4.3 一次函数的图象（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

第四章 一次函数 4.3一次函数的图象 课标要点 1.结合新教材"操作·思考"描点画图活动，经历列表、描点、连线的完整作图过程，探索并确认一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是经过原点的一条直线。 2.能根据一次函数的表达式，用两点法画出其图象：一次函数通常取与坐标轴的交点、；正比例函数通常取和两点。 3.对比、、、等图象，探索并理解：，时随增大而增大，时，随增大而减小；该规律对一次函数与正比例函数同时适用。 4.理解的几何意义——直线与轴的交点纵坐标；正比例函数中，故图象必过原点。能根据、的符号判断直线经过的象限，也能由图象位置反推、的取值范围。 5.理解正比例函数图象与一次函数图象的关系：正比例函数图象是一次函数图象当时的特殊情形，二者图象平行时相同。 6.在探究图象性质的过程中，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，发展几何直观、运算能力、推理能力等核心素养。 学习重难点 重点： 1.理解一次函数的图象是一条直线、正比例函数的图象是经过原点的一条直线，掌握两点法画一次函数与正比例函数图象的方法与步骤。 2.结合图象探索并理解时随增大而增大、时随增大而减小的变化规律。 3.理解的几何意义，能根据、的符号判断直线经过的象限；明确正比例函数时图象过原点、仅过一、三象限或二、四象限。 难点： 1.从"描点连线得到直线"上升到理性认识一次函数与正比例函数的图象为什么是一条直线，完成从直观感知到逻辑确认的过渡。 2.综合、的符号判断图象经过的象限，尤其是、异号时图象不经过哪个象限的判断；区分正比例函数（必过原点）与一般一次函数在象限分布上的差异。 3.由图象特征逆向推导、的符号或取值范围，实现数与形的双向转化。 4.区分的符号（决定升降方向）与的大小（决定倾斜陡缓）两个不同维度；理解相同、不同时两条直线互相平行的关系。 知识点正比例函数的图象 定义：正比例函数（为常数，），属于的特殊一次函数，图象是经过原点的一条直线。 特别提醒 正比例函数图象一定经过原点，原点是固定必取点；作图一般选取 (0,0) 和 (1,k) 两点，计算简单。 易错提醒 误认为只要是一次函数就一定过原点，只有的正比例函数才过原点；只描原点一个点就画直线，一个点无法确定一条直线。 随学随练 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 4．关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 5．如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 6．已知函数经过点，则的值为______． 7．我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 知识点一次函数的图象 基本概念：一次函数（为常数，）的图象是一条直线，因此也把一次函数的图象称作直线。 特别提醒 依据“两点确定一条直线”，画一次函数图象只需要找到图象上两个点即可；自变量取全体实数时，直线向两端无限延伸，作图两端要出头。 易错提醒 不要把一次函数图象画成线段。只有在实际问题中自变量有取值限制时，图象才是线段或射线。 混淆函数解析式和直线名称：直线是图形，解析式是对应的代数表达式。 教材延伸 直线与轴交点：；与轴交点：，这两个交点是两点法作图首选定点。 随学随练 1．已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 知识点 系数对一次函数图象的影响 定义：在中，决定直线倾斜方向与倾斜程度： ①，直线从左向右上升，随的增大而增大； ②，直线从左向右下降，随的增大而减小； ③越大，直线越陡；越小，直线越平缓。 特别提醒 的正负控制升降；的大小控制陡缓，两个维度分开理解；增减性规律对一次函数、正比例函数全部适用。 易错提醒 误以为的数值越大直线越陡。例：，；，但，更陡；看到负数就认为函数值变大。判断增减看正负，不是看数字大小。 教材延伸 在实际应用题中，代表变化率，例如行程问题的速度、收费问题中单价；后续高中阶段，称为直线斜率。 随学随练 1．直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 2．已知函数，随着的增大而___________； 3．请写出一个函数随增大而增大的函数________． 4．函数中，y 随x的增大而______________ ． 知识点 系数对一次函数图象的影响 概念： 中， 是直线与轴交点的纵坐标，直线交轴于点 ，交于轴正半轴；，直线过原点；，交于轴负半轴。 特别提醒 只改变直线上下位置，不改变倾斜方向、不改变陡缓；求与轴交点，直接令 ，得到 。 易错提醒 把 当成交点完整坐标，交点坐标是 ， 只是纵坐标；误以为 会影响直线倾斜程度。 教材延伸 实际问题里， 代表初始基础量，例如套餐月租、初始距离；直线 可由 上下平移得到。 随学随练 1．直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．直线与y轴交点的坐标是________． 3．一次函数的图象与y轴交点坐标是________． 4．一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 5．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 知识点 的符号与直线经过象限的关系 定义：根据 的正负，判断直线 经过的象限： 1.：一、二、三象限；2.：一、三、四象限； 3.：一、二、四象限；4.：二、三、四象限； 5.：一、三象限（正比例函数）；6.：二、四象限（正比例函数）。 特别提醒 判断顺序：先看定升降，再看确定与y轴交点位置，综合判断象限。 易错提醒 ，容易误判不经过第四象限；实际不经过第二象限；混淆正比例函数与普通一次函数：正比例函数只经过两个象限； 的一次函数经过三个象限。 教材延伸 逆向题型：已知直线不经过某一象限，反推符号；是本章以及中考高频考点，常结合图象选择、参数取值考查。 随学随练 1．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 2．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 3．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象过点 B．图象经过一、二、三象限 C．若点，在该函数图象上，且，则 D．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 知识点两点法画一次函数（含正比例函数）图象 定义：在函数图象上选取两个点，描出点后过两点画直线，这种绘制一次函数图象的方法叫做两点法。 特别提醒 普通一次函数优先取坐标轴交点 、；正比例函数取 、；交点坐标不是整数时，更换坐标为整数的点。 易错提醒 求与x轴交点时令 ，解方程容易符号出错；描点之后只连接两点之间线段，直线两端没有延伸。 教材延伸 两点法的理论根基是平面几何公理“两点确定一条直线”，是数形结合思想的典型应用；当 ，两个坐标轴交点重合，必须另选一点。 随学随练 1．在同一平面直角坐标系中，画出一次函数，，，的图象，并指出每两个函数图象之间的位置关系． 2．分别在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并指出每小题中两条直线的位置关系： (1)与； (2)与． 3．分别在同一平面直角坐标系中画出（1）、（2）中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． (1)，，； (2)，，． 知识点7一次函数图象平移规律 定义：直线 可以看作由直线 上下平移 个单位得到：向上平移；向下平移。口诀：上加下减。 随学随练特别提醒 上下平移， 值保持不变，只有常数项改变，平移前后两条直线互相平行；“上加下减”针对解析式末尾常数项，区别于左右平移。 易错提醒 平移方向和加减号写反，向上平移是加，向下平移是减；误以为平移会改变的值。 教材延伸 拓展左右平移：左加右减（针对自变量）。向左平移个单位：；向右平移个单位：。 1．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 4．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 知识点8两条直线的位置关系 定义：设两条直线 ，；1.且：两直线互相平行；2.且：两直线重合；3.：两直线相交。 随学随练特别提醒 平行的条件两个条件缺一不可：相等，不相等。 易错提醒 只凭借 就判定平行，忽略 ，当相等时，两条直线重合，不是平行。 教材延伸 两条直线相交，交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，为下一节一次函数与二元一次方程学习铺垫。 1．已知直线，直线，则这两条直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直 2．下列直线中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 3．若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知一次函数的图象与直线平行，则__________． 5．已知一次函数的图象与直线平行，则______． 拓展一次函数的图象与几何直观 通过描点画图，将抽象的一次函数解析式转化为直观的直线图象，建立"数"与"形"的对应关系。在观察、对比不同、取值下直线位置变化的过程中，借助图形理解函数的增减性、象限分布和平移规律，形成用图形描述和分析数学问题的意识与能力。 素养拓展要点 1.能由解析式在头脑中快速浮现直线的大致位置（升降方向、与轴交点）。 2.能通过观察直线图象，直接读出、的符号和直线经过的象限。 3.能利用图象的直观性，比较两个一次函数的增减快慢、判断函数值的大小关系。 4.在实际问题中，能借助函数图象理解变量的变化趋势，用图形语言表达数量关系。 活学活用 1．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 2．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积；②根据图象，直接写出点坐标． 3．如图，在小正方形网格中建立平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），已知线段两个端点的坐标分别为． (1)画出线段关于x轴对称的线段，并分别写出点，点的坐标； (2)已知x轴上有一点，连接． ①当的值最小时，求m的值； ②直接写出的最小值． 拓展一次函数图象中的推理能力 从"描出的几个点在一条直线上"这一观察出发，通过归纳推理确认一次函数的图象是一条直线；通过对比与时图象的升降差异，演绎推理出函数的增减性规律；由、的符号逻辑推导图象经过的象限，发展合情推理与演绎推理相结合的思维能力。 素养拓展要点 1.能从多个具体函数图象中归纳出"一次函数图象是直线"的一般结论。 2.能由的符号推理出函数的增减性，并解释推理依据。 3.能由、的符号逐步推导直线经过的象限，做到每一步都有理由。 4.能由图象特征逆向推理、的取值范围，实现数形之间的逻辑互译。 活学活用 1．已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 2．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： 3．在种植某品种土豆的过程中，当钾肥和磷肥施用量恰当时，土豆的产量（吨/公顷）与氮肥施用量（千克/公顷）有以下关系： （千克/公顷） （吨/公顷） （千克/公顷） （吨/公顷） (1)试用图象表示上面的函数关系．（建议轴与轴采用的单位长度） (2)是否施用氮肥越多，土豆产量越高？ (3)要使土豆产量在吨/公顷以上，应怎样选择氮肥的施用量？ 题型正比例函数的图象 解题贴士 确定解析式中k的值，图象为经过原点的直线；选取原点(0,0)与点(1,k)两个点，描点连线即可画出图象。 ▌例1已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 ▌对点练1-2．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 题型利用正比例函数的性质比较大小 解题贴士 先判断k的正负，确定函数增减性；对比自变量x的大小，依据增减性直接判断对应y值大小。 ▌例1已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 ▌对点练1-2.若点，都在正比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 题型判断一次函数的图象 解题贴士 通过直线倾斜方向判断k符号，直线向上倾斜k＞0，向下倾斜k＜0；根据直线与y轴交点位置判断b符号，交点在y轴正半轴b＞0，负半轴b＜0，结合k、b匹配对应图象。 ▌例1在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 题型根据一次函数的解析式判断其经过的象限 解题贴士 找出解析式中k、b的正负，结合k、b符号组合，直接确定直线经过的象限。 ▌例1一次函数图象过（     ） A．一、二、三象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．二、三、四象限 ▌对点练1-1一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-2已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 题型根据一次函数图象经过的象限求参数的值 解题贴士 由图象经过的象限，推出k、b满足的不等关系，列出不等式组求解参数范围；注意一次函数要求k≠0。 ▌例1将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 ▌对点练1-2已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型求一次函数图象与坐标轴的交点 解题贴士 求与y轴交点时令x=0，计算对应的y值；求与x轴交点时令y=0，解方程求出x值，写出对应坐标。 ▌例1直线与轴的交点为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 题型7画一次函数图象 解题贴士 求出直线与x轴、y轴的两个交点，在坐标系描出两点，连接并延长得到直线。 ▌例1.在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． ▌对点练1-1“ 在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． ▌对点练1-2已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 题型8一次函数的平移问题 解题贴士 平移过程k保持不变；上下平移改变常数项b，左右平移替换解析式中的x，按平移规则改写函数表达式。 ▌例1.将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1 把直线：向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9一次函数图象与对称问题 解题贴士 记住三种对称变换的解析式变化规则，写出对称后的函数；也可取原直线上两点，求出两点对称点坐标，再代入求新解析式。 ▌例1.在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 ▌对点练1-1 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 ▌对点练1-2 若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 题型10一次函数的增减性 解题贴士 观察k的符号，k＞0，y随x增大而增大；k＜0，y随x增大而减小。 ▌例1.一次函数，y随x的增大而__________________． ▌对点练1-1 如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． ▌对点练1-2 已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） 题型11利用一次函数的增减性求参数 解题贴士 根据题目给出的增减情况，列出关于k的不等式，求解参数取值范围，保证k≠0。 ▌例1.若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 ▌对点练1-1 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 ▌对点练1-2 点在一次函数的图象上，若，则的取值可以是___________（写出一个即可）． ▌对点练1-3 已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 题型12比较一次函数值的大小 解题贴士 同一函数，直接利用增减性，由自变量大小比较函数值；两个不同一次函数，联立解析式求出交点横坐标，以交点为分界，分区间判断函数值大小。 ▌例1.若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 ▌对点练1-1 一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌对点练1-2 已知是直线 上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 ▌对点练1-3 一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为_______．（用“”连接） ▌对点练1-4 如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 题型13一次函数的规律问题 解题贴士 依次算出前几组点的坐标，观察横、纵坐标变化规律；识别等差变化特征，推导出通项表达式，代入序号计算结果。 ▌例1.正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． ▌对点练1-3 如图，正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点…和点…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是______． 基础通关 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 4．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 6．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．经过一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移1个单位得到 7．已知点，都在一次函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 8．写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 9．将函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是____________________． 10．直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 11．若点，都在一次函数的图象上，则______． 12．填空：直线经过点______、______． 13．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 14．在某超市中，西红柿的标价是6元/千克．购买西红柿，应付费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (2)请画出这个函数的图象． x …… 0 1 2 …… y …… 0 3 6 12 …… 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 素养提升 1．某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，是直线上的三点，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（     ） A．2 B． C．1 D． 5．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 6．物理学中，物体所受重力G（单位：N）与其质量m（单位：kg）的关系满足，其中g的值为常数，不同星球上的g值也不同．不同星球上的三个物体A，B，C的质量和所受重力之间的关系如图所示，假设A所在星球的g值为，B所在星球的g值为，C所在星球的g值为，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．在学习了物体质量与体积之间的关系后，老师给出了甲、乙、丙、丁四种液体，并让同学们根据物理学知识计算其密度，同学们用相关的物理仪器测量数据后，在如图所示的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象判断这四种液体中密度最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 9．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 10．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 11．如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 12．将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 13．暑假期间，舅舅开车带小明去旅游，6时40分从家出发，9时50分到达景点．小明每隔读一次计程器，记录下来，制成下表： 时刻 路程/ 时刻 路程/ 时刻 路程/ 时刻 路程/ 0 63 105 122 6 80 108 135 15 96 110 148 31 99 112 162 47 102 115 178 (1)从家到景点全程共有多少千米？汽车行驶了多长时间？ (2)画出行驶过程中路程随时间变化的函数图象． (3)汽车在哪个时间段内行驶得最快，在哪个时间段内行驶得最慢？ 14．如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时， ；此时，P的坐标是 ． (2)当时，求l的解析式： (3)若点M，N位于l的两侧，确定t的取值范围； (4)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 迁移创新 1．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 2．已知，，m为正整数．下列说法：其中正确的个数是（   ） ①始终大于； ②函数，点在该函数的图象上，若时，则； ③若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为1010或． A．0 B．1 C．2 D．3 3．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，；②当时，随的增大而增大；③点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．上述结论中，其中，正确结论的序号是__________． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是直线上一动点，连接，以为一边向逆时针方向作，，．点在轴上，坐标为，连接，当线段的长度最短时，点的坐标是______． 5．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 6．如图，在中，，，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x，点Q是射线上一点，，连接，设，． (1)求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在直角坐标系内画出，函数图象，结合和的函数图象，并描述出，图象的一条性质． (3)当时，求出x的取值范围（精确到）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 4.3一次函数的图象 课标要点 1.结合新教材"操作·思考"描点画图活动，经历列表、描点、连线的完整作图过程，探索并确认一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是经过原点的一条直线。 2.能根据一次函数的表达式，用两点法画出其图象：一次函数通常取与坐标轴的交点、；正比例函数通常取和两点。 3.对比、、、等图象，探索并理解：，时随增大而增大，时，随增大而减小；该规律对一次函数与正比例函数同时适用。 4.理解的几何意义——直线与轴的交点纵坐标；正比例函数中，故图象必过原点。能根据、的符号判断直线经过的象限，也能由图象位置反推、的取值范围。 5.理解正比例函数图象与一次函数图象的关系：正比例函数图象是一次函数图象当时的特殊情形，二者图象平行时相同。 6.在探究图象性质的过程中，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，发展几何直观、运算能力、推理能力等核心素养。 学习重难点 重点： 1.理解一次函数的图象是一条直线、正比例函数的图象是经过原点的一条直线，掌握两点法画一次函数与正比例函数图象的方法与步骤。 2.结合图象探索并理解时随增大而增大、时随增大而减小的变化规律。 3.理解的几何意义，能根据、的符号判断直线经过的象限；明确正比例函数时图象过原点、仅过一、三象限或二、四象限。 难点： 1.从"描点连线得到直线"上升到理性认识一次函数与正比例函数的图象为什么是一条直线，完成从直观感知到逻辑确认的过渡。 2.综合、的符号判断图象经过的象限，尤其是、异号时图象不经过哪个象限的判断；区分正比例函数（必过原点）与一般一次函数在象限分布上的差异。 3.由图象特征逆向推导、的符号或取值范围，实现数与形的双向转化。 4.区分的符号（决定升降方向）与的大小（决定倾斜陡缓）两个不同维度；理解相同、不同时两条直线互相平行的关系。 知识点正比例函数的图象 定义：正比例函数（为常数，），属于的特殊一次函数，图象是经过原点的一条直线。 特别提醒 正比例函数图象一定经过原点，原点是固定必取点；作图一般选取 (0,0) 和 (1,k) 两点，计算简单。 易错提醒 误认为只要是一次函数就一定过原点，只有的正比例函数才过原点；只描原点一个点就画直线，一个点无法确定一条直线。 随学随练 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 2．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴． 3．若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：根据图象得：函数的图象过一、三象限， ∴， ∴k的值可能为2． 4．关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、形如（为常数，）的函数是正比例函数，中，符合该形式，是正比例函数，结论正确； B、把代入，得，故函数图象不经过点，结论错误； C和D、∵， ∴函数图象经过第二、四象限，随的增大而减小，故C、D结论正确； 5．如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 【答案】增大 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴ ， 根据正比例函数的性质，当时，的值随着的值增大而增大． 6．已知函数经过点，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：函数经过点， 将，代入解析式得， 移项得 ， 合并同类项得， 系数化为得． 7．我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 【答案】甲 【分析】将图中甲、乙、丙、丁四个点与原点连接，根据题意，设，则拉力F是关于伸长量的正比例函数，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，作出辅助线， 根据题意，设， 则拉力F是关于伸长量的正比例函数， 由图象可知，且图象越陡， k越大 ， 所以弹性系数最大的是甲． 知识点一次函数的图象 基本概念：一次函数（为常数，）的图象是一条直线，因此也把一次函数的图象称作直线。 特别提醒 依据“两点确定一条直线”，画一次函数图象只需要找到图象上两个点即可；自变量取全体实数时，直线向两端无限延伸，作图两端要出头。 易错提醒 不要把一次函数图象画成线段。只有在实际问题中自变量有取值限制时，图象才是线段或射线。 混淆函数解析式和直线名称：直线是图形，解析式是对应的代数表达式。 教材延伸 直线与轴交点：；与轴交点：，这两个交点是两点法作图首选定点。 随学随练 1．已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征，确定k、b的符号，即可确定一次函数的增减性，与y轴交点的位置，匹配对应的图象． 【详解】∵点在第二象限， ∴，。 ∴一次函数，y随x的增大而减小；图象交y轴的正半轴上． ∴函数的图象过一、二、四象限． 2．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 3．两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 知识点 系数对一次函数图象的影响 定义：在中，决定直线倾斜方向与倾斜程度： ①，直线从左向右上升，随的增大而增大； ②，直线从左向右下降，随的增大而减小； ③越大，直线越陡；越小，直线越平缓。 特别提醒 的正负控制升降；的大小控制陡缓，两个维度分开理解；增减性规律对一次函数、正比例函数全部适用。 易错提醒 误以为的数值越大直线越陡。例：，；，但，更陡；看到负数就认为函数值变大。判断增减看正负，不是看数字大小。 教材延伸 在实际应用题中，代表变化率，例如行程问题的速度、收费问题中单价；后续高中阶段，称为直线斜率。 随学随练 1．直线经过点（0，_____）与点（_____，0），y随x的增大而_____ 【答案】 增大 【分析】将和代入求出直线经过点和点，然后根据得到y随x的增大而增大． 【详解】解：∵ ∴当时，； 当时，， 解得， 所以直线经过点和点， 因为， 所以y随x的增大而增大． 2．已知函数，随着的增大而___________； 【答案】 减小 【分析】根据一次函数一次项系数的符号即可判断随的变化趋势． 【详解】解：由，可得， ， 随着的增大而减小． 3．请写出一个函数随增大而增大的函数________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：对于一次函数，当 时，随的增大而增大. 令，，可得满足条件的函数为 . 4．函数中，y 随x的增大而______________ ． 【答案】减小 【详解】解：∵在函数中，， ∴y 随x的增大而减小， 故答案为：减小． 知识点 系数对一次函数图象的影响 概念： 中， 是直线与轴交点的纵坐标，直线交轴于点 ，交于轴正半轴；，直线过原点；，交于轴负半轴。 特别提醒 只改变直线上下位置，不改变倾斜方向、不改变陡缓；求与轴交点，直接令 ，得到 。 易错提醒 把 当成交点完整坐标，交点坐标是 ， 只是纵坐标；误以为 会影响直线倾斜程度。 教材延伸 实际问题里， 代表初始基础量，例如套餐月租、初始距离；直线 可由 上下平移得到。 随学随练 1．直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为，直线与y轴的交点在y轴上， ∴将代入，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 2．直线与y轴交点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为，因此将代入直线解析式，计算得到对应的纵坐标，即可得到直线与轴交点的坐标. 【详解】解：对于直线， 令，得， 因此直线与轴交点的坐标为. 3．一次函数的图象与y轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入一次函数解析式，即可求得纵坐标，得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上的点的横坐标都为， ∴将代入， 得， ∴一次函数的图象与y轴交点坐标是． 4．一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入一次函数解析式求出对应值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 5．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴上点的纵坐标为0，结合两函数与轴交点横坐标相等列等式求解． 【详解】解：在中，令，则，解得， 在中，令，则，解得， ∵两函数图象交轴于同一点， ∴， 整理得， ∴． 知识点 的符号与直线经过象限的关系 定义：根据 的正负，判断直线 经过的象限： 1.：一、二、三象限；2.：一、三、四象限； 3.：一、二、四象限；4.：二、三、四象限； 5.：一、三象限（正比例函数）；6.：二、四象限（正比例函数）。 特别提醒 判断顺序：先看定升降，再看确定与y轴交点位置，综合判断象限。 易错提醒 ，容易误判不经过第四象限；实际不经过第二象限；混淆正比例函数与普通一次函数：正比例函数只经过两个象限； 的一次函数经过三个象限。 教材延伸 逆向题型：已知直线不经过某一象限，反推符号；是本章以及中考高频考点，常结合图象选择、参数取值考查。 随学随练 1．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】由一次项系数确定函数增减性，结合特殊点坐标验证各选项正误． 【详解】解：A、∵一次项系数，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、当时，，∴函数图象与轴交于点，结论正确，不符合题意； C、当时，，∵随的增大而减小，∴当时，，结论错误，符合题意； D、∵一次项系数，常数项，∴直线经过第一、二、四象限，结论正确，不符合题意． 2．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【详解】解：已知一次函数为，可得，； 对A选项：∵，∴随的增大而减小，A错误； 对B选项：将代入解析式，得，∴图象不经过点，B错误； 对C选项：∵一次函数与的一次项系数相等，常数项不相等，∴两直线平行，C正确； 对D选项：∵，，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，D错误. 3．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象过点 B．图象经过一、二、三象限 C．若点，在该函数图象上，且，则 D．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数图象的平移规律，根据相关知识点逐一判断每个选项即可． 【详解】解：对于一次函数， 选项A：当时，，图象不过点，A错误； 选项B：， 图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，B错误； 选项C：，随的增大而减小，若，则，C错误； 选项D：根据一次函数平移规则，的图象向上平移3个单位长度得到的图象，D正确． 知识点两点法画一次函数（含正比例函数）图象 定义：在函数图象上选取两个点，描出点后过两点画直线，这种绘制一次函数图象的方法叫做两点法。 特别提醒 普通一次函数优先取坐标轴交点 、；正比例函数取 、；交点坐标不是整数时，更换坐标为整数的点。 易错提醒 求与x轴交点时令 ，解方程容易符号出错；描点之后只连接两点之间线段，直线两端没有延伸。 教材延伸 两点法的理论根基是平面几何公理“两点确定一条直线”，是数形结合思想的典型应用；当 ，两个坐标轴交点重合，必须另选一点。 随学随练 1．在同一平面直角坐标系中，画出一次函数，，，的图象，并指出每两个函数图象之间的位置关系． 【答案】 ，一次函数的图象与一次函数的图象平行，一次函数的图象与一次函数的图象平行，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直 【分析】先利用两点法画出四个一次函数的图象，再根据一次函数的性质判断位置关系． 【详解】解：函数图象见答案， 由函数图象可知，一次函数的图象与一次函数的图象平行，一次函数的图象与一次函数的图象平行，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直，一次函数的图象与一次函数的图象垂直 ． 2．分别在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并指出每小题中两条直线的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)如图：；两条直线位置关系为平行 (2)如图：；两条直线位置关系为相交 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 1 描点、连线，两个一次函数的图象，略； ∴两条直线位置关系为平行； （2）解：列表： 0 1 1 描点、连线，两个一次函数的图象，略； ∴两条直线位置关系为相交． 3．分别在同一平面直角坐标系中画出（1）、（2）中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，三个函数的图象互相平行 (2)，三个函数的图象相交于同一点 【详解】（1）解：对于函数， 当时，；当时，，解得， 则函数的图象经过点和； 对于函数， 当时，；当时，， 则函数的图象经过点和； 对于函数， 当时，；当时，，解得， 则函数的图象经过点和； 利用描点法画出三个函数的图象：略． 观察图象可知，三个函数的图象互相平行． （2）解：对于函数， 当时，；当时，，解得， 则函数的图象经过点和； 对于函数， 当时，；当时，，解得， 则函数的图象经过点和； 对于函数， 当时，；当时，，解得， 则函数的图象经过点和； 利用描点法画出三个函数的图象：略． 观察图象可知，三个函数的图象相交于同一点． 知识点7一次函数图象平移规律 定义：直线 可以看作由直线 上下平移 个单位得到：向上平移；向下平移。口诀：上加下减。 随学随练特别提醒 上下平移， 值保持不变，只有常数项改变，平移前后两条直线互相平行；“上加下减”针对解析式末尾常数项，区别于左右平移。 易错提醒 平移方向和加减号写反，向上平移是加，向下平移是减；误以为平移会改变的值。 教材延伸 拓展左右平移：左加右减（针对自变量）。向左平移个单位：；向右平移个单位：。 1．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 2．若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】一次函数的图像的平移规律为“左右平移，左加右减；上下平移，b上加下减”，据此求解即可．求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：一次函数的图像向右平移3个单位后，根据平移规律，该一次函数表达式变为，整理可得， ∵平移后的表达式为， ∴，解得． 3．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 4．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 【答案】 【分析】一次函数向上平移后，一次项系数不变，根据上下平移“上加下减”的规律计算常数项即可得到新解析式． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为，化简得． 知识点8两条直线的位置关系 定义：设两条直线 ，；1.且：两直线互相平行；2.且：两直线重合；3.：两直线相交。 随学随练特别提醒 平行的条件两个条件缺一不可：相等，不相等。 易错提醒 只凭借 就判定平行，忽略 ，当相等时，两条直线重合，不是平行。 教材延伸 两条直线相交，交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，为下一节一次函数与二元一次方程学习铺垫。 1．已知直线，直线，则这两条直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直 【答案】C 【分析】先判断出这两条直线不重合也不平行，再根据勾股定理判断是否垂直即可． 【详解】解：∵直线的，；直线的，； ∴，， 可得这两条直线不重合也不平行， ∴这两条直线相交， 当时，解得， 此时， 即这两条直线相交于， 当时，直线，直线， 即与y轴交于，与y轴交于， ∵， ∴这两条直线不垂直， 因此两条直线的位置关系是相交． 2．下列直线中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，两条直线平行的条件是：一次项系数相等，常数项不相等，据此对比各选项即可得出结果． 【详解】解：与直线平行的是 3．若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】一次函数图象平行的性质，两个一次函数图象平行时，一次项系数相等，据此列方程求解即可得到k的值． 【详解】∵ 一次函数与的图象平行， ∴ ， 解得， 又∵ 两函数中， ∴两图象不重合， 符合平行要求， ∴ k的值为1． 4．已知一次函数的图象与直线平行，则__________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中两条直线平行时，一次函数的自变量系数相等这一性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， 两个一次函数的自变量系数相等，可得． 5．已知一次函数的图象与直线平行，则______． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，两个一次函数的自变量系数相等，可得． 拓展一次函数的图象与几何直观 通过描点画图，将抽象的一次函数解析式转化为直观的直线图象，建立"数"与"形"的对应关系。在观察、对比不同、取值下直线位置变化的过程中，借助图形理解函数的增减性、象限分布和平移规律，形成用图形描述和分析数学问题的意识与能力。 素养拓展要点 1.能由解析式在头脑中快速浮现直线的大致位置（升降方向、与轴交点）。 2.能通过观察直线图象，直接读出、的符号和直线经过的象限。 3.能利用图象的直观性，比较两个一次函数的增减快慢、判断函数值的大小关系。 4.在实际问题中，能借助函数图象理解变量的变化趋势，用图形语言表达数量关系。 活学活用 1．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 2．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 3．如图，在小正方形网格中建立平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），已知线段两个端点的坐标分别为． (1)画出线段关于x轴对称的线段，并分别写出点，点的坐标； (2)已知x轴上有一点，连接． ①当的值最小时，求m的值； ②直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)①② 【分析】（1）根据要求画出点、关于x轴对称点，再读取点的坐标，即可作答． （2）①连接，求出直线的解析式为，再令时得出，即可作答． ②根据两点之间线段最短，的长度即为的最小值，再用勾股定理计算的长度． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求， ∴； （2）解：①作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最小的点． 设直线的解析式为 把代入， 得， 解得， 当时，则，解得 即当的值最小时，； ②观察网格特征得出； 即的最小值为． 拓展一次函数图象中的推理能力 从"描出的几个点在一条直线上"这一观察出发，通过归纳推理确认一次函数的图象是一条直线；通过对比与时图象的升降差异，演绎推理出函数的增减性规律；由、的符号逻辑推导图象经过的象限，发展合情推理与演绎推理相结合的思维能力。 素养拓展要点 1.能从多个具体函数图象中归纳出"一次函数图象是直线"的一般结论。 2.能由的符号推理出函数的增减性，并解释推理依据。 3.能由、的符号逐步推导直线经过的象限，做到每一步都有理由。 4.能由图象特征逆向推理、的取值范围，实现数形之间的逻辑互译。 活学活用 1．已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 【答案】(1)；；； (2)①A；；②B； 【分析】（1）根据一次函数表达式求出点的坐标及点的坐标，进而求出结论； （2）根据题意可得，，（其中为自然数），据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一次函数，当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； 当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； （2）解：①由（1）知：，，，，， 在中，当时，， ∴点的坐标是； 以此类推可得：，，（其中为自然数）， ∵， ∴点在直线上，其坐标为； ②∵， ∴点在轴上，其坐标为． 2．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 【答案】(1)①0；②或12 (2)如图所示： (3)①4；②函数的图象关于y轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确画出函数图象是解题的关键． （1）①代入x的值即可求出a；②把代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把代入，得， 故答案为：0； ②把代入，得， 解得或12， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 3．在种植某品种土豆的过程中，当钾肥和磷肥施用量恰当时，土豆的产量（吨/公顷）与氮肥施用量（千克/公顷）有以下关系： （千克/公顷） （吨/公顷） （千克/公顷） （吨/公顷） (1)试用图象表示上面的函数关系．（建议轴与轴采用的单位长度） (2)是否施用氮肥越多，土豆产量越高？ (3)要使土豆产量在吨/公顷以上，应怎样选择氮肥的施用量？ 【答案】(1)作图如下： (2)不是； (3)应将氮肥施用量控制在约千克/公顷到千克/公顷之间（结果合理即可）． 【分析】（1）作图过程：①建立平面直角坐标系，横轴表示氮肥施用量x（千克/公顷），纵轴表示土豆产量y（吨/公顷）；②按轴与轴单位长度代表的数值比为设定刻度，例如轴每1单位长度代表千克/公顷，轴每1单位长度代表吨/公顷；③根据表格数据依次描出各点：，，，，，，，，，；④用平滑曲线顺次连接各点，即得所求函数图象． （2）观察绘制出的函数图象，分析图象的增减变化情况，判断氮肥施用量与土豆产量之间的变化关系． （3）结合函数图象，找到纵坐标大于40对应的横坐标取值范围，确定氮肥施用量的选取区间． 【详解】（1）略 （2）解：不是，当氮肥施用量不超过千克/公顷时，氮肥施得越多，土豆产量越高；但当氮肥施用量超过千克/公顷后，随着氮肥量的增加，土豆产量降低． （3）解：如图，要使土豆产量在吨/公顷以上，应将氮肥施用量控制在约千克/公顷到千克/公顷之间（结果合理即可）． 题型正比例函数的图象 解题贴士 确定解析式中k的值，图象为经过原点的直线；选取原点(0,0)与点(1,k)两个点，描点连线即可画出图象。 ▌例1已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． ▌对点练1-1．正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数 中，当时函数的图象在一、三象限是解答此题的关键． 根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知，正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， 故选：C． ▌对点练1-2．四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 题型利用正比例函数的性质比较大小 解题贴士 先判断k的正负，确定函数增减性；对比自变量x的大小，依据增减性直接判断对应y值大小。 ▌例1已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】解：在函数中，，所以该函数随的增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． ▌对点练1-1.、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得该函数的增减性，再根据增减性可得对应函数值的大小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵、是正比例函数图像上的两点，且， ∴． ▌对点练1-2.若点，都在正比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】利用正比例函数的增减性比较与的大小，也可代入横坐标计算出函数值再比较大小． 【详解】解： 正比例函数中，比例系数， 随的增大而增大， 又点，的横坐标满足， ． 题型判断一次函数的图象 解题贴士 通过直线倾斜方向判断k符号，直线向上倾斜k＞0，向下倾斜k＜0；根据直线与y轴交点位置判断b符号，交点在y轴正半轴b＞0，负半轴b＜0，结合k、b匹配对应图象。 ▌例1在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像与之间的关系求解即可． 【详解】解：∵一次函数为， ∴一次项系数， ∴随的增大而增大，排除选项， ∵常数项， ∴一次函数图像与轴相交于负半轴． ▌对点练1-1在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． ▌对点练1-2两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，分别假设，，逐个图象分析，判断两条直线中k，b的正负是否一致即可． 【详解】解：A、假设，则过一、二、三象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，，两结论相矛盾，故本选项错误； B、假设，则过一、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，两结论相矛盾，故本选项错误； C、假设，过二、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，故本选项正确； D、假设，其中一条过一、二、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，两结论相矛盾，故本选项错误． 故选：C． ▌对点练1-3．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 题型根据一次函数的解析式判断其经过的象限 解题贴士 找出解析式中k、b的正负，结合k、b符号组合，直接确定直线经过的象限。 ▌例1一次函数图象过（     ） A．一、二、三象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．二、三、四象限 【答案】C 【分析】利用一次函数中和的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、四象限． ▌对点练1-1一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． ▌对点练1-2已知一次函数，若函数值y随自变量x的增大而增大，则该函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵一次函数中，函数值随自变量的增大而增大， ∴， ∴该函数图象必经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 题型根据一次函数图象经过的象限求参数的值 解题贴士 由图象经过的象限，推出k、b满足的不等关系，列出不等式组求解参数范围；注意一次函数要求k≠0。 ▌例1将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，最后选出符合范围的选项即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规则，向上平移个单位长度后，直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且， ∴， 解得， 四个选项中只有，符合要求． ▌对点练1-1函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一次函数经过第一、三、四象限，可得到一次项系数和常数项的符号，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴可得不等式组 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围是． ▌对点练1-2已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由直线经过点可得与的关系，再由直线不经过第三象限确定的取值范围，代入表达式，根据的范围求的范围． 【详解】直线经过点， ，即， 直线不经过第三象限， 且， ，即， ， 又 ， 当时，； 当时，， ∴． 故选：． 题型求一次函数图象与坐标轴的交点 解题贴士 求与y轴交点时令x=0，计算对应的y值；求与x轴交点时令y=0，解方程求出x值，写出对应坐标。 ▌例1直线与轴的交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则，解得， ∴直线与轴的交点为． ▌对点练1-1一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． ▌对点练1-2已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线变形，观察与直线的平移规律，得到点的平移规律即可． 【详解】解：∵直线， 即将直线向左平移 个单位长度得到直线， ∵直线与轴的交点坐标为， ∴将直线与轴的交点坐标向左平移 个单位长度得到坐标为． ▌对点练1-3如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． ． 题型7画一次函数图象 解题贴士 求出直线与x轴、y轴的两个交点，在坐标系描出两点，连接并延长得到直线。 ▌例1.在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 【答案】 和的图象如下图所示即为所求： 【详解】解：当时，；当时，，则为过和的直线； 当时，；当时，，，则为过和的直线，图象绘制如答图． ▌对点练1-1“ 在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 【答案】 【分析】一次函数的图象是直线，只需找出每个函数图象经过的两个点，利用两点法即可画出对应图象，符合初中一次函数图象的画法要求． 【详解】解 对于函数，当时，，得到点；当时，，得到点．在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为的图象． 对于函数，当时，，得到点；当时，代入解得，得到点．在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为的图象． ▌对点练1-2已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5； 如图； (2) 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 题型8一次函数的平移问题 解题贴士 平移过程k保持不变；上下平移改变常数项b，左右平移替换解析式中的x，按平移规则改写函数表达式。 ▌例1.将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数上下平移“上加下减”的规律求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为． ▌对点练1-1 把直线：向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出： ，逐个代入判断即可． 【详解】解：由题意得： ， A.当时，，所以不在直线上，故不符合题意； B.当时，，所以不在直线上，故不符合题意； C.当时，，所以在直线上，故符合题意； D.当时，，所以不在直线上，故不符合题意． ▌对点练1-2 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 题型9一次函数图象与对称问题 解题贴士 记住三种对称变换的解析式变化规则，写出对称后的函数；也可取原直线上两点，求出两点对称点坐标，再代入求新解析式。 ▌例1.在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． ▌对点练1-1 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． ▌对点练1-2 若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 题型10一次函数的增减性 解题贴士 观察k的符号，k＞0，y随x增大而增大；k＜0，y随x增大而减小。 ▌例1.一次函数，y随x的增大而__________________． 【答案】增大 【分析】本题考查了一次函数的增减性：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 直接利用一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大． 故答案为：增大． ▌对点练1-1 如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过点，可知函数图象经过第二象限，根据函数图象与轴的交点在原点右侧，可知函数图象经过第一象限，所以可知该函数图象经过第一、二、四象限，所以函数值随自变量的值增大而减小． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 函数图象经过第二象限， 函数图象与轴的交点在原点右侧， 函数图象经过第一象限， 一次函数的图象不经过第三象限， 该函数图象经过第一、二、四象限， 函数值随自变量的值增大而减小． 故答案为：减小． ▌对点练1-2 已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查了一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要先求出，然后根据，得到，然后即可求解． 【详解】解：把代入，得，， 把代入，得，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大． 故答案为：增大 题型11利用一次函数的增减性求参数 解题贴士 根据题目给出的增减情况，列出关于k的不等式，求解参数取值范围，保证k≠0。 ▌例1.若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性确定的符号，再由一次函数图象位置确定常数项的范围，综合即可得到的取值范围，验证各个选项即可． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而增大， ∴，排除为负数的A、B选项； ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴函数与轴的交点在原点或轴负半轴，即，解得； 综上所述，，选项中只有D选项的符合条件． ▌对点练1-1 已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，需分情况讨论，结合x的取值范围确定最小值对应的自变量后代入求解． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，不符合．∴舍去； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得 ， ∵，符合条件． ▌对点练1-2 点在一次函数的图象上，若，则的取值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，负数即可） 【分析】根据两点横坐标的大小关系与纵坐标的大小关系，结合一次函数的性质判断的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：点，在一次函数的图象上，且，， 随的增大而减小， ∴，即只要取小于的数都符合要求． 故的取值可以是（答案不唯一）． ▌对点练1-3 已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随的增大而增大， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数随的增大而减小， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得， 则的值为或． 题型12比较一次函数值的大小 解题贴士 同一函数，直接利用增减性，由自变量大小比较函数值；两个不同一次函数，联立解析式求出交点横坐标，以交点为分界，分区间判断函数值大小。 ▌例1.若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】根据一次项系数的符号确定函数增减性即可． 【详解】解：∵对任意实数m，， ∴， ∴函数中y随x的增大而增大， ∵， ∴． ▌对点练1-1 一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由得一次函数的增减性，结合图象过点的条件，根据判断各选项． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵ 函数图象过点， ∴ 当时，； 当时，； ∵， ∴若，则，，B成立； 若，可大于，，A不成立； 若，则，，C不成立； 若，可大于，，D不成立． ▌对点练1-2 已知是直线 上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：三个点横坐标分别为，满足，且已知， 对于直线，随的增大而减小， 可得． 又三个点横坐标大小关系为，且时随增大而减小， ． ▌对点练1-3 一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为_______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据得到函数的函数值随的增大而减小，结合已知得，从而进行判断即可． 【详解】解：一次函数中，， 函数的函数值随的增大而减小， 一次函数的图像过点，，，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记，随的增大而增大，，随的增大而减小，是解答本题的关键． ▌对点练1-4 如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 题型13一次函数的规律问题 解题贴士 依次算出前几组点的坐标，观察横、纵坐标变化规律；识别等差变化特征，推导出通项表达式，代入序号计算结果。 ▌例1.正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． 【答案】 【详解】解：∵，，，，， ∴，即点， ∵过点作轴的垂线分别与直线交于点， ∴点，，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． ▌对点练1-3 如图，正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点…和点…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是______． 【答案】 【详解】解：作轴于， 当时，，当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 四边形为正方形， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为， 当时，， 点的坐标为． 同理，点的纵坐标为． 同理，可知：点的坐标为， 点的纵坐标为． ， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：． 基础通关 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数 ，中一次项系数k，常数项b代表的几何意义分析图像特征进行选择． 【详解】解：一次函数中一次项系数为2，则y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，排除选项A，D；常数项为1，表示函数图像与y轴的交点在x轴上方，排除选项C．符合条件的图像为选项B． 2．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 3．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据解析式可得y随x的增大而增大，再根据两点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，且， ∴． 4．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式中、的符号，再判断图象经过的象限． 【详解】解：∵中，，， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，如图所示： ∴该函数图象不经过第三象限． 5．若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵原一次函数解析式为，需向上平移3个单位长度， 根据平移规律“上加下减”， ∴平移后所得图象的解析式为． 6．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．经过一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移1个单位得到 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故A正确； B、∵，∴随的增大而减小，故B错误； C、令，则，∴函数与轴的交点坐标为，故C错误； D、将的图象向下平移1个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 7．已知点，都在一次函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数的增减性即可比较和的大小． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大. ∵点，，且， ∴． 8．写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意当时，随增大而增大的要求，选择初中常见函数类型，确定参数即可得到符合要求的函数，答案不唯一． 【详解】解：选择一次函数进行构造，设函数表达式为，其中， ∵ 时，随的增大而增大， ∴ 一次项系数满足， ∴当，，即可得到符合条件的函数表达式， 本题答案不唯一，，等均满足题意． 9．将函数的图像向下平移个单位长度，所得图像对应的函数表达式是____________________． 【答案】 【分析】根据平移规律“上加下减、左加右减”即可解答． 【详解】解：原函数表达式为， ∵将图像向下平移个单位长度， ∴新函数表达式为，化简得． 10．直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 【答案】/ 【分析】将代入即可求出横坐标，得到点A的坐标． 【详解】解：∵直线， 令，得， 解得， ∴点A的坐标为． 11．若点，都在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴. 12．填空：直线经过点______、______． 【答案】 【详解】解：对于直线，当时，代入解析式得，解得；当时，代入解析式得， 综上所述，直线经过点、． 13．如图，直线l是一次函数的图象，若点在直线l上，则m的值是______． 【答案】0 【分析】直接根据图象即可得出结果. 【详解】解：由图象可知，直线l过点， 又点在直线l上， ∴. 14．在某超市中，西红柿的标价是6元/千克．购买西红柿，应付费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (2)请画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，y与x之间的函数关系式为； （2）解：列表 x …… 0 1 2 …… y …… 0 3 6 12 …… 然后在坐标系中描出点，再连线即可． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 素养提升 1．某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可． 【详解】解： 随的增大而增大， 一次项系数大于0，排除选项B，C， 对于，当时，， 的图象经过点，A选项符合题意； 对于，当时，，排除选项D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“一次函数中排除B和D，然后对分两种情况讨论即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴随的增大而增大，故B和D错误； 当时，直线与轴的正半轴相交，直线经过一三象限，故A错误； 当时，直线与轴的负半轴相交，直线经过二四象限，故C正确． 3．已知，，是直线上的三点，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的增减性，先根据一次函数的一次项系数判断y随x的变化规律，再比较三点横坐标的大小，即可推出纵坐标的大小关系； 【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而减小. ∵三个点的横坐标满足， ∴对应纵坐标满足； 4．如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将点坐标代入求出值，即可知道点坐标，利用其坐标在上先求出值即可求出该直线解析式，进而求出点坐标，即可知道距离，最后求出的面积． 【详解】解：在上， ， ， ． 在上， ， ， ， 在上， ， ， ． 的纵坐标是5，即是到轴距离， ． 5．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 6．物理学中，物体所受重力G（单位：N）与其质量m（单位：kg）的关系满足，其中g的值为常数，不同星球上的g值也不同．不同星球上的三个物体A，B，C的质量和所受重力之间的关系如图所示，假设A所在星球的g值为，B所在星球的g值为，C所在星球的g值为，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出，，的值，然后比较大小即可． 【详解】解：由图知：，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴． 7．在学习了物体质量与体积之间的关系后，老师给出了甲、乙、丙、丁四种液体，并让同学们根据物理学知识计算其密度，同学们用相关的物理仪器测量数据后，在如图所示的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象判断这四种液体中密度最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】由一次函数图象与性质判断即可． 【详解】解：根据正比例函数性质可知，图象越陡，值越大，在第一象限即值越大， 由可得，以体积为横坐标、质量为纵坐标，则就相当于正比例函数中的， 根据图象得知乙的图象最陡、其次是丙、丁和甲，即， 根据图象判断这四种液体中密度最大的是乙． 8．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，再利用两图象重合对应系数相等求出和的值，最后计算． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，平移后解析式为：， ∵平移后的图象与的图象重合， ∴， ：， ∴． 9．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据直线平移的规律得到平移后直线的解析式，将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴把，代入得， ∴． 10．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 【答案】 【分析】由函数图象可得，，，，再结合函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大，得出，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象可得，，，， ∵函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大， ∴， ∴． 11．如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 【答案】24 【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标，进而可求出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． ． 又点的坐标为， ， ． 12．将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，......，，（为正整数）， ∴点的横坐标为． 13．暑假期间，舅舅开车带小明去旅游，6时40分从家出发，9时50分到达景点．小明每隔读一次计程器，记录下来，制成下表： 时刻 路程/ 时刻 路程/ 时刻 路程/ 时刻 路程/ 0 63 105 122 6 80 108 135 15 96 110 148 31 99 112 162 47 102 115 178 (1)从家到景点全程共有多少千米？汽车行驶了多长时间？ (2)画出行驶过程中路程随时间变化的函数图象． (3)汽车在哪个时间段内行驶得最快，在哪个时间段内行驶得最慢？ 【答案】(1)从家到景点全程共，汽车行驶了3小时10分钟． (2) (3)汽车在时间段内行驶得最快，在时间段内行驶得最慢． 【详解】（1）解：由表格可得：从家到景点全程共，汽车行驶时间是，经过了3小时10分钟． （2）略 （3）解：行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； 行驶 ； ， 汽车在时间段内行驶得最快，在时间段内行驶得最慢． 14．如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线也随之移动，设移动时间为t秒． (1)当时， ；此时，P的坐标是 ． (2)当时，求l的解析式： (3)若点M，N位于l的两侧，确定t的取值范围； (4)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【答案】(1)2； (2) (3)； (4)当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； （3）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围； （4）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出中点坐标，最后分别求出时间t的值． 【详解】（1）解：当时，， 则， ∴点P的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为，代入， ∴， ∴直线l的表达式为：； （3）解：当直线l过点M时， 将代入直线l的表达式：得：， 解得：， ∴； 当直线l过点N时，同理可得：， 故t的取值范围为：； （4）解：如图，过点M作，交y轴于点F，交x轴于点E，设点E、F分别为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作轴于点D，则，． 对于直线， ∵当时，；当时，， ∴直线l与坐标轴的夹角为， ∴， ∴与均为等腰直角三角形， ∴， ∴，． ∵，， ∴线段中点坐标为， 直线过点，则， 解得：， ∴； ∵，， ∴线段中点坐标为． 直线过点，则， 解得：， ∴． 故点M关于l的对称点，当时，落在y轴上，当时，落在x轴上． 迁移创新 1．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】证明，得到，进而得到，进而画出的图象，分和两种情况，利用图象法，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出的图象如图， ∵当与点重合时，，当点与点重合时，， ∴是过和的曲线， 由图象可知，当时，，当时，， 即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或. 2．已知，，m为正整数．下列说法：其中正确的个数是（   ） ①始终大于； ②函数，点在该函数的图象上，若时，则； ③若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为1010或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法，代数式求值，不等式的应用，先计算，再结合为正整数的条件，依次验证三个说法即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ m为正整数， ∵， ∴， ∴， ①正确； ∵， 当时，， ②正确； ∵， ∴，为正整数， ∴整数n有且只有4个， ∴不等式整理为， ∵满足条件的整数n有且只有4个，即整数n的取值为， ∴， 解得， ∵ m是正整数， 因此m只有一个值为1010， ③错误； 综上，正确的说法共2个， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，；②当时，随的增大而增大；③点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．上述结论中，其中，正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】结合函数图象逐个分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：当时，或，故①错误； 由图可知，当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， ∴点M在一次函数的图象上， 如图： 由图象可得，有3个交点， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③正确； 由条件可知将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②③④． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是直线上一动点，连接，以为一边向逆时针方向作，，．点在轴上，坐标为，连接，当线段的长度最短时，点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：令，则， 解得，令，则， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在的射线上， ∴当时，线段的长度最短，此时是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点的坐标是． 5．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 【答案】(1)； (2)2；4 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可； （2）根据函数解析式，得出m、n的值即可； （3）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （4）把分别代入和，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵E为的中点， ∴， 当时，点P在上，，则： ； 当时，点P在上，，则： ； （2）解：把代入得：，即； ∵时，函数解析式为， ∴时，，即； （3）解：函数图象，如图所示： （4）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； 综上，当或时，． 6．如图，在中，，，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x，点Q是射线上一点，，连接，设，． (1)求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在直角坐标系内画出，函数图象，结合和的函数图象，并描述出，图象的一条性质． (3)当时，求出x的取值范围（精确到）． 【答案】(1)，； (2) 根据题意，画图象如下： 当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一，合理即可） (3) 【分析】（1）根据图形的面积，结合题意求解即可； （2）根据画图象的基本步骤，结合图象写一条性质即可； （3）结合图象分析，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 当时，， 当时，， 即，； （2）略 （3）解：由图象可得，当时，x的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $