专题03 立方根重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题03 立方根重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 立方根的新定义运算 题型八 含立方根的文字计算 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 ．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的： （1）由，，确定立方根是位数． （2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是． （3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为． 请你仿照以上的方法，计算 ． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ， ，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． 的个位数字是9，而能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数的立方，按照上述方法求． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 2．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若的平方根是，． (1)________； (2)若x的一个平方根是，求x的立方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）一个正方体的木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是 ． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 1．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4…0.1732，1.732，17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动　　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位； （2）已知2.236，7.071，则　　，　　； （3）1，10，100…小数点变化的规律是：　 　． （4）已知2.154，4.642，则　　，　　． 【经典例题七 立方根的新定义运算】 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得 ． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 3．（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【经典例题八 含立方根的文字计算】 【例8】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． (1)求和的值． (2)求的算术平方根． 1．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知x是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x， y的值． (2)求的平方根． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知满足如下两个条件：①一个正数的两个平方根分别是与；② (1)求． (2)求的平方根． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）已知，且与互为相反数， (1)求的值； (2)求的算术平方根； (3)求的立方根． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 1．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 5．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 9．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 11．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ．（说明：若，则a叫做b的立方根） 13．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为 ； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为 ，边长为 ； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与1重合，则点在数轴上所表示的数为 ． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）求下列各式中的x． (1)； (2)． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的算术平方根是3，y是8的立方根，且与互为相反数，求的值． 17．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 18．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）【问题背景】我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？请你按照下面的方法试一试： 【初步尝试】（1），即 ________________ 是一个________位数 【分析思考】（2）________________________________ ________________________________________ 【深入探究】（3）我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动________位． （4）确定的十位上的数时，可先划去59319后面的三位319得到数59． ，即： ________________ ． 的十位上的数是__________ 【归纳总结】（5）求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的________，再确定各位的数字． 【迁移应用】（6）已知110592是一个整数的立方，按照上述方法，完成下列填空： ①它的立方根是________位数； ②它的立方根的个位上的数是________； ③它的立方根是________． 19．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 20．（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立方根重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 立方根的新定义运算 题型八 含立方根的文字计算 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 【答案】B 【分析】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．根据平方根和立方根的概念求解即可． 【详解】解：A．立方根等于本身的数有，，故选项错误，不符合题意； B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意； C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意； D．的立方根不是3，的立方根为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）已知实数的立方根是，则实数的立方根是（  ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即，故， ∴， ∴， 故选：D． 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根和平方根；先求出的立方根，4的平方根，再求和即可． 【详解】解：的立方根等于， 4的平方根等于， ∴， ∴的立方根与4的平方根之和是0或； 故选：D． 4．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵一个数的平方为， ∴这个数为， 所以的立方根为， 故选：B． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义和性质，以及代数式求值，通过立方根的性质求出x的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴或1或， 解得或1或3， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为0或2或6． 故选：D． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． ．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的： （1）由，，确定立方根是位数． （2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是． （3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为． 请你仿照以上的方法，计算 ． 【答案】 【分析】根据题意的方法，确定个位数与百位数，再进行估算即可求解． 【详解】解：（1）由，，确定算术平方根是位数． （2）由的个位数是，确定其算术平方根的个位数是． （3）划去后面四位数，得到数，而，可以确定个位数是． ∵，，， ∴十位数字为， 因此可以得到，经检验 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的定义，根据题意找到规律是解题的关键． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根， ∴B选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如果，那么的立方根是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，立方根．通过展开左边多项式并比较系数，确定a和b的值，再计算的立方根． 【详解】解：， 又， ，， ， ． 故选B． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ， ，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． 的个位数字是9，而能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数的立方，按照上述方法求． 【答案】(1)两；5 (2) 【分析】题目主要考查立方根的计算求解规律，理解题意是解题关键． （1）根据题干中的例题求解即可； （2）结合题意确定的立方根是两位数；能确定的个位数字是2．再求解计算即可． 【详解】（1）解：， ，即3375的立方根是一个两位数； 的个位数字是5，而， 能确定的个位数字是5； 故答案为：两；5； （2），且， 的立方根是两位数； 的个位数字是8，而． 能确定的个位数字是2． 而． ， ． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、绝对值、代数式求值，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 先根据绝对值、立方根的定义求出、的值，再根据代数式求值计算即可． 【详解】解：，， ，， 或， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若的平方根是，． (1)________； (2)若x的一个平方根是，求x的立方根． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，然后代入计算即可； （2）由平方根的定义可得，然后求出x的值，最后求出x的立方根即可． 【详解】（1）解：∵若的平方根是， ∴，，即； ∴． 故答案为：5． （2）解：∵x的一个平方根是， ∴， ∴x的立方根是． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 3．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）一个正方体的木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是 ． 【答案】73.5cm3． 【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积． 【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是， ∴正方体的棱长为=7（cm3）， 要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm3）， ∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm3）． 故答案为73.5cm3． 【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 【答案】(1)ⅰ．b．ⅱ． (2)ⅰ．64，48，ii，见解析 (3)长方形纸片的长为 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，长方体的体积公式，立方根的应用； （1）根据剪去的小正方形边长为b可知，长方体盒子底部的长与宽均为，然后根据长方形的面积公式列式即可； （2）根据长方体体积公式，分别代入计算即可求出m，n；根据表格中的数据在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接起来，观察趋势图即可写出一个正确的信息； （3）设正方形的边长为x，进一步写出长方形的长与宽，依据长方体体积公式列出方程，求出正方形的边长，从而求得长方形纸片的长． 【详解】（1）解：∵剪去的小正方形边长为b， ∴，长方体盒子底部的长与宽均为， ∴底面积， 故答案为：ⅰ．b．ⅱ．； （2）ⅰ．当时，， 当时，； 故答案为：64；48； ②趋势图如下： 信息为：当小正方形的边长大于2时，折成的长方体盒子的容积随着的增大而减小；（答案不唯一） （3）设小正方形的边长为， 由题意可知，长方形的宽为，长为， ∴折成的长方体盒子的容积， ∴， ∴， ∴长方形纸片的长为． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 1．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 2．（24-25七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【分析】（1）计算即可求解； （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． （3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【详解】解：（1）填写表格如下： x4 1 16 81 x 1 2 3 （2）①1的四次方根是：1； ②16的四次方根是：2； ③的四次方根是：； ④12的四次方根是：； ⑤0的四次方根是：0； ⑥﹣625没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． （3）拓展应用： 在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4…0.1732，1.732，17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动　　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位； （2）已知2.236，7.071，则　　，　　； （3）1，10，100…小数点变化的规律是：　 　． （4）已知2.154，4.642，则　　，　　． 【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）1.414，14，141.4… 0.1732，1.732，17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， （2）已知2.236，7.071，则0.7071，22.36， （3）1，10，100… 小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵2.154，4.642， ∴21.54，0.4642． 故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 【经典例题七 立方根的新定义运算】 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则． 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得 ． 【答案】5 【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算． 【详解】解：由题意得： 8☆9=+=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【答案】(1)一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． (2)①，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【分析】本题考查了立方根，平方根，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想说出四次方根的定义和性质，是解答本题的关键． （1）类比题目中平方根和立方根的定义，说出四次方根的定义，由此得到答案． （2）①根据四次方根的定义，求出答案．②根据①中的结果，得到四次方根的性质． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 3．（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【答案】(1) (2)D (3) (4)或 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可； （3）根据立方根的定义解方程即可； （4）根据得出，即，解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：要使式子有意义，则， ∴， ∵， ∴a的取值可以是，故D正确． 故选：D． （3）解：∵， ∴， 即， 解得：． （4）解：∵， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算． 【经典例题八 含立方根的文字计算】 【例8】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． (1)求和的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解后，再根据平方根与原数的关系求出；依据立方根的定义求出． （2）先把（1）中求得的、的值代入计算出结果，再根据算术平方根的定义求出其算术平方根． 本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这些定义及正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和 ∴ 解得 ∴ ∴ ∵是的立方根， ∴； （2）解：把，代入得： ∵， ∴的算术平方根是，即的算术平方根是． 1．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知x是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x， y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，，解答即可． （2）先计算，再求平方根． 本题考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：由， ， 故． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键： （1）根据平方根的性质，立方根的定义，进行求解，利用平方根解方程即可； （2）根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴当时， 当时，， ∴的算术平方根为或． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了利用平方根和立方根的意义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的意义． （1）利用立方根的意义求出，然后解方程即可； （2）利用平方根的意义求出或，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 解得或． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知满足如下两个条件：①一个正数的两个平方根分别是与；② (1)求． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，二元一次方程组的应用，关键是根据题意得到关于a、b的两个方程． （1）根据平方根的定义和立方根的定义得出，解这两个方程可求得，，进一步求得； （2）把，，代值计算可求，进一步求得的平方根． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴， （2）， ∴的平方根为． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）已知，且与互为相反数， (1)求的值； (2)求的算术平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，再根据立方根的性质和相反数的定义可得的值； （）把的值代入求出的值，进而根据算术平方根的定义即可求解； （）把的值代入求出的值，进而根据立方根的定义即可求解； 本题考查了非负数的性质，算术平方根和立方根的定义，相反数的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为； （3）解：∵，， ∴， ∴的立方根为． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）【方法赏析】 小明学完立方根后研究了问题：如何求出的立方根？ 他进行了如下操作． （1）首先进行了估算：因为，，所以是两位数； （2）其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； （3） 接着将50653的小数点向左移动3位后约为50，因为，，所以 的十位数字应为3，于是猜想，验证：因为，所以； （4）最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 【尝试应用】 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，直接写出x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴是两位数， ∵； 猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117， ∵， ∴的十位数字应为4， 于是猜想， 验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； 故答案为：； （2）解：∵， ∴和互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数， 即， ∴，即， ∴当时，得，解得． 时，得，解得； 当时，得，解得； ∴或或． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（或与互为相反数）； (3)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． 【详解】（1）观察规律可写出类似的等式，如：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由规律可得：对于任意两个有理数，，若（或与互为相反数），则， 故答案为：（或与互为相反数）； （3）若若与的值互为相反数，则， 解得． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)在图2的方格中画一个面积为10的正方形． 【答案】(1)3 (2)5， (3)见解析 【分析】本题考查了立方根的计算，勾股定理，网格作图． (1)设魔方的棱长为x，根据题意，得，解答即可． (2)根据分割法求面积，根据正方形的性质求边长即可． (3)设正方形的边长为m，根据题意，得，求得边长，再仿照阴影图形的结构，画图解答即可． 【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y， 则， 解得（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． （3）设正方形的边长为m，根据题意，得， 解得（舍去）， 画图如下： 1．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握各运算法则． 正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：根据程序计算得， 第1步：， 第2步：， 第3步返回：， 输出， 故选：D． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 6．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 8．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键． 根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定每位数，然后再确定即可． 【详解】解：∵根据题意可知为两位数， ∴的个位上的数是9， ∵，， ∴的十位上的数是7， ∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 9．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 【详解】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 11．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根和立方根，由新定义得，由算术平方根和立方根，并结合新定义分步求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【分析】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【详解】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 13．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为216． (1)这个魔方的棱长为 ； (2)图1中阴影部分是一个正方形，阴影部分的面积为 ，边长为 ； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与1重合，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 6 18 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用电A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）解：棱长为， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 阴影部分的面积为，边长为； （3）解： 正方形的边长为， 点A与重合， 点在数轴上表示的数为． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据平方根的定义来求解的值，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． （2）根据立方根的定义来求解的值，先求出的立方根，再得出的值，进而求出． 本题主要考查了平方根和立方根的定义及应用．熟练掌握平方根和立方根（如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根）的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ∴． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的算术平方根是3，y是8的立方根，且与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，代入求值，根据题意得到，，，求出x，y，z的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：由题可得，，， 解得，，， ∴． 17．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）已知的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值； （2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得         故 ∴， 解得 由题意， 解得； （2）∵， ，6的平方根为 ， 所以的平方根为． 18．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）【问题背景】我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？请你按照下面的方法试一试： 【初步尝试】（1），即 ________________ 是一个________位数 【分析思考】（2）________________________________ ________________________________________ 【深入探究】（3）我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动________位． （4）确定的十位上的数时，可先划去59319后面的三位319得到数59． ，即： ________________ ． 的十位上的数是__________ 【归纳总结】（5）求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的________，再确定各位的数字． 【迁移应用】（6）已知110592是一个整数的立方，按照上述方法，完成下列填空： ①它的立方根是________位数； ②它的立方根的个位上的数是________； ③它的立方根是________． 【答案】（1）10，100，两；（2）1；8；27；64；125；216；343；512；729；（3）1；（4）3；4；3；（5）位数；（6）①两；②8；③48 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， （1）根据可知其立方根是两位数； （2）根据有理数的乘方计算法则确定各数立方； （3）根据立方根的特点确定答案； （4）仿照例题解答； （5）根据立方根的特点确定答案； （6）仿照例题求出110592的立方根即可． 【详解】解：（1），即 ， 是一个两位数， 故答案为：10，100，两； （2），，，，，，，，， 故答案为：1；8；27；64；125；216；343；512；729； （3）被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为1． （4）确定的十位上的数时，可先划去59319后面的三位319得到数59． ，即： ∴， ． 的十位上的数是3， 故答案为：3；4；3； （5）求较大完全立方数的立方根时，先确定结果的位数，再确定各位的数字， 故答案为：位数． （6）∵，即， ∴， ∴是一个两位数， 确定110592的十位上的数时，先划去后面的三位592得到数110， ∵， ∴， ∴的十位上的数是4， ∵110592的末尾数字是2， ∴它的立方根的个位上的数是8， ∴， ①它的立方根是两位数； ②它的立方根的个位上的数是8； ③它的立方根是48． 19．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 20．（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 【答案】（1），，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方根和立方根的拓展，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）根据实数的乘方运算即可填表，仿照平方根和立方根的定义即可给四次方根下定义； （2）根据四次方根的定义结合平方根的性质解答即可； （3）根据四次方根的定义求解即可； （4）根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴填写表格如下： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； 故答案为：，，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）探究性质：①1的四次方根是；②16的四次方根是；③0的四次方根是0；④没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质如下：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）； （4）． 学科网（北京）股份有限公司 $$