5. 4　二元一次方程与一次函数 学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

4　二元一次方程与一次函数 第1课时 　课时目标 1.了解二元一次方程与一次函数的关系.(模型观念、应用意识) 2.能从“数”和“形”两个角度理解二元一次方程和二元一次方程组.(几何直观、模型观念、抽象能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.二元一次方程与一次函数的关系是方程与函数之间的转换(由数到形),二元一次方程的解就是函数图象上的点的坐标,函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解. 1.如图,y=kx+b(k≠0)过点A(2,0)和点B(0,-1),则方程kx+b=0的解是(D) A.x=-1　 B.x=1 C.x=-2　 D.x=2 2.二元一次方程组与一次函数的关系 2.(1)一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P(1,2),则关于x,y的方程组的解是 　.  (2)如果一次函数y=x+1与一次函数y=kx+b平行,那么关于x,y的方程组的解的情况是　无解　.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　　二元一次方程与一次函数的关系(运算能力、抽象能力、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P128引入问题补充)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+1上,则常数b=(B) A. B.2 C.-1 D.1 举一反三 1.下列图形是以方程2x-y=2的解为坐标的点组成的图象的是(B) 2.如图,y=kx+6的图象经过点(3,0),则关于x的方程kx+6=0的解为　x=3　.  重点2　二元一次方程组与一次函数的关系(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P128操作·思考强化)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b). (1)求b的值. (2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解. (3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由. 【自主解答】(1)把P(1,b)代入y=x+1得b=1+1=2. (2)由(1)得P(1,2),所以方程组的解为. (3)直线l3:y=nx+m经过点P. 理由如下:因为y=mx+n经过点P(1,2), 所以m+n=2,所以直线y=nx+m也经过点P. 举一反三 1.如图,已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得关于x,y的二元一次方程组的解是(C) A. B. C. D. 2.如图,直线l1:y=x+5分别交y轴、x轴于A,B两点,直线l2:y=-x-1分别交y轴、x轴于C,D两点,直线l1,l2相交于点P. (1)方程组的解是__________;  (2)求直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积. 【解析】(1)因为直线l1:y=x+5和直线l2:y=-x-1都经过点(-4,1), 所以两条直线的交点为P(-4,1),所以方程组的解是 答案: (2)把y=0代入y=x+5,得x=-5,把y=0代入y=-x-1得x=-2, 所以B(-5,0),D(-2,0). 因为P(-4,1),所以直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积为×(-2+5)×1=. 素养　思维提升　入境深探 阅读理解 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十一” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4　二元一次方程与一次函数 第2课时 　课时目标 1.进一步理解二元一次方程与一次函数的联系,体会知识间的联系和相互转化.(模型观念、应用意识、几何直观) 2.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.(运算能力、应用意识、几何直观) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 1.设函数表达式为　y=kx+b　;  2.根据已知条件列出关于　k,b　的二元一次方程(组);  3.解方程(组)求出待定系数　k,b　的值;  4.把求出的　k,b　的值代入表达式中,从而写出函数表达式.  1.若直线y=kx+b经过A(2,0)和B(0,4)两点,则这个一次函数的关系式是(B)　 A.y=2x+3 B.y=-2x+4 C.y=-x+2 D.y=x-4 2.过点(2,3)的正比例函数表达式是　y=x　.  3.直线y=kx+b经过点A(1,-1)与点B(-1,5),则函数表达式为　y=-3x+2　.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　利用二元一次方程组确定一次函数的表达式(运算能力、几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P131T1拓展)如图,点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,0),过点C(-2,0)作直线l交AO于点D,交AB于点E,且使△ADE和△DCO的面积相等. (1)求△AOB的面积; (2)求直线l的函数表达式. 【自主解答】(1)因为点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,0), 所以S△AOB=×2×3=3. (2)因为△ADE和△DCO的面积相等,所以△AOB和△CBE的面积相等. 因为C(-2,0),B(2,0), 所以×4×yE=3, 所以点E的纵坐标为. 设直线AB的函数表达式为y=kx+b,点B(2,0),A(1,3)在直线AB上, 所以解得 所以直线AB的函数表达式为y=-3x+6. 将点E的纵坐标代入直线AB的函数表达式,得=-3x+6,解得x=, 所以E(,). 设直线l的函数表达式为y=mx+n,点E、点C在直线l上, 所以解得 所以直线l的函数表达式为y=x+. 举一反三 如图,正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3),一次函数图象与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B. (1)求一次函数表达式; (2)不解关于x,y的方程组直接写出方程组的解; (3)求△OBP的面积. 【解析】(1)因为正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3),所以-3m=3,则m=-1,所以P(-1,3). 把A(2,0)和P(-1,3)代入一次函数y=kx+b,得解得 所以一次函数表达式是y=-x+2. (2)由(1)可知,正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(-1,3), 所以方程组的解为 (3)由(1)知一次函数表达式是y=-x+2,令x=0,得y=2,即点B(0,2),所以OB=2,所以S△OBP=OB·|xP|=×2×1=1. 重点2　二元一次方程组与一次函数的实际应 用(运算能力、应用意识、模型观念、几何直观) 【典例2】(教材再开发·P133T7拓展)为了鼓励公民节约用电,某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.每户家庭每月电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数图象如图所示. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)若乙用户某月需缴电费132元,求乙用户该月的用电量. 【自主解答】(1)根据题中图象可得,当0≤x≤200时,设y=kx,则100=200k,解得k=0.5. 所以当0≤x≤200时,y=0.5x. 当x>200时,设y=mx+b, 则解得 所以当x>200时,y=0.8x-60. 综上可得,y与x之间的函数表达式是y= (2)将y=132代入y=0.8x-60得,x=240,即乙用户该月的用电量是240 kW·h. 举一反三 1.(2025·沈阳期中)在弹性限度内,某弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.该弹簧挂质量为3 kg物体时,弹簧长度为16 cm,挂质量为9 kg物体时,弹簧长度为19 cm,那么该弹簧不挂物体时的长度为(D) A.12 cm B.13.5 cm C.14 cm D.14.5 cm 2.(2025·深圳期中)如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为“指距”.研究表明,一般情况下人的身高y(cm)与指距x(cm)满足一次函数y=kx+b(k≠0).当人的身高为160 cm时,指距为20 cm;当人的身高为169 cm时,指距为21 cm.某篮球运动员的身高为226 cm,则据此估计他的指距是　27.3　cm.  (结果精确到0.1 cm) 技法点拨 用方程与函数解决实际问题 1.数学方法:数形结合的方法. 2.基本步骤: (1)分析题意中的等量关系或图象信息. (2)建立函数模型. (3)构造二元一次方程组求解. 素养　思维提升　入境深探 阅读材料 将平面直角坐标系中过某一定点且不与坐标轴垂直的直线叫该定点的“友好线”,若点P(1,0),则点P的“友好线”可记为y=k(x-1)(k≠0). 解决问题 (1)已知点A的“友好线”可记为y=kx-3k+,则点A的坐标为__________;  (2)若点(3,2)的“友好线”恰好经过点(1,1),求该“友好线”的函数表达式. 【解析】(1)因为y=kx-3k+=k(x-3)+,所以点A的坐标为(3,). 答案:(3,) (2)由题意可设点(3,2)的“友好线”的函数表达式为y=k(x-3)+2, 将点(1,1)代入y=k(x-3)+2得1=-2k+2,解得k=,所以该“友好线”的函数表达式为y=(x-3)+2. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十二” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4　二元一次方程与一次函数 第1课时 　课时目标 1.了解二元一次方程与一次函数的关系.(模型观念、应用意识) 2.能从“数”和“形”两个角度理解二元一次方程和二元一次方程组.(几何直观、模型观念、抽象能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.二元一次方程与一次函数的关系是方程与函数之间的转换(由数到形),二元一次方程的解就是函数图象上的点的坐标,函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解. 1.如图,y=kx+b(k≠0)过点A(2,0)和点B(0,-1),则方程kx+b=0的解是( ) A.x=-1　 B.x=1 C.x=-2　 D.x=2 2.二元一次方程组与一次函数的关系 2.(1)一次函数y=x+1与y=kx+b的图象交于点P(1,2),则关于x,y的方程组的解是 .  (2)如果一次函数y=x+1与一次函数y=kx+b平行,那么关于x,y的方程组的解的情况是 .  重点　典例研析　启思凝智 重点1　　二元一次方程与一次函数的关系(运算能力、抽象能力、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P128引入问题补充)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+1上,则常数b=( ) A. B.2 C.-1 D.1 举一反三 1.下列图形是以方程2x-y=2的解为坐标的点组成的图象的是( ) 2.如图,y=kx+6的图象经过点(3,0),则关于x的方程kx+6=0的解为 .  重点2　二元一次方程组与一次函数的关系(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P128操作·思考强化)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b). (1)求b的值. (2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解. (3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由. 举一反三 1.如图,已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得关于x,y的二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 2.如图,直线l1:y=x+5分别交y轴、x轴于A,B两点,直线l2:y=-x-1分别交y轴、x轴于C,D两点,直线l1,l2相交于点P. (1)方程组的解是__________;  (2)求直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积. 素养　思维提升　入境深探 阅读理解 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4　二元一次方程与一次函数 第2课时 　课时目标 1.进一步理解二元一次方程与一次函数的联系,体会知识间的联系和相互转化.(模型观念、应用意识、几何直观) 2.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.(运算能力、应用意识、几何直观) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 用待定系数法求函数表达式的一般步骤 1.设函数表达式为 ;  2.根据已知条件列出关于 的二元一次方程(组);  3.解方程(组)求出待定系数 的值;  4.把求出的 的值代入表达式中,从而写出函数表达式.  1.若直线y=kx+b经过A(2,0)和B(0,4)两点,则这个一次函数的关系式是( )　 A.y=2x+3 B.y=-2x+4 C.y=-x+2 D.y=x-4 2.过点(2,3)的正比例函数表达式是 .  3.直线y=kx+b经过点A(1,-1)与点B(-1,5),则函数表达式为 .  重点　典例研析　启思凝智 重点1　利用二元一次方程组确定一次函数的表达式(运算能力、几何直观、模型观念) 【典例1】(教材再开发·P131T1拓展)如图,点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,0),过点C(-2,0)作直线l交AO于点D,交AB于点E,且使△ADE和△DCO的面积相等. (1)求△AOB的面积; (2)求直线l的函数表达式. 举一反三 如图,正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3),一次函数图象与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B. (1)求一次函数表达式; (2)不解关于x,y的方程组直接写出方程组的解; (3)求△OBP的面积. 重点2　二元一次方程组与一次函数的实际应 用(运算能力、应用意识、模型观念、几何直观) 【典例2】(教材再开发·P133T7拓展)为了鼓励公民节约用电,某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.每户家庭每月电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数图象如图所示. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)若乙用户某月需缴电费132元,求乙用户该月的用电量. 举一反三 1.(2025·沈阳期中)在弹性限度内,某弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.该弹簧挂质量为3 kg物体时,弹簧长度为16 cm,挂质量为9 kg物体时,弹簧长度为19 cm,那么该弹簧不挂物体时的长度为( ) A.12 cm B.13.5 cm C.14 cm D.14.5 cm 2.(2025·深圳期中)如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为“指距”.研究表明,一般情况下人的身高y(cm)与指距x(cm)满足一次函数y=kx+b(k≠0).当人的身高为160 cm时,指距为20 cm;当人的身高为169 cm时,指距为21 cm.某篮球运动员的身高为226 cm,则据此估计他的指距是 cm.  (结果精确到0.1 cm) 技法点拨 用方程与函数解决实际问题 1.数学方法:数形结合的方法. 2.基本步骤: (1)分析题意中的等量关系或图象信息. (2)建立函数模型. (3)构造二元一次方程组求解. 素养　思维提升　入境深探 阅读材料 将平面直角坐标系中过某一定点且不与坐标轴垂直的直线叫该定点的“友好线”,若点P(1,0),则点P的“友好线”可记为y=k(x-1)(k≠0). 解决问题 (1)已知点A的“友好线”可记为y=kx-3k+,则点A的坐标为__________;  (2)若点(3,2)的“友好线”恰好经过点(1,1),求该“友好线”的函数表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $$