4.3　一次函数的图象 学案 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

3　一次函数的图象 第1课时 课时目标 1.理解函数图象的概念,知道画函数图象的一般步骤.(抽象能力) 2.借助正比例函数的图象探究正比例函数的性质.(几何直观、模型观念) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.函数图象的画法 列表 列表,给出自变量x一个值,求出对应函数值y 描点 以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点 连线 将这些点依次连接起来 1.正比例函数y=-2x的图象经过点(-2, ).  2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象及性质 图象 一条过 的直线  性质 k>0时,y的值随着x值的增大而 ;  k<0时,y的值随着x值的增大而 2.(1)一次函数y=2x的图象是( ) A.直线 B.抛物线 C.线段 D.折线 (2)正比例函数y=kx(k>0)的图象大致是( ) 重点　典例研析　启思凝智 重点1　正比例函数的图象(几何直观) 【典例1】(教材再开发·P90尝试·思考强化) 已知三个函数的表达式分别为y1=x,y2=x,y3=2x. (1)如图,请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数; (2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数的图象特征. 【自主解答】(1)列表如下, x … 0 1 … y1 … 0 … y2 … 0 1 … y3 … 0 2 … 三个函数的大致图象,如图所示, (2)①三个函数的函数值y都随着x的增大而增大; ②三个函数的图象都经过(0,0); ③三个函数的图象都经过第一、三象限.(合理即可) 举一反三 1.正比例函数y=x的图象大致是( ) 2.画出下列正比例函数的图象: (1)y=4x;　(2)y=x;　(3)y=-x. 重点2　正比例函数的性质(模型观念、运算能力) 【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数. (1)若在函数中y随x的增大而减小,求m的值; (2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值. 举一反三 1.(2025·达州质检)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上两点,则下列说法正确的是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.当x1<x2时,y1>y2 D.当x1<x2时,y1<y2 2.已知正比例函数y=kx,当x=-1时,y=4. (1)求k的值; (2)当-2≤x≤3时,求y的取值范围. 素养　思维提升　入境深探 链接生活 生活中的正比例函数 3月22日是“世界水日”,联合国呼吁全世界关注和重视水资源.经常有家庭因为水龙头关闭不严造成漏水.下面的表格是某同学对漏水量与漏水时间的关系进行的调查. 时间t/min 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75 根据信息,回答问题: (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,并依次连接这些点; (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律,试求出y关于t的函数表达式; (3)请根据(2)中所求的函数表达式,估算这种漏水状态下一天的漏水量. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　一次函数的图象 第2课时 课时目标 借助一次函数的图象,探究并掌握一次函数的性质.(几何直观、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线,通常也称为直线y=kx+b. (2)画法:①两点法:画图时通常取两点(0, ), ( ,0),过这两点画直线即可;  ②平移法:一次函数y=kx+b的图象是一条 ,它可以看作由直线y=kx平移 个单位长度而得到(当b>0时,向 平移,当b<0时,向 平移).  1.(1)一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是( ) (2)将直线y=2x向下平移2个单位长度,平移后的直线关系式为 .  2.一次函数y=kx+b的性质 2.(1)若k<0,一次函数y=kx+2的图象大致是( ) (2)一次函数y=2x-1的图象经过第 象限.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　一次函数的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】如图,一次函数y=mx+n与y=x(m≠0,n≠0)在同一坐标系内的图象可能是( ) 举一反三 1.正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=x-k在同一个平面直角坐标系内的图象大致是( ) 2.函数y=ax+b-2的图象如图所示,则函数y=-ax-b的大致图象是( ) 重点2　一次函数的性质(模型观念、推理能力) 【典例2】已知(-2,y1)和(-3,y2)是一次函数y=-2x-5图象上的两个点,则y1,y2的大小关系是 .(用“>”连接)  举一反三 1.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是( ) A.图象必经过点(-2,1) B.图象经过第一、二、三象限 C.图象与直线y=-2x+3平行 D.y随x的增大而增大 2.已知直线y=-3x+m过点A(-1,y1)和点(-3,y2),则y1和y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 技法点拨 比较一次函数值大小的方法 直接法 把自变量的值代入表达式,求出函数值后,直接比较大小 性质法 根据k的正负,判断函数的增减性;由自变量的大小,比较函数值大小 图象法 画出函数图象,大致描出两个点,直观比较函数值大小 素养　思维提升　入境深探 难题拆解 已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,点B.求这条直线关于y轴对称的直线的函数关系式. 【层层剖析·清障碍】 拆解一:根据函数表达式可知,该一次函数与x轴的交点A的坐标为__________,与y轴的交点B的坐标为__________,由此可以画出函数的图象,如图:  拆解二:在平面直角坐标系中找到点A的对称点A'的坐标为__________,画出对称直线的图象.  【水到渠成·破难题】 由图象可知,该函数过点B,所以函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入得______________________, 解得______________________,  所以对称直线的函数表达式为__________________.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　一次函数的图象 第1课时 课时目标 1.理解函数图象的概念,知道画函数图象的一般步骤.(抽象能力) 2.借助正比例函数的图象探究正比例函数的性质.(几何直观、模型观念) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.函数图象的画法 列表 列表,给出自变量x一个值,求出对应函数值y 描点 以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点 连线 将这些点依次连接起来 1.正比例函数y=-2x的图象经过点(-2,　4　).  2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象及性质 图象 一条过　原点　的直线  性质 k>0时,y的值随着x值的增大而　增大　;  k<0时,y的值随着x值的增大而　减小　  2.(1)一次函数y=2x的图象是(A) A.直线 B.抛物线 C.线段 D.折线 (2)正比例函数y=kx(k>0)的图象大致是(D) 重点　典例研析　启思凝智 重点1　正比例函数的图象(几何直观) 【典例1】(教材再开发·P90尝试·思考强化) 已知三个函数的表达式分别为y1=x,y2=x,y3=2x. (1)如图,请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数; (2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数的图象特征. 【自主解答】(1)列表如下, x … 0 1 … y1 … 0 … y2 … 0 1 … y3 … 0 2 … 三个函数的大致图象,如图所示, (2)①三个函数的函数值y都随着x的增大而增大; ②三个函数的图象都经过(0,0); ③三个函数的图象都经过第一、三象限.(合理即可) 举一反三 1.正比例函数y=x的图象大致是(A) 2.画出下列正比例函数的图象: (1)y=4x;　(2)y=x;　(3)y=-x. 【解析】(1)当x=0时,y=0, 当x=1时,y=4,如图,描点后连线即可; (2)当x=3时,y=2,当x=0时,y=0,如图,描点后连线即可; (3)当x=0时,y=0,当x=3时,y=-2,如图,描点后连线即可. 重点2　正比例函数的性质(模型观念、运算能力) 【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数. (1)若在函数中y随x的增大而减小,求m的值; (2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值. 【自主解答】因为函数y=(m-1)是正比例函数,所以,解得m1=-2,m2=2. (1)因为在函数中y随x的增大而减小,所以m-1<0,所以m<1,所以m=-2; (2)因为函数的图象过第一、三象限,所以m-1>0,所以m>1,所以m=2. 举一反三 1.(2025·达州质检)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上两点,则下列说法正确的是(C) A.y1>y2 B.y1<y2 C.当x1<x2时,y1>y2 D.当x1<x2时,y1<y2 2.已知正比例函数y=kx,当x=-1时,y=4. (1)求k的值; (2)当-2≤x≤3时,求y的取值范围. 【解析】(1)把x=-1,y=4代入y=kx(k≠0),得k=-4. (2)由(1)可得正比例函数表达式为y=-4x,当x=-2时,y=-4x=-4×(-2)=8,当x=3时, y=-4x=-4×3=-12,因为-4<0,所以y随x的增大而减小, 所以当-2≤x≤3时,-12≤y≤8. 素养　思维提升　入境深探 链接生活 生活中的正比例函数 3月22日是“世界水日”,联合国呼吁全世界关注和重视水资源.经常有家庭因为水龙头关闭不严造成漏水.下面的表格是某同学对漏水量与漏水时间的关系进行的调查. 时间t/min 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75 根据信息,回答问题: (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,并依次连接这些点; (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律,试求出y关于t的函数表达式; (3)请根据(2)中所求的函数表达式,估算这种漏水状态下一天的漏水量. 【解析】(1)如图所示. (2)根据图象得,y是关于t的正比例函数,设函数表达式为y=kt(k≠0), 把(5,15)代入y=kt,得5k=15.解得k=3.所以y关于t的函数表达式为y=3t. (3)当t=60×24=1 440(min)时,y=3t=3×1 440=4 320(mL). 答:估计这种漏水状态下一天的漏水量为4 320 mL. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十一” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　一次函数的图象 第2课时 课时目标 借助一次函数的图象,探究并掌握一次函数的性质.(几何直观、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线,通常也称为直线y=kx+b. (2)画法:①两点法:画图时通常取两点(0,　b　), (　-　,0),过这两点画直线即可;  ②平移法:一次函数y=kx+b的图象是一条　直线　,它可以看作由直线y=kx平移　|b|　个单位长度而得到(当b>0时,向　上　平移,当b<0时,向　下　平移).  1.(1)一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是(D) (2)将直线y=2x向下平移2个单位长度,平移后的直线关系式为　y=2x-2　.  2.一次函数y=kx+b的性质 2.(1)若k<0,一次函数y=kx+2的图象大致是(C) (2)一次函数y=2x-1的图象经过第　一、三、四　象限.  重点　典例研析　启思凝智 重点1　一次函数的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】如图,一次函数y=mx+n与y=x(m≠0,n≠0)在同一坐标系内的图象可能是(C) 举一反三 1.正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=x-k在同一个平面直角坐标系内的图象大致是(D) 2.函数y=ax+b-2的图象如图所示,则函数y=-ax-b的大致图象是(C) 重点2　一次函数的性质(模型观念、推理能力) 【典例2】已知(-2,y1)和(-3,y2)是一次函数y=-2x-5图象上的两个点,则y1,y2的大小关系是　y2>y1　.(用“>”连接)  举一反三 1.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是(C) A.图象必经过点(-2,1) B.图象经过第一、二、三象限 C.图象与直线y=-2x+3平行 D.y随x的增大而增大 2.已知直线y=-3x+m过点A(-1,y1)和点(-3,y2),则y1和y2的大小关系是(B) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 技法点拨 比较一次函数值大小的方法 直接法 把自变量的值代入表达式,求出函数值后,直接比较大小 性质法 根据k的正负,判断函数的增减性;由自变量的大小,比较函数值大小 图象法 画出函数图象,大致描出两个点,直观比较函数值大小 素养　思维提升　入境深探 难题拆解 已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,点B.求这条直线关于y轴对称的直线的函数关系式. 【层层剖析·清障碍】 拆解一:根据函数表达式可知,该一次函数与x轴的交点A的坐标为__________,与y轴的交点B的坐标为__________,由此可以画出函数的图象,如图:  拆解二:在平面直角坐标系中找到点A的对称点A'的坐标为__________,画出对称直线的图象.  【水到渠成·破难题】 由图象可知,该函数过点B,所以函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入得______________________, 解得______________________,  所以对称直线的函数表达式为__________________.  【解析】【层层剖析·清障碍】 拆解一:当x=0时,y=2;当y=0时,x=-4,所以A(-4,0),B(0,2), 所以一次函数y=x+2的图象如图所示: 拆解二:因为点A(-4,0)关于y轴的对称点为A'(4,0), 所以直线y=x+2关于y轴对称的直线过点A',B, 所以函数图象如图所示. 【水到渠成·破难题】 由拆解二可知,直线y=x+2关于y轴对称的直线过点A',B, 所以设对称直线的函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入y=kx+2得4k+2=0,解得k=-,所以对称直线的函数表达式为y=-x+2. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十二” 学科网（北京）股份有限公司 $$