专题05 勾股定理章末40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题05 勾股定理40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 用勾股定理解三角形压轴问题 题型三 网格中的勾股定理问题 题型四 勾股定理的折叠问题 题型五 勾股定理逆定理综合 题型六 勾股定理的应用综合 题型七 蚂蚁爬行—最短路径问题 题型八 将军饮马类最值问题 题型九 勾股定理中的旋转问题 题型十 勾股定理的新定义问题 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；② 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键是利用运用这些知识． （1）利用梯形面积公式和图形由三个直角三角形拼成表示出面积，再简单计算即可； （2）先证明，进而可得，由可证明，在中，求即可解答； （3）由是边的中线，可得，设，则，，由勾股定理得：，，即，可得，进而得到，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点作于点， 是边的中线， ， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即， 得：， ， ， ， ， 即， ． 【经典例题二 用勾股定理解三角形压轴问题】 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在中，，点是的中点，则的长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，过点D作于点F，连接，根据勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键．连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，连接并延长，过点作于点，于点． 又∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线， ∴，点的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）（1）发现问题 如图①，已知在中，，，点O为内一点，且，连接，则的度数为______． （2）探究问题 如图②，在（1）的条件下，作，且，连接、，求的度数． （3）解决问题 如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且，，设计人员计划在内确定一点E，满足以下条件：，，，．现准备在C、E两处建造两个凉亭，、、、为休闲小道，若米，试求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）平方米 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，最后求出结果即可； （2）证明，得出，求出； （3）以为边在内部作等边，连接，过点C作于点F，证明为等边三角形，根据勾股定理求出米，分别求出（平方米），（平方米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）以为边在内部作等边，连接，过点C作于点F，如图所示： 根据解析（1）、（2）可知：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∵（平方米）， ∴平方米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过构造全等三角形，将所求线段BD转化到直角三角形中，利用勾股定理求解．作辅助线构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再结合勾股定理计算BD的长度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS）和勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 作 ，使 ，连接 ，． ∵ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ，． 又∵ ， ∴ ，即 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在 中，，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：D． 【经典例题三 网格中的勾股定理问题】 9．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②图见解析，；③图见解析， (2)有最小值，最小值为10 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：   ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 11．（24-25八年级上·北京昌平·期末）【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②是的勾股点，理由见解析；③或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，，，即可判断是否为的勾股点， ，同理； （2）①根据等边三角形性质，利用SAS证明； ②由得，再利用勾股定理得，等量代换即可证明结论； ③于，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； 故答案为：． （2）①证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴， ∴（SAS）． ②是的勾股点，理由如下 ∵ ∴ 又∵ ∴ 由，得： ∴是的勾股点． ③∵，，且为的勾股点 ∴ ①当在下方时，作于 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ②当在上方时，作于 同理：，， ∴ 故等边的边长为：或 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解，以及利用勾股定理求各线段的长． 12．（2022·山东青岛·一模）提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 【答案】探究三：9，8，8，24，96；问题解决：244；拓展延伸：48 【分析】问题解决：按探究一、二的规律，先确定所有线段，然后确定所有符合等腰直角三角形的边长组合，再逐个确定每一个组合对应的等腰直角三角形个数，进而可确定等腰直角三角形的总个数． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中，只需要确定正面、侧面、上面所有的等腰三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：探究三：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取9个数值： 。以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有24个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为96个． 问题解决：在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取14个数值： 这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下八种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、；、、4；、、； 4、4、 ． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有32条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有32×2=64个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有30条，其中有12条在4×4正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有18条在4×4正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有12+36=48个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有32条，其中有16条对应着一个等腰直角三角形； 有16条对应着两个等腰直角三角形，共有16×1+16×2=48个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （6）当斜边长为4时，图形中长为4的线段有10条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有2条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+4=12个． （7）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条每条对应着一个等腰直角三角形；另有4条每条对应着两个等腰直角三角形，共有8+8=16个． （8）当斜边长为时，图形中长为的线段有2条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有4个． 故在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为： 64+48+36+48+16+12+16+4=244个． 拓展延伸：在2×2×1的长方体中： （1）在正面的2×1的方格上，以格点为顶点的线段长度可取3个数值：1，,2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下两种情况：1、1、；、、2． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×2=8个； 当斜边长为2时，长为2的线段有2条，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形，共有2个； 故正面共有10个等腰直角三角形． （2）在侧面的2×1的方格上，等腰直角三角形的个数与（1）相同，共10个。 （3）在上面的2×2的方格上，由探究二得知有28个等腰直角三角形． 故在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为48个． 【点睛】本题考查规律探索，并按规律解决问题，懂得按题意研究和总结规律，并按规律解决问题是解题的关键． 【经典例题四 勾股定理的折叠问题】 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 15．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理逆定理综合】 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为 ． 【答案】或10或5． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ①当点在上时，如上图点， ，， ； ②当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 19．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【概念星现】 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形．则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，， ，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】 如图①，如果四边形 是真等腰直角四边形，且，对角线 BD是这个四边形的真等腰直角线，当时，求的长； (3)【深度理解】 如图②，四边形与四边形 都是等腰直角四边形，且，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】 如图③，已知：四边形 是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)或 (3)，理由见解析 (4)或3 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，读懂题意、作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理及已知条件可证是等腰直角三角形，又因为是等腰三角形，再根据“真等腰直角四边形”即可判断； （2）由题意知是等腰三角形，分当和分别运用勾股定理求解即可； （3）根据题意证明，然后运用全等三角形的性质即可解答； （4）由题意知：是等腰直角三角形，分和，分别构造等腰直角三角形，再利用（3）中全等进行转化即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是． （2）解：对角线是这个四边形的真等腰直角线， 是等腰三角形， 当时， 在中，由勾股定理得： 当时，在中，由勾股定理得：． 综上：或． （3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ， ， ， ． （4）解：由题意知：是等腰直角三角形， 当时，如图1，作在上取点使得，连接， 由（3）同理得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，由勾股定理得， ； 当时，如图2，同理可得，． 综上：或3． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 【经典例题六 勾股定理的应用综合】 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【详解】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 23．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 24．（24-25八年级下·山东日照·期中）项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（）根据题意解答即可； （）如图，过点作于点，设米，可得米，米，米，米，由勾股定理得，解方程求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解： 如图，过点作于点， 设米， 则米，米，米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 答：学校旗杆的高度为米． 【经典例题七 蚂蚁爬行—最短路径问题】 25．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况，展开图形，结合勾股定理计算并比较，即可得解． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是6和3， 则所走的最短路线是； 第二种情况：把我们所看的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 则所走的最短路线是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 则所走的最短路线是； ∵， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 26．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 27．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 28．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为（米）． 故选：B． 【经典例题八 将军饮马类最值问题】 29．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）如图所示，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解； （4）将代数式变形得，，结合（3）中的计算方法，令，则，可得，即为两直角三角形斜边的和，由此作图分析，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，在中，运用勾股定理即可求解的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴； （4）解：，， 根据上述计算方法，令， ∴，即两条直角三角形斜边的和， 令，则， ∴， ∴， 如图所示，，，，，则，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时的值最小，即代数式的值最小， 过点作，交延长线于点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， ∴代数式的最小值为． 31．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 32．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【分析】本题考查了最短路径问题，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程. 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：130． 【经典例题九 勾股定理中的旋转问题】 33．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知和都是等腰三角形，其中． (1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：； (2)【变式探究】如图2，连结、，若，，求的长； (3)【拓展提升】如图3，若，以点为旋转中心旋转，使得点恰好落在斜边上，试探究之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论． （2）先求出，证，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论． （3）先证，得到，求出，在中，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴在等边三角形中，平分， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵在等边中，， ∴在中，由勾股定理得， ， 故的长为10． （3）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形， ∴， 又∵， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴在中，由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 34．（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）证明即可得到，延长交于点，根据互余关系求证即可； （2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得； （3）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：设，则， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 35．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； (3)如图3，若等边三角形的边长为4，点分别位于直线异侧，且的面积等于，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)，理由见详解 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角及等角对等边的性质，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用等知识的综合运用，掌握全等三角形的性质，图形旋转的性质，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形，旋转的性质可证，由此即可求解； （2）先证明是等腰直角三角形，再求出，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在直线上方时，延长交于点，过点作于点，可证，，设，则，则，中，，由，即可求解；第二种情况，如图所示，点在直线下方时，设交于点，过点作于点，同理可得，设，则，，在中，，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴； （2）延长交于点M，如图 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴直线垂直平分线段； （3）解：第一种情况，如图所示，点在直线上方时，延长交于点，过点作于点， 根据题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，或； 第二种情况，如图所示，点在直线下方时，设交于点，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，或或． 36．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）【问题情境】 数学活动课上指导教师带领学习小组利用特殊的等腰三角形—等边三角形进行如下研究． 【提出问题】 如图1，与都是等边三角形，连接． （1）当点，，在一条直线上时，求证，并求的度数； 【类比探究】 如图2，和都是等边三角形，且． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接，，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析，；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质得到，结合全等三角形的性质得到，最后由全等三角形的性质求解； （3）延长交于点，证明，再证明，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等），60度． （2）．理由如下： 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ∵， ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ． （3）延长交于点， ∵和都是等边三角形，且， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，，即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：，即：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． 【经典例题十 勾股定理的新定义问题】 37．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【答案】（1）①；②D；（2）CA平分，见解析；（3） 【分析】（1）①由四边形是等补四边形及等补四边形的定义得，结合，即可求解； ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）作于点，交的延长线于点，由四边形是等补四边形得，而，所以，可根据全等三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形全等的判定和性质得出，所以平分； （3）过点作于点，则，先证明四边形是等补四边形，结合（2）结论得出平分，根据等角对等边得出，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：平分， 理由：如图，作于点，交的延长线于点， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：过点作于点，则， ∵，， ∴，， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．正确作出辅助线是解题的关键． 38．（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①垂直平分；② (3)或 【分析】本题考查了画轴对称图形，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据定义分别以为对称轴画出图形，即可求解； （2）①根据轴对称图形的性质可得，进而可得垂直平分； ②根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点，①当所在直线为对称轴时，分别求得对角线长，进而根据面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图 （2）①连接与的位置关系是垂直平分； ∵四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ∴ ∴垂直平分； ②如图 ∵ ∴ ∴ （3）解：①当所在直线为对称轴时，如图，过点作于点， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴，， ∵在中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴，，即， ∵， ∴，解得： ∴， ∴ ①当所在直线为对称轴时，如图， ∵四边形是筝形，为对角线时， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 39．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“完美四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)操作判断 用含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是完美四边形的有_______（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出完美四边形的边、角的性质．下面探究与对角线相关的性质．如图2，四边形是完美四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角；并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n的式子表示） (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是完美四边形．当该完美四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)②④ (2)①，理由见解析；②； (3)或 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）①延长至点E，使，连接，证明，可得，，即可解答；②过点A作于点F，根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由勾股定理可得，根据“完美四边形”的定义可得，根据仅有一组邻边相等分四种情况讨论，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是完美四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴； ②如图，过点A作于点F， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，，， ∴， ， ∵ 四边形是完美四边形， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，连接，则， 在中，， 在和中，， ∴， 解得：， ∴，，满足仅有一组邻边相等， ∴； 当时，如图，连接，则， 在和中， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当时，如图，连接，则是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，满足仅有一组邻边相等， ∴； 当时，如图，连接， 在和中， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 40．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形． (1)新知理解： ①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”） ②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由． (2)知识探究： 在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值． (3)知识拓展： 在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值． 【答案】(1)①是；是， (2)或或 (3) 【分析】本题考查勾股定理以及新定义内容， （1）①只要是直角三角形就会满足的魅力三角形，即可作出判断； ②直接根据魅力三角形的定义判断即可； （2）分类讨论，根据勾股定理求出，再利用魅力三角形定义求解即可； （3）由勾股定理可得，因为斜边最长，所以可分两种情况，或，再结合勾股定理即可判断出、、之间的关系； 灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵当一个三角形是直角三角形时，设、为直角边，为斜边， ∴， 满足魅力三角形的定义，此时， ∴等腰直角三角形是魅力三角形， 故答案为：是； ②∵，，， 又∵， ∴该三角形是魅力三角形，； （2）①当为斜边时， ∵，， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②当为直角边时， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 综上所述，的值为或或； （3）∵为直角三角形，， ∴， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； ②当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 用勾股定理解三角形压轴问题 题型三 网格中的勾股定理问题 题型四 勾股定理的折叠问题 题型五 勾股定理逆定理综合 题型六 勾股定理的应用综合 题型七 蚂蚁爬行—最短路径问题 题型八 将军饮马类最值问题 题型九 勾股定理中的旋转问题 题型十 勾股定理的新定义问题 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 3．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）本学期我们接触到了几何学上的明珠——勾股定理． 千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有国家总统，下面试举三例，一起领略其魅力． (1)【验证】图1是由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图2，和都是等边三角形，点在内部，连接、、． 若，，，求的长； (3)【提升】如图，在一般三角形中，，，，是边的中线． 在一般三角形中，如何用、、表示． 【经典例题二 用勾股定理解三角形压轴问题】 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在中，，点是的中点，则的长 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）（1）发现问题 如图①，已知在中，，，点O为内一点，且，连接，则的度数为______． （2）探究问题 如图②，在（1）的条件下，作，且，连接、，求的度数． （3）解决问题 如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且，，设计人员计划在内确定一点E，满足以下条件：，，，．现准备在C、E两处建造两个凉亭，、、、为休闲小道，若米，试求四边形的面积． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【经典例题三 网格中的勾股定理问题】 9．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 11．（24-25八年级上·北京昌平·期末）【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 12．（2022·山东青岛·一模）提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4=28个． 探究三： 在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2=36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2=16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2=4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 问题解决： 在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个． 拓展延伸： 在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个． 【经典例题四 勾股定理的折叠问题】 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 14．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 15．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题五 勾股定理逆定理综合】 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为 ． 18．（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为 ． 19．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【概念星现】 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形．则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，， ，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】 如图①，如果四边形 是真等腰直角四边形，且，对角线 BD是这个四边形的真等腰直角线，当时，求的长； (3)【深度理解】 如图②，四边形与四边形 都是等腰直角四边形，且，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】 如图③，已知：四边形 是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，直接写出的长． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【经典例题六 勾股定理的应用综合】 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 23．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 24．（24-25八年级下·山东日照·期中）项目式学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为米； ②如图，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为米； ③小新的身高为米． 问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米．请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： (1)直接写出线段与之间的数量关系：___________； (2)求出学校旗杆的高度． 【经典例题七 蚂蚁爬行—最短路径问题】 25．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 ． 26．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 27．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【经典例题八 将军饮马类最值问题】 29．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 30．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上两点（看作直线上的两点）相距千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离． (4)借助上面的思考过程，当时，直接写出代数式的最小值． 31．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 32．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【经典例题九 勾股定理中的旋转问题】 33．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知和都是等腰三角形，其中． (1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：； (2)【变式探究】如图2，连结、，若，，求的长； (3)【拓展提升】如图3，若，以点为旋转中心旋转，使得点恰好落在斜边上，试探究之间存在怎样的数量关系？ 34．（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 35．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； (3)如图3，若等边三角形的边长为4，点分别位于直线异侧，且的面积等于，请直接写出线段的长度． 36．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）【问题情境】 数学活动课上指导教师带领学习小组利用特殊的等腰三角形—等边三角形进行如下研究． 【提出问题】 如图1，与都是等边三角形，连接． （1）当点，，在一条直线上时，求证，并求的度数； 【类比探究】 如图2，和都是等边三角形，且． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接，，直接写出的面积． 【经典例题十 勾股定理的新定义问题】 37．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 38．（2025·河南焦作·二模）综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． (1)理解运用 如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形，要求在格点上． (2)性质探究 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形．对角线所在的直线是它的对称轴． ①连接与的位置关系是_____； ②若，求筝形的面积（用含的式子表示） (3)拓展延伸 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 39．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“完美四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)操作判断 用含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是完美四边形的有_______（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出完美四边形的边、角的性质．下面探究与对角线相关的性质．如图2，四边形是完美四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角；并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n的式子表示） (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是完美四边形．当该完美四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出四边形的面积． 40．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形． (1)新知理解： ①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”） ②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由． (2)知识探究： 在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值． (3)知识拓展： 在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$