4.4.3 两个一次函数的应用 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

4.4.3 两个一次函数的应用 核心素养目标 1.通过函数图象获取信息，能说出两个一次函数图象交点的实际意义，解决简单的实际问题； 2.通过比较不同的一次函数中k与b的意义，进一步培养数形结合意识，发展几何直观. 探究新知 探究.两个一次函数图象解答实际问题 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： （1）当销售量为2t时，销售收入=  元，销售成本=     元, 3000 2 000 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： (1)当销售量为2t时，销售收入=_______元， 销售成本=______元； (2)当销售量为6t时，销售收入=_______元， 销售成本=_______元； 2000 3000 6000 5000 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： (3)当销售量为_________时，销售收入等于销售成本； 两直线交点的意义： (1)几何意义：两直线交点是它们的公共点； (2)代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个解 析式. 4 t 你得到什么结论？ 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： (4)当销售量 ______ 时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量 ______ 时，该公司亏损（收入小于成本）； 你得到什么结论？ 大于4t 小于4t 利用图象比较函数值的方法:： (1)先找 坐标，交点处y1=y2； (2)再看 两侧，图象位于 的直线 . 交点 交点左右 上方 函数值较大 知识点：两个一次函数的应用 1. (1)两个函数图象的交点就是两条直线的________，两条直线的交点坐标同时满足两个函数的________，在交点处两函数值_______； (2)利用函数图象比较函数值时，先找交点坐标，交点处两函数值_______；再看交点左右两侧，图象位于_______的函数值大，图象位于_______的函数值小． 公共点 表达式 相等 相等 上方 下方 自学自研 2. A，B两地相距30千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速行驶，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程s(km)与行驶的时间t(h)的关系分别用图中直线l1，l2在第一象限的部分表示．根据图象回答下列问题： (1)两人出发时乙在甲前_____千米； (2)甲的速度为________，乙的速度为__________； (3)若设l2的表达式为s＝kt＋b，k表示 ____________，b表示__________________； (4)当他们行驶3 h，甲____追上乙． 30 20 km/h 10 km/h 乙车的速度 A，B两地的距离 能 【典例导引】 3. 【例1】(2025·深圳宝安区期中)如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发向各自目的地进发，如图是两人离A村的距离为y(km)与时间x(h)之间的不完整的关系图，则下列说法错误的是( ) A.乙先到A村 B．甲的速度为20 km/h C．乙的速度为40 km/h D．图中t的值3.5 D 导学导练 【变式训练】 4. 无人机甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10 s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的关系如图所示．下列说法错误的是( ) ①5 s时，两架无人机都上升了40 m； ②10 s时，两架无人机的高度差为20 m； ③10 s时，甲无人机距离地面的高度是60 m； ④乙无人机上升的速度为8 m/s. A.①②B．③④ C．①③④ D．①②③④ C 5. 【例2】一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1，y2关于x的函数图象如图所示． (1)根据图象直接写出y1，y2关于x的函数关系式； (2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间． 解：(1)设y1＝kx，则将(10，600)代入， 得600＝10k，解得k＝60，∴y1＝60x (0≤x≤10)， 设y2＝ax＋b，则将(0，600)代入，得b＝600， 将(6，0)代入y2＝ax＋600，得a＝－100， ∴y2＝－100x＋600 (0≤x≤6) (2)当两车相遇时，y1＝y2，即60x＝－100x＋600， 6. A，B两地相距80 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数，如图所示. (1)求s乙与t之间的表达式； (2)经过多长时间甲、乙两人相距10 km？ 解：(1)设s乙与t之间的表达式为s乙＝kt＋80 将点(1，60)代入上式并解得k＝－20， 故s乙与t之间的表达式为s乙＝－20t＋80 (2)由图可得s甲与t之间的表达式为s甲＝15t， 由题意得s乙－s甲＝±10，即－20t＋80－15t＝±10， 7. 【例3】 甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60 min.如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位：m)与气球上升时间x(单位：min)的函数图象． (1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数表达式； (2)当这两个气球的海拔高度相差15 m时，求上升的时间． 解：(1)设甲气球的函数表达式为y＝kx＋b， 乙气球的函数表达式为y＝mx＋n，分别将(0，5)和(0，15)代入， 得b＝5，n＝15， 分别将(20，25)代入，得25＝20k＋5，25＝20m＋15， 解得k＝1，m＝0.5， ∴甲气球的函数表达式为y＝x＋5(x≥0)， 乙气球的函数表达式为y＝0.5x＋15(x≥0) (2)由初始位置可得当x大于20时， 两个气球的海拔高度可能相差15 m， 且此时甲气球海拔更高， ∴x＋5－(0.5x＋15)＝15，解得x＝50， ∴当这两个气球的海拔高度相差15 m时，上升的时间为50 min 8. 在体育中考跑步训练中，体育老师安排男女生两人一组进行100米赛跑．男生一般比女生跑得快，所以把女生的起跑线往前划了10米，但同时发令起跑，男生甲和女生乙所跑的路程与时间的关系如图所示． (1)反映男生甲所跑路程s与时间t之间的关系的图象是____(填“l1”或“l2”)； (2)求l1的函数表达式； (3)男生甲和女生乙谁将赢得这场比赛？请说明理由； (4)男生甲出发_______s时，两人相距1 m. l2 9或11 解：(2)设l1的表达式为s1＝kt＋b，把(0，10)，(5，40)代入s1＝kt＋b， 解得k＝6，b＝10，∴s1＝6t＋10 (3)男生将赢．理由：当s1＝100时，6t＋10＝100，解得t＝15， 设l2的表达式为s2＝mt，把(5，35)代入s2＝mt，得35＝5m， ∴m＝7，∴l2的表达式是s2＝7t， 当s2＝100，7t＝100， 课堂小结 解得x＝ eq \f(15,4).∴当两车相遇时，客车行驶了 eq \f(15,4)小时 解得t＝2或 eq \f(18,7)，即经过2 h或 eq \f(18,7) h，甲、乙两人相距10 km ∴t＝ eq \f(100,7)，∵15> eq \f(100,7)，∴男生将赢得这场比赛 $$