专题01 认识实数重难点题型专训（5个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题01 认识实数重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 实数概念理解 题型四 实数的分类 题型五 实数的性质 题型六 实数与数轴 题型七 实数的大小比较 题型八 实数的混合运算 题型九 程序设计与实数运算 题型十 新定义下的实数运算 题型十一 实数运算的实际运用 题型十二 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆丰都·阶段练习）下列各数为无理数的是（   ） A． B．0.1212212221 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查无理数，化简算术平方根，根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数． 【详解】解：下列各数为无理数的是（ ） 是整数，属于有理数， 0.1212212221是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是无理数， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）数据，，，，，（从前往后每相邻两个2间增加一个0）中，这6个实数中无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，，是整数，是有限小数，是分数，它们属于有理数； 无理数有， (从前往后每相邻两个2间增加一个0)，共2个． 故答案为：2． 知识点二、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知数：，，，（每两个1之间依次增加一个0），，π，0；其中有理数有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数分类，根据有理数的定义“整数和分数统称为有理数”，进行解答即可． 【详解】解：，， 在，，，（每两个1之间依次增加一个0），，π，0中有理数有，，，，0共5个． 故答案为：5． 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误； 实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确； 两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误； 循环小数是有理数，故④正确； 综上可知，错误的序号是①③， 故答案为：①③． 知识点三、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理求出，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴数轴上A点表示的数是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可推出，据此化简绝对值和计算算术平方根，进而合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 知识点四、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 7．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，先估算得出，，从而可得，再根据实数的大小比较方法即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，即，， ∴， （1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)2，3与； (2)与2.3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，题目比较好，难度适中． （1）根据立方根的计算，然后利用实数大小的比较方法求解即可； （2）根据立方根的计算，然后利用实数大小的比较方法求解即可． 【详解】（1）， ∵， ． （2）， ∵． ． 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意； C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意； D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意； 故选：D 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）下列数：，2，0，，中是无理数的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数，能区分有理数（整数和分数）与无理数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），判断各数类型；、2、0、是有理数；是无理数，进而确定无理数的个数． 【详解】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数． 是分数，属于有理数； 2是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中，是无理数，故是无理数； 是有限小数，属于有理数． 因此，无理数有1个． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义，结合所给数据即可求解． 【详解】解：，， ， 在实数，，，，…，，，中，有理数有个， 无理数有（个）， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互质的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互质的整数矛盾， 是无理数． 【经典例题二 无理数的大小估算】 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知为整数，当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即更接近 ∴ ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)1.414 (2)见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意由正方形的面积可得出答案； （2）由（1）的方法可得出答案； （3）由题意画出图形即可． 【详解】（1）解：． 解方程得（保留到0.001）， 即． 故答案为：1.414； （2）解：∵， ∴， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 因为x值很小， 所以更小，略去， 解方程得（保留到0.001）， 即． ∴黄金分割数． （3）解：如图，即为所求 【经典例题三 实数概念理解】 【例3】（24-25八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列叙述：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥两个无理数的和可能是无理数正确的序号是 ． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据二次根式有意义的条件、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算逐一判断即可． 【详解】解：无意义，故①错误； 0的相反数是0，0没有倒数，故②错误； 全体实数和数轴上的点一一对应，故③正确； 一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故④错误； 实数包括无理数和有理数，故⑤正确； 两个无理数的和可能是无理数或有理数，故⑥正确． 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题考查的是实数的分类、相关概念及运算，掌握二次根式有意义的条件、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算是解决此题的关键． 【经典例题四 实数的分类】 【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 【答案】(1)，，，，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义分类即可得． （1）整数和分数统称为有理数，包含有限小数，无限循环小数，据此求解即可； （2）无限不循环小数是无理数，常见形式：开方开不尽的数，含的式子等，据此求解即可； （3）小于的实数为负实数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，故是分数，是有理数； ，故是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 故有理数集合：{，，，，，}． （2）解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，故是无限不循环小数，是无理数； 故无理数集合：{，，}． （3）解：∵，故是负实数； ∵，故是负实数； ∵，故是负实数； 故负实数集合：{，，}． 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016． (2)3.1415926，0.15， (3)，，， (4)，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1）， (5)0，，1016． 【分析】此题考查了实数的分类．化简需要化简的各数后，根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，，1016，…}； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}； （3）负有理数集合：{，，…}； （4）无理数集合：{，，，0.13030030003…，…}； （5）非负整数集合：{0，，1016，…} 2．（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【答案】(1)、、0 (2)、、 (3)、、（每两个1之间依次多一个0） 【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （1）根据整数的定义进行填空即可； （2）根据分数的定义进行填空即可； （3）根据无理数的定义进行填空即可． 【详解】（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ； 正实数： ；    负实数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根，根据实数的分类方法分别求出每个数属于什么数即可得到答案． 【详解】解：是有理数，是正实数； 是有理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 0是有理数； 是无理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 是有理数，是负实数； （每两个3之间依次多一个0）是无理数，是负实数； ∴有理数：，，0，；无理数：，，， （每两个3之间依次多一个0）； 正实数：，，；负实数：，，， （每两个3之间依次多一个0）． 【经典例题五 实数的性质】 【例5】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 3．（24-25七年级下·四川南充·期中）设、是有理数，且满足等式则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答． 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 【经典例题六 实数与数轴】 【例6】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键，根据勾股定理可求得的长，再根据题意得到，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的实数是， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理求得的长，再结合数轴即可解答． 【详解】解：如图：，则， ∵A点表示， ∴M点表示的数为： ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是________． (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________． ②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹） ③若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的周长公式，实数与数轴的对应关系，勾股定理解三角形，无理数的估算以及代数式的求值．无理数在数轴上表示的内容，体现了实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握勾股定理求解三角形边长并正确估算无理数是解决本题的关键． （1）根据圆的周长公式，即（d为直径）计算即可； （2）①先由勾股定理计算的长，再由勾股定理计算的长，由圆的半径可得的长，由此可解； ②通过构造直角三角形，作出长度为1和长度为2的直角三角形，利用勾股定理求出长度为的线段，即可确定位置； ③先估算的大小，从而确定的整数部分和小数部分，再代入式子求解即可． 【详解】（1）解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为， ∵向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴由勾股定理可得， ∵，，， ∴由勾股定理可得， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点， ∴， ∵在数轴上，点A表示的数是，则点表示的数为； 故答案为：； ②在数轴上取点Q，表示的数为1，取点N，表示的数为2， 过点N作轴，且满足， ∴， 在中，， 以点Q为圆心、的长为半径画弧，与数轴负半轴交于点， 即点M表示，如图： ③∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的整数部分为， 小数部分为， ∴ 【经典例题七 实数的大小比较】 【例7】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据． （1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小； （2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：< （2），， ， ， ， ， ． 【经典例题八 实数的混合运算】 【例8】（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，立方根，算术平方根和绝对值．先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号或绝对值先算括号或绝对值内的）进行计算．本题主要考查了乘方运算，立方根的计算，算术平方根的计算以及绝对值的运算，熟练掌握这些基本运算规则和运算的优先级是解题的关键． 【详解】解： 1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．先计算理数的乘方、化简绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）先去括号，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后计算除法，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 【经典例题十 新定义下的实数运算】 【例10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 【答案】C 【分析】此题考查实数运算，根据新定义分别列式计算求出m的值，再判断即可得到答案 【详解】由题意可分两种情况讨论： ①当时，有， 解得，不符合， 此种情况不符合题意； ②当时，有，解得． ，舍去，即． 故选：C． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，理解新定义是解题的关键．分别估计和在哪两个整数之间，再根据新定义得出，，两者相减即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 【答案】(1)一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，，那么这个数x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数：0的四次方根是0；负数没有四次方根 (3)①；② 【分析】本题考查了实数的大小比较，平方根和立方根的意义． （1）类比平方根的定义解答即可； （2）根据四次方根的定义求解即可； （3）根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． （3）①； ②∵， ∴， ∴． 【经典例题十一 实数运算的实际运用】 【例11】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 2．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 【经典例题十二 与实数运算相关的规律题】 【例12】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在 中，，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出，再以原点为圆心，长为半径画弧，进而确定点C所表示的数即可． 【详解】解：的两条直角边长分别为，， 则， 如图，点即为所求作．    4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）观察图，每个小正方形的边长均为1． (1)【理解】图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长是______． (2)【作图】请你在数轴上，利用尺规作图的方法表示出点的位置． (3)【识图】过数轴的原点O作垂线l，以点A为圆心，为半径画弧，交l于点C，以O为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查数轴由实数的对应关系，勾股定理的运用， （1）根据格点的特点计算面积，根据求一个数的算术平方根计算正方形的边长； （2）运用勾股定理，即可求解； （3）根据题意可的，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴阴影部分的边长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴作图如下， ，， ∴， 以点O为圆心，为半径画弧交数轴于点， ∴点表示的数是； （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照小星同学的探索过程解答即可． 【详解】解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，画一个边长为的大正方形（如图）， 图中大正方形的面积． 又， ， 当时，可忽略不计，得方程， 解得， ． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【详解】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 3．（24-25七年级下·北京·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)13 (2)示意图见解析， 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 4．（24-25七年级下·北京·期中）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 结合图形，可以得到_____． 由题意可知，所以平方后变小，由此略去，得方程_____． 解得_____．即_____．     （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，最后结果取到小数点后3位）． 【答案】（1），，0.5，1.5；（2）见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图形面积公式即可得到答案； （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】（1）结合图形，可以得到， 得方程 解得．即． 故答案为：，，0.5，1.5； （2）如图，由（1）可得，设， 由图形的面积可得以得，由题意可知， 所以平方后变小，由此略去，得方程，解得，即． 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2 (2)当时，，当时，， (3) 【分析】本题主要考查了无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，再分和两种情况求解； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴． 故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，， ∴， 当时，， 当时，， （3）由（2）得 ， ， ∴ ∴． 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，非完全平方数的平方根，无法化简为整数或分数，是无限不循环小数，仍然是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算 ；先估算的取值范围，进而可得结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴即； 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出，进而根据点的位置即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在数轴上所表示的数是， 故选：． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习） 4．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较； 根据可得，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当这个点在左边和右边两种情况，分别列式即可． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：； 当这个点在右边时，这个点对应的数为：． 故答案为：0或． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）在，，，，，，（每两个2之间依次多1个0），中无理数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】解：，是分数，是整数，它们是有理数； 无理数有，，，，（每两个2之间依次多1个0），共5个， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的边在数轴上，．若以A为圆心，以长为半径作弧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， 在中，， 点D表示的数与点A距离为5， 点D表示的数是或， 故答案为：4或． 12．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用实数的混合运算，二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂等运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，理解新定义是解题的关键．分别估计和在哪两个整数之间，再根据新定义得出，，两者相减即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法即可得解． （1）通过比较两个数的平方大小来比较这两个数即可 （2）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 16．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016． (2)3.1415926，0.15， (3)，，， (4)，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1）， (5)0，，1016． 【分析】此题考查了实数的分类．化简需要化简的各数后，根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，，1016，…}； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}； （3）负有理数集合：{，，…}； （4）无理数集合：{，，，0.13030030003…，…}； （5）非负整数集合：{0，，1016，…} 17．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算； 先根据二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 20．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 认识实数重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 无理数 题型二 无理数的大小估算 题型三 实数概念理解 题型四 实数的分类 题型五 实数的性质 题型六 实数与数轴 题型七 实数的大小比较 题型八 实数的混合运算 题型九 程序设计与实数运算 题型十 新定义下的实数运算 题型十一 实数运算的实际运用 题型十二 与实数运算相关的规律题 拓展训练一 勾股定理与无理数 拓展训练二 无理数估算的几何问题 拓展训练三 实数的规律探究问题 知识点一、无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆丰都·阶段练习）下列各数为无理数的是（   ） A． B．0.1212212221 C． D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）数据，，，，，（从前往后每相邻两个2间增加一个0）中，这6个实数中无理数有 个． 知识点二、实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知数：，，，（每两个1之间依次增加一个0），，π，0；其中有理数有 个． 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 知识点三、实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A点表示的数是 ． 6．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 知识点四、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 【即时训练】 7．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小： (1)2，3与； (2)与2.3． 【经典例题一 无理数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）下列数：，2，0，，中是无理数的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【经典例题二 无理数的大小估算】 【例2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知为整数，当最小时， ． 3．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【经典例题三 实数概念理解】 【例3】（24-25八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列叙述：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥两个无理数的和可能是无理数正确的序号是 ． 【经典例题四 实数的分类】 【例4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 2．（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ； 正实数： ；    负实数： ． 【经典例题五 实数的性质】 【例5】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 3．（24-25七年级下·四川南充·期中）设、是有理数，且满足等式则 ． 【经典例题六 实数与数轴】 【例6】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是________． (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________． ②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹） ③若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【经典例题七 实数的大小比较】 【例7】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 2．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【经典例题八 实数的混合运算】 【例8】（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）计算： 1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）计算： 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）计算 (1)． (2)． 【经典例题九 程序设计与实数运算】 【例9】（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【经典例题十 新定义下的实数运算】 【例10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对实数，定义运算，已知，则的值为（   ） A．4 B． C． D．5或 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：________； (2)探究性质： ①81的四次方根是______；0的四次方根是_________； _______（填“有”或“没有”）四次方根； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_______． (3)巩固与应用 ①计算：； ②比较大小：和． 【经典例题十一 实数运算的实际运用】 【例11】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 1．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 2．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【经典例题十二 与实数运算相关的规律题】 【例12】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算 ． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【拓展训练一 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点O为数轴上的原点，的两条直角边长分别为，，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）    4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）观察图，每个小正方形的边长均为1． (1)【理解】图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长是______． (2)【作图】请你在数轴上，利用尺规作图的方法表示出点的位置． (3)【识图】过数轴的原点O作垂线l，以点A为圆心，为半径画弧，交l于点C，以O为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 【拓展训练二 无理数估算的几何问题】 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 3．（24-25七年级下·北京·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 4．（24-25七年级下·北京·期中）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图． 结合图形，可以得到_____． 由题意可知，所以平方后变小，由此略去，得方程_____． 解得_____．即_____．     （2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，最后结果取到小数点后3位）． 【拓展训练三 实数的规律探究问题】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中的范围正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习） 4．（填“>”、“<”或“=”） 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）在，，，，，，（每两个2之间依次多1个0），中无理数有 个． 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的边在数轴上，．若以A为圆心，以长为半径作弧交数轴于点D，则点D表示的数是 ． 12．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）计算： ． 13．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）规定：表示不超过的最大整数，表示的小数部分，，其中为实数．例如，，．计算： ． 14．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 15．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）比较大小： (1) 与4； (2)与． 16．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算：． 18．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 19．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 20．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $$