 所以EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米). (2)由题意得CF=18米, 因为DF=12米,所以CD=30米. 在Rt△BCD中,BC2=BD2+CD2=162+302=1 156,所以BC=34米, 所以BC-BF=34-20=14(米), 故还需放出风筝线14米. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 四” 学科网（北京）股份有限公司 $$