4. 2　认识一次函数 学案 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

2　认识一次函数 第1课时 课时目标 理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系,能根据条件写出一次函数表达式.(抽象能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.“均匀”变化:一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是相同的. 2.一次函数的定义 对于两个变量x,y间的对应关系 一次 函数 形如y=　kx+b　(k,b为常数,k≠0)的函数  正比例 函数 形如y=　kx　(k为常数,k≠0)的函数  正比例函数是特殊的一次函数,即b=0 1.下列函数中,是一次函数的是(B) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是(A) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x 重点　典例研析　启思凝智 重点1　“均匀”变化现象(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P80操作·思考强化)漏刻是中国古代的一种计时工具.中国最早的漏刻出现在夏朝时期,在宋朝时期,中国漏刻的发展达到了巅峰,其精确度和稳定性得到了极大的提高.漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间.水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶,再均匀地流入最下方的箭壶,使得壶中有刻度的小棍匀速升高,从而取得比较精确的时刻.某学习小组复制了一个漏刻模型,研究中发现小棍露出的部分y(厘米)是时间x(分钟)的一次函数,且当时间x=0分钟时,y=2厘米.表中是小明记录的部分数据,其中有一个y的值记录错误. x(分钟) … 10 20 30 40 y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为y的值记录错误的数据是_____;  (2)利用正确的数据确定函数表达式; (3)当小棍露出部分为8厘米时,对应的时间为多少? 【自主解答】(1)因为=,=,=, 所以y的值记录错误的数据是3.6. 答案:3.6 (2)由表格可知,x每增加10分钟,y增加0.6厘米,所以=, 所以y与x的表达式为y=x+2. (3)将y=8代入y=x+2得:x+2=8,解得x=100. 答:对应的时间是100分钟. 举一反三 在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系.设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=115时,y的值为(C) 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A.85 B.75 C.65 D.55 重点2　一次函数的概念(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P81定义强化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2. (1)当m为何值时,y是关于x的一次函数? (2)当m,n为何值时,y是关于x的正比例函数? 【自主解答】(1)当|m|-2=1,m-3≠0时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函数, 所以m=-3,所以当m=-3时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函数; (2)当|m|-2=1,m-3≠0,n-2=0时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函数, 所以m=-3,n=2, 所以当m=-3,n=2时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函数. 举一反三 1.下列函数为一次函数的为(C) ①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x. A.②④ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①② 2.(2025·西安期中)已知关于x的函数y=(m+1)x|m|+n-3. (1)当m取何值时,该函数是关于x的一次函数? (2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数? 【解析】(1)由题意知:|m|=1,m+1≠0, 所以m=1,即当m=1时,该函数是关于x的一次函数; (2)由(1)知,m=1,由题意知:n-3=0,所以n=3,即当m=1,n=3时,该函数是关于x的正比例函数. 技法点拨 判断两个变量是否为一次函数关系的三个步骤 重点3　列一次函数解决实际问题(模型观念、运算能力) 【典例3】(教材再开发·P82例2深化)一天老王骑摩托车外出旅游,以60 km/h的速度匀速行驶,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L. (1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围. (2)当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米? 【自主解答】(1)Q=9-1.5t, 由9-1.5t=0,得到t=6, 故t的取值范围为0≤t≤6. (2)由3=9-1.5t,得t=4. 于是s=vt=60×4=240(km). 答:老王行驶了240 km. 举一反三 　汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式及自变量的取值范围是(A) A.S=120-30t(0≤t≤4) B.S=30t(0≤t≤4) C.S=120-30t(t>0) D.S=30t(t=4) 技法点拨 列一次函数关系式的三个步骤 1.找:找题目中的等量关系(有时直接将公式当作等量关系). 2.列:用字母表示自变量、因变量,并根据等量关系列出等式. 3.变形:将等式变形为一次函数的一般形式,即y=kx+b或y=kx. 素养　思维提升　入境深探 【火眼金睛】(找错并纠正) 函数y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数,求k的值. 【陷阱】忽视一次函数表达式y=kx+b中k≠0的条件. 【正解】因为y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数, 所以k2-9=0且k+3≠0,解得k=3. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 十九” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　认识一次函数 第2课时 课时目标 1.理解分段函数的特点,能根据实际问题写出分段函数的表达式.(模型观念) 2.知道分段函数在自变量不同取值范围内的实际意义,并能解决相关实际问题.(应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 分段函数 1.定义:在自变量的不同取值范围内的函数表达式有不同的形式. 2.实质:分段函数其实就是函数受 影响而形成的同一条件下的不同函数表达式.  　向最大容量为60升的热水器内注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是( ) 重点　典例研析　启思凝智 重点1　一次函数的应用——分段函数 【典例1】(教材再开发·P83例3拓展)某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成分段函数关系:当0≤x≤150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成一次函数关系,如表: 行驶路程x/千米 0 24 48 72 … 蓄电池剩余电量y/千瓦时 60 56 52 48 … 当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110. (1)根据表格中的数据求0≤x≤150时,y与x的函数关系式; (2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程. 举一反三 某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下列问题: (1)出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数表达式. (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程. 技法点拨 表达式法表示分段函数的注意点 (1)分段函数是一个函数,而非多个函数,其自变量在不同范围内表达式不同; (2)表示函数关系的表达式,每一段后面必须加上自变量的取值范围. 重点2　一次函数的应用——方案问题 【典例2】(2025·咸阳质检)“生活即教育,行为即课程.”某校将劳动教育融入立德树人全过程,学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木,以及清理校园周边环境卫生等,学校现要购买劳动工具,学校与农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送货上门. 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 12.5元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具,按方案一购买的付款总金额为y1元,按方案二购买的付款总金额为y2元. (1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式; (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具,请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多? 举一反三 春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具( ) 运输 工具 运输单位 (元/吨· 千米) 冷藏单位 (元/吨· 小时) 过路 费(元) 装卸及 管理 费(元) 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1 600 A.当运输货物重量为60吨时,选择汽车 B.当运输货物重量大于50吨时,选择汽车 C.当运输货物重量小于50吨时,选择火车 D.当运输货物重量大于50吨时,选择火车 素养　思维提升　入境深探 趣味数学 寻宝游戏中的分段函数 一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成,如图1所示.为记录寻宝者的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能是什么? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　认识一次函数 第2课时 课时目标 1.理解分段函数的特点,能根据实际问题写出分段函数的表达式.(模型观念) 2.知道分段函数在自变量不同取值范围内的实际意义,并能解决相关实际问题.(应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 分段函数 1.定义:在自变量的不同取值范围内的函数表达式有不同的形式. 2.实质:分段函数其实就是函数受　自变量的取值范围　影响而形成的同一条件下的不同函数表达式.  　向最大容量为60升的热水器内注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是(D) 重点　典例研析　启思凝智 重点1　一次函数的应用——分段函数 【典例1】(教材再开发·P83例3拓展)某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成分段函数关系:当0≤x≤150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成一次函数关系,如表: 行驶路程x/千米 0 24 48 72 … 蓄电池剩余电量y/千瓦时 60 56 52 48 … 当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110. (1)根据表格中的数据求0≤x≤150时,y与x的函数关系式; (2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程. 【自主解答】(1)由题意可知,行驶路程每增加24千米,蓄电池剩余电量减少4千瓦时, 所以每行驶1千米所消耗的电量为=千瓦时,所以0≤x≤150时y与x的函数关系式为y=60-x. (2)因为当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110,所以当y=0时,-x+110=0,解得x=220. 答:该电动汽车充满电后能行驶的最大里程为220千米. 举一反三 某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下列问题: (1)出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数表达式. (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程. 【解析】(1)由图象可知,出租车的起步价是8元.当x>3时,x每增加2 km,y增加4元,所以y=2x+2. (2)当y=32时,2x+2=32,解得x=15. 答:这位乘客乘车的里程是15 km. 技法点拨 表达式法表示分段函数的注意点 (1)分段函数是一个函数,而非多个函数,其自变量在不同范围内表达式不同; (2)表示函数关系的表达式,每一段后面必须加上自变量的取值范围. 重点2　一次函数的应用——方案问题 【典例2】(2025·咸阳质检)“生活即教育,行为即课程.”某校将劳动教育融入立德树人全过程,学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木,以及清理校园周边环境卫生等,学校现要购买劳动工具,学校与农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送货上门. 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 12.5元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具,按方案一购买的付款总金额为y1元,按方案二购买的付款总金额为y2元. (1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式; (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具,请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多? 【自主解答】(1)由题意得:y1=12.5x+50,y2=15x. (2)当y1=900时,12.5x+50=900,解得:x=68,当y2=900时,15x=900,解得x=60,因为68>60,所以学校选择方案一购买的劳动工具较多. 举一反三 春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具(D) 运输 工具 运输单位 (元/吨· 千米) 冷藏单位 (元/吨· 小时) 过路 费(元) 装卸及 管理 费(元) 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1 600 A.当运输货物重量为60吨时,选择汽车 B.当运输货物重量大于50吨时,选择汽车 C.当运输货物重量小于50吨时,选择火车 D.当运输货物重量大于50吨时,选择火车 素养　思维提升　入境深探 趣味数学 寻宝游戏中的分段函数 一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成,如图1所示.为记录寻宝者的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能是什么? 【解析】观察题图2得:该函数关系为一个分段函数,寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越近,到达M后再越来越远,结合题图1得:寻宝者的行进路线可能为A→B. 课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 二十” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2　认识一次函数 第1课时 课时目标 理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系,能根据条件写出一次函数表达式.(抽象能力、应用意识) 基础　主干落实　筑牢根基 新知要点 对点小练 1.“均匀”变化:一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是相同的. 2.一次函数的定义 对于两个变量x,y间的对应关系 一次 函数 形如y= (k,b为常数,k≠0)的函数  正比例 函数 形如y= (k为常数,k≠0)的函数  正比例函数是特殊的一次函数,即b=0 1.下列函数中,是一次函数的是( ) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x 重点　典例研析　启思凝智 重点1　“均匀”变化现象(抽象能力) 【典例1】(教材再开发·P80操作·思考强化)漏刻是中国古代的一种计时工具.中国最早的漏刻出现在夏朝时期,在宋朝时期,中国漏刻的发展达到了巅峰,其精确度和稳定性得到了极大的提高.漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间.水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶,再均匀地流入最下方的箭壶,使得壶中有刻度的小棍匀速升高,从而取得比较精确的时刻.某学习小组复制了一个漏刻模型,研究中发现小棍露出的部分y(厘米)是时间x(分钟)的一次函数,且当时间x=0分钟时,y=2厘米.表中是小明记录的部分数据,其中有一个y的值记录错误. x(分钟) … 10 20 30 40 y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为y的值记录错误的数据是_____;  (2)利用正确的数据确定函数表达式; (3)当小棍露出部分为8厘米时,对应的时间为多少? 举一反三 在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系.设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=115时,y的值为( ) 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A.85 B.75 C.65 D.55 重点2　一次函数的概念(模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P81定义强化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2. (1)当m为何值时,y是关于x的一次函数? (2)当m,n为何值时,y是关于x的正比例函数? 举一反三 1.下列函数为一次函数的为( ) ①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x. A.②④ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①② 2.(2025·西安期中)已知关于x的函数y=(m+1)x|m|+n-3. (1)当m取何值时,该函数是关于x的一次函数? (2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数? 技法点拨 判断两个变量是否为一次函数关系的三个步骤 重点3　列一次函数解决实际问题(模型观念、运算能力) 【典例3】(教材再开发·P82例2深化)一天老王骑摩托车外出旅游,以60 km/h的速度匀速行驶,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L. (1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围. (2)当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米? 举一反三 　汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式及自变量的取值范围是( ) A.S=120-30t(0≤t≤4) B.S=30t(0≤t≤4) C.S=120-30t(t>0) D.S=30t(t=4) 技法点拨 列一次函数关系式的三个步骤 1.找:找题目中的等量关系(有时直接将公式当作等量关系). 2.列:用字母表示自变量、因变量,并根据等量关系列出等式. 3.变形:将等式变形为一次函数的一般形式,即y=kx+b或y=kx. 素养　思维提升　入境深探 【火眼金睛】(找错并纠正) 函数y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数,求k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$