第一章 2　一定是直角三角形吗 学案 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

2　一定是直角三角形吗 　课时目标 1.探索勾股定理的逆定理.(几何直观、推理能力) 2.能用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形.(运算能力、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.直角三角形的判定(勾股定理的逆定理) 文字 描述 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形  图示 几何 语言 因为AC2+BC2= ,  所以△ABC是 三角形且∠ =90°  2.勾股数 定义 满足a2+b2=c2的三个 数  注意 条件 ①勾股数的三个数均是 数;  ②两个较小数的平方和等于 的平方  1.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是( ) A.AB2+BC2=AC2 B.AB2-BC2=AC2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 2.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是( ) A.1,2,3 B.1,2,2 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13 重点　典例研析　启思凝智 重点1　判断直角三角形(模型观念、运算能力) 【典例1】据说古埃及人曾用下面的方法得到直角:如图所示,他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处,你能说说其中的道理吗? 举一反三 1.下列几组数中,能构成直角三角形三边长的是( ) A.1,2,5 B.2,3,4 C.3,4,5 D.2,5,6 2.△ABC的三边长分别是a,b,c,判断下列△ABC的形状. (1)a=20,b=15,c=25. (2)a=n2-1,b=2n,c=n2+1. 技法点拨 已知三边长判断直角三角形的步骤 (1)比较三边长,找出最大边长; (2)计算两较小边长的平方和; (3)计算最大边长的平方; (4)判断两较小边长的平方和与最大边长的平方是否相等.若相等,就是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形. 重点2　勾股定理及其逆定理的综合应用(推理能力、运算能力) 【典例2】如图,四边形ABCD是舞蹈训练场地,要在场地上铺上地胶.经过测量得知:∠B=90°,AB=24 m,BC=7 m,CD=15 m,AD=20 m.判断∠D是不是直角,并说明理由. 举一反三 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=6 cm,AB=8 cm,CD=24 cm,BC=26 cm,求四边形ABCD的面积. 技法点拨 利用直角三角形求图形面积的三步骤 1.把不规则图形通过割补法构造三角形; 2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3.利用面积的和差关系计算. 特别提醒 分割出来的三角形一定要先判定是直角三角形,再利用直角三角形的面积公式计算. 素养　思维提升　入境深探 【火眼金睛】(找错并纠正) 判断由长为,1,的三条线段组成的三角形是不是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　一定是直角三角形吗 　课时目标 1.探索勾股定理的逆定理.(几何直观、推理能力) 2.能用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形.(运算能力、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.直角三角形的判定(勾股定理的逆定理) 文字 描述 如果三角形的三边长a,b,c满足　a2+b2=c2　,那么这个三角形是直角三角形  图示 几何 语言 因为AC2+BC2=　AB2　,  所以△ABC是　直角　三角形且∠　C　=90°  2.勾股数 定义 满足a2+b2=c2的三个　正整　数  注意 条件 ①勾股数的三个数均是　正整　数;  ②两个较小数的平方和等于　最大数　的平方  1.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(D) A.AB2+BC2=AC2 B.AB2-BC2=AC2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 2.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是(D) A.1,2,3 B.1,2,2 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13 重点　典例研析　启思凝智 重点1　判断直角三角形(模型观念、运算能力) 【典例1】据说古埃及人曾用下面的方法得到直角:如图所示,他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处,你能说说其中的道理吗? 【自主解答】设相邻的两个结间的距离为a,则根据题意得:这个三角形的三边长分别为3a,4a,5a, 因为(3a)2+(4a)2=25a2=(5a)2,所以以3a,4a,5a为边长的三角形是直角三角形. 举一反三 1.下列几组数中,能构成直角三角形三边长的是(C) A.1,2,5 B.2,3,4 C.3,4,5 D.2,5,6 2.△ABC的三边长分别是a,b,c,判断下列△ABC的形状. (1)a=20,b=15,c=25. (2)a=n2-1,b=2n,c=n2+1. 【解析】(1)因为a=20,b=15,c=25, 所以202+152=252,即a2+b2=c2, 所以△ABC是直角三角形. (2)因为a=n2-1,b=2n,c=n2+1, 所以a2=(n2-1)2=n4-2n2+1, b2=(2n)2=4n2,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1, 所以a2+b2=c2, 故△ABC是直角三角形. 技法点拨 已知三边长判断直角三角形的步骤 (1)比较三边长,找出最大边长; (2)计算两较小边长的平方和; (3)计算最大边长的平方; (4)判断两较小边长的平方和与最大边长的平方是否相等.若相等,就是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形. 重点2　勾股定理及其逆定理的综合应用(推理能力、运算能力) 【典例2】如图,四边形ABCD是舞蹈训练场地,要在场地上铺上地胶.经过测量得知:∠B=90°,AB=24 m,BC=7 m,CD=15 m,AD=20 m.判断∠D是不是直角,并说明理由. 【自主解答】∠D是直角,理由如下:连接AC,如图所示: 在Rt△ABC中, ∠B=90°, 由勾股定理得:AC2=72+242=625, 在△ADC中,因为AD2+DC2=625, 所以AD2+DC2=AC2, 所以△ADC是直角三角形,∠D=90°. 举一反三 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=6 cm,AB=8 cm,CD=24 cm,BC=26 cm,求四边形ABCD的面积. 【解析】连接BD, 因为AB⊥AD, 所以∠A=90°, 所以△ABD为直角三角形, 因为BD2=AB2+AD2=82+62=102, 所以BD=10 cm, 在△BCD中,CD=24 cm,BC=26 cm,因为CD2+BD2=242+102=676=262=BC2,所以△BCD为直角三角形,且∠BDC=90°,所以S四边形ABCD=S△BCD-S△ABD =×10×24-×6×8=96(cm2). 技法点拨 利用直角三角形求图形面积的三步骤 1.把不规则图形通过割补法构造三角形; 2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3.利用面积的和差关系计算. 特别提醒 分割出来的三角形一定要先判定是直角三角形,再利用直角三角形的面积公式计算. 素养　思维提升　入境深探 【火眼金睛】(找错并纠正) 判断由长为,1,的三条线段组成的三角形是不是直角三角形. 【陷阱】没有比较三条线段的长度,直接代入公式计算. 【正解】设a=,b=1,c=, 所以a2+c2=+=1,b2=1, 所以a2+c2=b2, 所以这三条线段组成的三角形是直角三角形. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三” 学科网（北京）股份有限公司 $$