第5章 二元一次方程组（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册优选题练习卷（2024新教材）

2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第5章 二元一次方程组 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级下·山东东营·开学考试）如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数说法不正确的是（ ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若方程组无解，则图像不经过第 象限． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为，则直线的函数表达式是 ． 14．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶 ． 15．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为 ． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．小明同学将一台机器人的搬运时间（单位：）和投运货物的重量（单位：）记录如表： 搬运时间（单位：） 1 2 3 4 … 搬运化物的重量（单位：） 100 140 180 220 … 根据上述规律，请估计搬运时间为时搬运货物的重量为 ． 17．（24-25八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则的取值范围是 ． 18．（24-25八年级下·天津南开·期末）点在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴上，若的面积为5，则a的值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 20．（本题6分）（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，，， (1)在图中，作出关于x轴对称的图形 (2)请直接写出点的坐标是______，的坐标是______，是______． (3)在y轴上找到一点P，使的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置，并求出P点坐标． 21．（本题8分）（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）美丽服装店购进，两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果种服装按标价出售，种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 22．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． (1)每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ (2)素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 23．（本题8分）（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 24．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套（），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸不超过40套，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 25．（本题10分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为， 已知一次函数，请回答下列问题 (1)该一次函数的相关函数为___________． (2)已知点在该一次函数的相关函数的图象上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知点、，当线段与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时，直接写出的取值范围． 26．（本题10分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第5章 二元一次方程组 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25七年级下·山东东营·开学考试）如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一次函数与二元一次方程组等知识点，关键是能根据函数图象的交点解方程组． 观察函数的图象的交点即可求解． 【规范解答】解：通过直线交点， 方程组的解为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．将点代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可． 【规范解答】解：∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴此函数的解析式为：， A、∵当时，则，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； B、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【规范解答】解：把代入方程组得：， 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数说法不正确的是（ ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数图象与性质等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． 先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【规范解答】解：将点和代入，得： ，解得， 所以该一次函数的解析式为． A．当时，，图象与轴交于，故该选项正确，不符合题意； B．由，故随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； C．令，即，解得．因，当时，，故该选项正确，不符合题意； D．由，，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项错误，符合题意． 故选D． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质． 先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，则可对②进行判断；过D点作于H点，如图，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【规范解答】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线BC的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过D点作于H点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 故选：B 6．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路引导】本题考查了同解方程组，二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．解决本题的关键是根据题意打乱原方程组，构造新的方程组．由于x、y是两个方程组的公共解，所以适合组中的四个方程．先由方程组求得x、y的值，把x、y的值代入方程组求得n、m的值，最后判断点所在的象限即可． 【规范解答】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 7．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，轴对称问题． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【规范解答】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：A． 8．（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【规范解答】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 9．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式等，先根据一次函数解析式求出点的坐标，进而由勾股定理和折叠的性质求出，再利用勾股定理求出点的坐标，最后利用待定系数法解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式是， 故选：． 10．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若方程组无解，则图像不经过第 象限． 【答案】三 【思路引导】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像与系数的关系，解题的关键是求出k的值．根据两直线平行没有公共点得到，解得，则一次函数为，然后根据一次函数的性质解决问题即可． 【规范解答】解：∵方程组无解， ∴，解得， ∴一次函数为， ∵一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系（方程组的解是对应两函数图象的交点坐标），解题的关键是通过点在函数图象上求出交点坐标，进而得到方程组的解． 利用点A在上，求出m的值，确定交点A的坐标；根据交点坐标与方程组解的关系，得出方程组的解． 【规范解答】∵点是一次函数和的交点， ∴点A在上． 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． ∵二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象的交点坐标，\ ∴方程组的解为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟悉掌握一次函数解析式的求法是解题的关键． 利用周长分析出点的坐标，再利用待定系数法运算求解即可． 【规范解答】解：∵轴于，轴于， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为， ∴， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用． 设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废， 根据题意得：， 解得：， ∴（）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了两直线平行的问题，设出直线的解析式，代入点，求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：设直线的解析式为， ∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴线的解析式为． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．小明同学将一台机器人的搬运时间（单位：）和投运货物的重量（单位：）记录如表： 搬运时间（单位：） 1 2 3 4 … 搬运化物的重量（单位：） 100 140 180 220 … 根据上述规律，请估计搬运时间为时搬运货物的重量为 ． 【答案】340 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加40千克，据此可得y与x的函数关系式为，再将代入求解即可． 【规范解答】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加40千克， ∴y与x的函数关系式为， 当时，． 故答案为：340． 17．（24-25八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 本题考查了待定系数法，整点，熟练掌握待定系数法，整点的意义是解题的关键． 【规范解答】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， 故解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·天津南开·期末）点在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴上，若的面积为5，则a的值为 ． 【答案】1或 【思路引导】本题考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数的解析式等知识，全面分类、正确求解是解题的关键； 分四种情况，分别画出图形（如解析图），利用三角形面积间的关系列出方程求解即可． 【规范解答】解：当即时，此时轴， ∴当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：； 当A、B、C共线时，设的解析式为， 把点A、B的坐标代入得，解得， 则当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：（舍去）； 当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：（舍去）； 当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：； 综上，或 故答案为：1或． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． （1）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． 20．（本题6分）（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，，， (1)在图中，作出关于x轴对称的图形 (2)请直接写出点的坐标是______，的坐标是______，是______． (3)在y轴上找到一点P，使的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置，并求出P点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析，点P的坐标为 【思路引导】本题考查的是画轴对称图形，坐标与图形，求解一次函数的解析式以及一次函数与轴的交点坐标，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练地作图是解本题的关键． （1）分别作A，B，C关于x轴对称的点，再顺次连接得到即可， （2）确定，的坐标，然后利用割补法求出三角形的面积即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求点，再求的解析式即可确定点P的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作； （2）解：点的坐标是，的坐标是， ， 故答案为：，，； （3）解：如图作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所作； 这时点的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为． 21．（本题8分）（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）美丽服装店购进，两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果种服装按标价出售，种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【答案】(1)A种服装购进件，B种服装购进件． (2)美丽服装店一共可获利880元. 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及利润的计算，熟练掌握二元一次方程组的解法和利润的计算公式是解题的关键． （1）设A种服装购进件，B种服装购进件，根据数量关系和总价关系列出二元一次方程组求解． （2）先算出A、B两种服装各自的利润，A按标价出售，利润是标价减进价，B按标价8折出售，利润是售价减进价，然后将两者利润相加． 【规范解答】（1）解：设A种服装购进件，B种服装购进件． ， 由可得， 将代入， 得， ， ， ， 则． 答：A种服装购进件，B种服装购进件． （2）解：A种服装每件利润：（元）， 共15件，利润为（元）． B种服装标价160元，8折后的售价：（元）， 每件利润：（元）， 共10件，利润为（元）． 总利润：（元）． ∴美丽服装店一共可获利880元. 22．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． (1)每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ (2)素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 【答案】(1)每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元 (2)水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元，根据每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同，再建立方程组求解即可； （2）设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个，再建立一次函数求解即可． 【规范解答】（1）解：设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元， 根据题意，得 解得 答：每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元． （2）解：设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个 根据题意，得， ∵，． ∴w随m的增大而增大 ∵， ∴当时，w有最大值． 此时． 答：商场第二次进货时，水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个，可以获得最大利润. 23．（本题8分）（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 【答案】(1)1， (2)直线经过点M，理由见解析 (3)，16 【思路引导】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、求函数解析式、三角形的面积等知识点，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键． （1）把代入可得p的值，然后根据二元一次方程组的解为对应直线交点的坐标作答即可； （2）把点M的坐标代入，得到m、n的关系；然后把点P的坐标代入，并结合m、n的关系即可解答； （3）先运用待定系数法求得m、n的值即可确定函数解析式，再求出A点坐标，然后运用三角形的面积求解即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：； ∴两条直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为：． （2）解：直线经过点M，理由如下： ∵在直线上， ∴． 当时，， ∴直线经过点M． （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 24．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套（），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸不超过40套，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2) (3)购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【思路引导】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，在结合商家计划购进甲种剪纸不超过40套根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元， 根据题意，得 ， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 25．（本题10分）（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为， 已知一次函数，请回答下列问题 (1)该一次函数的相关函数为___________． (2)已知点在该一次函数的相关函数的图象上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知点、，当线段与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)该一次函数的相关函数的最大值为4，最小值为 (4) 【思路引导】本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．注意数形结合思想的运用． （1）根据相关函数的定义直接写出； （2）将点代入一次函数的相关函数求解即可； （3）根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值； （4）结合函数图象判断求解． 【规范解答】（1）解：根据相关函数的定义得： ， 故答案为：； （2）点在该一次函数的相关函数上， ∴点A在或上， ∴或， 解得：不符合题意舍去或， ∴ （3）当时，在上y随x的增大而增大， 当时，， 所以在上的最小值为， 同理：在上y随x的增大而减小， 所以的最大值为4， 综上：该相关函数的最大值为4，最小值为； （4）函数当时，； 函数当时，， 当时，； 点、，由题意画出图象如下： 线段与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时， 图中两条虚线刚好是直线与该一次函数的相关函数的图象相交的临界情况， 由图象易知，当直线与该一次函数的相关函数的图象只有一个交点时：． 故b的范围是：． 26．（本题10分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①；②存在最小值，且最小值为；不存在最大值 (3) 【思路引导】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，三角形三边关系等知识，有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点D的横坐标及点D在直线上，可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①求出点B的坐标，则可得的长度；由题意得，，由此即可求得m的值； ②连接，则，分别求出的长，则由可求得的最小值，此时在延长线上；对于，由于点P不与点C重合，不存在最大值； （3）由点P在直线上，则有，代入中得，则直线过定点；求出当直线分别过点B与点Q时的m的取值，即可确定m的范围． 【规范解答】（1）解：∵直线与经过点直线相交于点D，且点D的横坐标为4， ∴， 即； 把C、D两点坐标代入中，得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，令，则， 即， ∴； ∵，面积等于面积的一半， ∴， 即， ∴； ②如图，连接，则； ∵， ∴； 对于，令，则， ∴， 由勾股定理得：； ∵， 即， ∴的最小值为，此时在延长线上； ∵，点P与点C重合时，取得最大值，如图， 由题意知，点P与点C不重合， ∴不存在最大值； （3）解：∵点P在直线上， ∴， 把上式代入中，得， 当时，， ∴直线始终过定点； ∵， ∴， 即； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点Q时，则， 解得：或（舍去）； ∴； 但点P在线段上，则， ∴m的范围为． 第 1 页 共 16 页 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