专题05 实数运算、平方根、立方根与二次根式100道计算题专项训练（14大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

第05讲 实数运算、平方根、立方根与二次根式100道计算题专项训练（14大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 实数的规律计算题 题型三 实数的新定义运算 题型四 无理数的估算 题型五 平方根、平方根方程 题型六 立方根、立方根方程 题型七 平方根、立方根的结合的文字计算题 题型八 平方根、立方根的规律探索题 题型九 二次根式的加减计算 题型十 二次根式的乘除计算 题型十一 二次根式的混合运算 题型十二 二次根式的化简求值 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）计算：． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·阶段练习）计算： (1) (2) 7．（24-25七年级下·天津·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算 (1) (2) 【经典计算题二 实数的规律计算题】 9．（24-25七年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 11．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 12．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 13．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 14．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 15．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 16．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【经典计算题三 实数的新定义运算】 17．（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 18．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 19．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 20．（24-25七年级下·吉林延边·期中）（1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，_____； （2）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数，例如可将化为，再由近似公式得到．利用此公式计算的近似值． 21．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 22．（24-25七年级上·山东泰安·期末）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 24．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【经典计算题四 无理数的估算】 25．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 26．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 27．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的小数部分． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 29．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 30．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 31．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 32．（24-25七年级下·福建福州·期中）小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【经典计算题五 平方根、平方根方程】 33．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 34．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）求下列各式的值： (1)． (2)． 35．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 36．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）计算：． 37．（24-25七年级下·天津河西·阶段练习）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 38．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)． 40．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）求下列各式中的x值． (1) (2) 【经典计算题六 立方根、立方根方程】 41．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）计算：； 42．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 43．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）解下列方程． (1)； (2)． 44．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）求下列各式中实数的值． (1)； (2)． 45．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）求下列各式中的x． (1) (2) 46．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 47．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知，，求的值． 48．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算： (1) (2) 【经典计算题七 平方根、立方根的结合的文字计算题】 49．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 50．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 51．（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）一个正数m的两个平方根分别为和，求m，n的值以及的立方根． 52．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 53．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根是．求的算术平方根． 54．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 55．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的算术平方根． 56．（24-25七年级下·广西柳州·阶段练习）一个正数x的平方根是a和 (1)求a的值和x的值． (2)求的立方根． 【经典计算题八 平方根、立方根的规律探索题】 57．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 58．（24-25七年级下·江西上饶·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？________； (3)由（2）的猜想：________； (4)根据（3）计算：________，________． 59．（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 60．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 61．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 63．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 64．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【经典计算题九 二次根式的加减计算】 65．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算 (1) (2) 66．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 67．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：． 68．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； 69．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： (1)； (2)． 70．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【经典计算题十 二次根式的乘除计算】 71．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）计算： (1)． (2) 72．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）计算 (1)． (2)． 73．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)． 74．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）计算： (1) (2) 75．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 76．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典计算题十一 二次根式的混合运算】 77．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 78．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 79．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 80．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 81．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 82．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题十二 二次根式的化简求值】 83．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）已知，，求的值． 84．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 85．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 86．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 87．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 88．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【经典计算题十三 复合二次根式的化简】 89．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 90．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 91．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 92．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 93．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 94．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【经典计算题十四 二次根式的规律探究计算】 95．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 96．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 97．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 98．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 99．（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 100．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ，，，，． (1)用，，表示上述规律为： ； (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)设，，试用含x，y的式子表示． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 实数运算、平方根、立方根与二次根式100道计算题专项训练（14大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 实数的规律计算题 题型三 实数的新定义运算 题型四 无理数的估算 题型五 平方根、平方根方程 题型六 立方根、立方根方程 题型七 平方根、立方根的结合的文字计算题 题型八 平方根、立方根的规律探索题 题型九 二次根式的加减计算 题型十 二次根式的乘除计算 题型十一 二次根式的混合运算 题型十二 二次根式的化简求值 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)7 【分析】本题考查了有理数的混合运算、平方根与立方根的计算以及绝对值的化简．解题的关键是熟练掌握各运算的法则，按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的顺序进行计算，同时正确处理绝对值内式子的正负性． （1）先计算乘方、开方和括号内的运算，再进行加减运算；先算和括号里的，再依次计算加减． （2）先计算立方根、平方根，化简绝对值，去括号，再合并同类项；先算，判断的正负以化简绝对值，去括号后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，包括平方根的运算，立方根的运算，幂的运算，绝对值的化简，正确运算是解决本题的关键． （1）根据平方根的运算，立方根的运算计算即可； （2）根据立方根的运算，绝对值的化简，幂的运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，求算术平方根，立方根，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）根据实数的混合运算计算即可 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． （1）根据算术平方根的定义和立方根的定义求解即可； （2）先计算乘方和绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，立方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别计算乘方，绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）先分别计算立方根，绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级下·天津·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根，立方根，绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算平方根和立方根，再进行加法运算； （2）先计算平方根、绝对值和立方根，再进行加减运算； （3）先计算立方根、乘方和化简绝对值，再进行加减运算； （4）先计算平方根、立方根和化简绝对值，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用立方根、算术平方根性质化简以及有理数加减运算法则计算即可； （2）直接利用立方根、算术平方根性质以及绝对值的性质分别化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题二 实数的规律计算题】 9．（24-25七年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 11．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 12．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 13．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 14．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 15．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 16．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【答案】(1)最小值为64，最大值为124 (2)11个 【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案， （2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中． 【经典计算题三 实数的新定义运算】 17．（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （2）根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 19．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 20．（24-25七年级下·吉林延边·期中）（1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，_____； （2）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数，例如可将化为，再由近似公式得到．利用此公式计算的近似值． 【答案】（1）4，5；（2） 【分析】本题考查无理数的估值计算方法，对阅读资料的归纳和应用以及正整数的平方与非平方正整数的和，找出无理数的最大整数平方是解题关键． （1）结合，得，再根据介于连续的两个整数a和b之间，即可作答． （2）由题意得到a和r的值，再利用所给的公式可得解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵介于连续的两个整数a和b之间， ∴， 故答案为：4，5； （2）∵公式， 将其变形得， ∴，， ∴． 故答案为． 21．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，． (1)直接写出的值． (2)显然，当时，的值为1，2或3． ①当时，请直接写出所有满足条件的的值； ②当时，求所有满足条件的的个数． 【答案】(1) (2)①的值为4，5，6，7，8；②所有满足条件的n的个数为21 【分析】本题考查无理数的估算，新定义，解答本题的关键是明确题意． （1）根据，即可写出相应的结果； （2）①根据，，即可写出相应的结果；②根据，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：①当时，， ∴的值为4，5，6，7，8． ②当时，， 的值为100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120． 所有满足条件的n的个数为21． 22．（24-25七年级上·山东泰安·期末）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 【答案】是；理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算、算术平方根，根据“完美组合数”的定义，结合算术平方根进行计算判断即可． 【详解】解：三个数是“完美组合数”，理由如下： 三个数都是负数， ， ， 结果4、6、12都是整数， 三个数是“完美组合数”． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 24．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 【经典计算题四 无理数的估算】 25．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据(1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，5； （2）解：由(1)知， ∴，， ∵是的小数部分， ∴； ∵是的整数部分， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是． 26．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， ， ， 小数部分是， ， 小数部分是， ， ∴的相反数是． 27．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的小数部分． 【答案】(1) (2)的小数部分是 【分析】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算． （1）根据绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义即可得到答案； （2）根据得到，代入后根据无理数的估算得到小数部分． 【详解】（1）解：∵，b是9的平方根，c是的立方根， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分是2， 则小数部分是． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 29．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照小星同学的探索过程解答即可． 【详解】解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，画一个边长为的大正方形（如图）， 图中大正方形的面积． 又， ， 当时，可忽略不计，得方程， 解得， ． 30．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 【答案】(1)的整数部分是4，小数部分是4 (2)11 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算求解即可； （2）首先根据无理数的估算求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是4； （2））∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵121 的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11； 31．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵ ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， 32．（24-25七年级下·福建福州·期中）小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)2 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； （2）解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 【经典计算题五 平方根、平方根方程】 33．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了利用平方根的概念解方程，熟练掌握平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后方程两边同除以3，再开平方即可； （2）方程两边同时开平方，然后求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：； （2）解：， 开平方得：， 解得：，． 35．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再开平方，即可作答． （2）先在方程的两边同时除以2，再开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 36．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先化简算术平方根，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 37．（24-25七年级下·天津河西·阶段练习）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【分析】考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义才能解决本题． （1）根据平方根的定义进行计算，即可解答； （2）先将原方程化为，再根据平方根的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）， ， ∵， ∴， 即或， 解得或． 38．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． 39．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)7.2． 【分析】本题考查了算术平方根的计算． （1）根据算术平方根的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根的性质计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）求下列各式中的x值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）移项后，利用平方根的性质求解即可； （2）利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴． 【经典计算题六 立方根、立方根方程】 41．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据算术平方根与立方根的意义去根号，再进行计算即可． 【详解】解： ． 42．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，然后计算即可； （2）根据算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，然后计算即可． 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴， ∴． 44．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）求下列各式中实数的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查由立方根、平方根定义解方程，熟练掌握其定义与求法是解题的关键． （1）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可得到答案； （2）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， 整理得， ； （2）解：， 整理得， 则， ∴， 解得或． 45．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根求未知数的值，解题的关键是掌握运算法则，正确地进行化简． （1）开平方根，即可求出答案； （2）先移项整理，然后开立方根，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 46．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】此题考查了利用平方根解方程和利用立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是关键． （1）根据平方根得到，即可求出答案； （2）根据立方根的意义得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，或， 即或； （2）解：， ， ， ， ． 47．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了开平方，开立方，解题关键是掌握开平方，开立方． 先用开平方，开立方，分别求出，，再代入求值． 【详解】解：∵， ∴，解得：或， ∵， ∴，解得：， 当，时，； 当，时，． 48．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算法则进行计算即可； （2）利用立方根求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴． 【经典计算题七 平方根、立方根的结合的文字计算题】 49．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 50．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了已知立方根求这个数，已知平方根求这个数，求立方根，依题意，列式，，解得，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根为 ∴， 解得：， ∵的立方根为2 ∴， 解得：， ∴． 51．（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）一个正数m的两个平方根分别为和，求m，n的值以及的立方根． 【答案】，，的立方根为3 【分析】本题考查了立方根、平方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根的性质求出n的值，进而求出正数m，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， 的立方根是3， 的立方根是， 综上所述，，，的立方根为3． 52．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握平方根与立方根的概念是解决本题的关键． （1）根据平方根与立方根的概念可求解a与b的值，再由的大小范围即可求解c的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， 综上； （2）解：∵， ∴， ∵5的平方根为， ∴的平方根为． 53．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根是．求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．先根据平方根的定义求出a，立方根的定义求出b，再代入计算即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ，解得：， 的立方根是 ， 解得：， ， 的算术平方根为3． 54．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，非负数的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义可得，，据此可求出a、b的值，再根据非负数的性质可求出c的值； （2）根据（1）所求计算出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 55．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得和互为相反数，列出方程求出的值，根据立方根的定义得到，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∵b的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根为0． 56．（24-25七年级下·广西柳州·阶段练习）一个正数x的平方根是a和 (1)求a的值和x的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)1；1 (2)1 【分析】本题考查立方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可以求得a的值，从而可以求得x的值； （2）根据（1）中的结果，可以解答本题． 【详解】（1）解：依题意得， ∴， ∴， ∴a的值和x的值分别为1和1； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴1的立方根为1， 即的立方根为1． 【经典计算题八 平方根、立方根的规律探索题】 57．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）； (4)根据（3）计算：． 【答案】(1)4；5；20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：4；5；20； （2）解：由（1）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（2）猜想：， 故答案为：； （4）解：． 58．（24-25七年级下·江西上饶·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？________； (3)由（2）的猜想：________； (4)根据（3）计算：________，________． 【答案】(1)2；4；8 (2) (3) (4)10； 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由（1）得，，， ∴； （3）解：由（2）得， ∴猜想：； （4）解：由（3）可得解：，． 59．（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【答案】(1)2；5；10 (2) (3) (4)①4；② 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 60．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)右，一 (3)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； （3）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； ②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：根据算术平方根的定义得， ， 故答案为：0.1，10； （2）解：由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位， 则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 故答案为：右，一； （3）解：①∵， ∴， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， ∴的值为600． 61．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 63．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 64．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【经典计算题九 二次根式的加减计算】 65．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减，实数的运算， 对于（1），先去括号，再根据二次根式的加减法法则计算即可； 对于（2），根据，再计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 66．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键． 先化成最简二次根式，再计算加减即可． 【详解】 ， ， ． 67．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 68．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，化简绝对值，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． （2）先化简绝对值，再根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． （3）先化简绝对值，立方根，平方根，再根据二次根式的加减法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， （2）解： ； （3）解： 69．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 70．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘法并化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题十 二次根式的乘除计算】 71．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先把除法化为乘法运算，再计算即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）计算 (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）利用二次根式的乘除混合运算法则即可求解； （2）利用平方差公式，完全平方公式即可求解． 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）先化简二次根式，再合并即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 74．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行二次根式的乘除运算，再计算立方根，然后进行加减计算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 75．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）分别算出立方根，二次根式，绝对值的值，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 76．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【经典计算题十一 二次根式的混合运算】 77．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 78．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，包括根式的化简、分母有理化，以及乘法分配律、平方差公式在二次根式运算中的应用． （1）先把各项根式化简，再对分母有根号的项有理化乘，最后合并同类二次根式． （2）前半部分用乘法分配律算，后半部分用平方差公式算，再做减法． （3）先化简各项根式，再按顺序算乘除，注意保留负号，最后化简结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 79．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意涉及根式的化简、加减乘除运算，以及平方差公式、完全平方公式在二次根式计算中的应用．熟练使用公式并正确计算是解决本题的关键． （1）把每个根号里的数拆成能开方的部分，变成最简根式后，只有根号里的数相同才能加减． （2）乘的时候根号里的数相乘，除的时候根号里的数相除，结果化简后都是，直接加减系数． （3）前半部分符合，用平方差公式算；后半部分是，用完全平方公式展开，最后去括号加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 80．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各二次根式，再计算括号内的，然后计算乘除即可． 【详解】（1）解： （2）解： 81．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式性质化简，乘法公式运算等知识，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序，准确计算为解题关键． （1）先利用二次根式性质化简各项，再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 82．（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及平方差公式、零指数幂、绝对值、完全平方公式、立方根等知识，解题的关键是熟练运用相关运算法则和公式进行计算． （1）利用平方差公式、零指数幂、绝对值的性质计算； （2）先化简二次根式，再进行除法运算； （3）化简二次根式、分母有理化、利用完全平方公式、立方根的性质计算； （4）利用乘法分配律、平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典计算题十二 二次根式的化简求值】 83．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值、完全平方公式．根据，的值可求得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 84．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 85．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求解，包括完全平方公式和单项式乘多项式，将整式正确化简是解决本题的关键． 先根据完全平方公式化简，再将a的值代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴上式． 86．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 87．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先把x、y分母有理化得到，，则可求出的值，再由计算求解即可； （2）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 88．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 【经典计算题十三 复合二次根式的化简】 89．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 90．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 91．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 92．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 93．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 94．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 【经典计算题十四 二次根式的规律探究计算】 95．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 96．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1)（为正整数）； (2) 【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可得解； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）； （2）解：由（1）可得（为正整数）， ∴原式 ． 97．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1) (2)（的整数），证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 98．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），分子和分母都乘以，再运算即可； 对于（2），分子和分母依次乘以，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式 ． 99．（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 100．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ，，，，． (1)用，，表示上述规律为： ； (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)设，，试用含x，y的式子表示． 【答案】(1)（，） (2)2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则即可得解； （2）根据二次根式的乘法法则运算即可得解； （3）根据二次根式的乘法法则运算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：用，，表示上述规律为：； （2）解：； （3）解：，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$