2.1认识实数（第1课时）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

2.1.1认识实数第一课时 导学案 1.理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征. 2.经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想． 3.在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识． 重点：理解无限不循环小数的本质特征. 难点：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系. 第一环节 自主学习 温故知新： 有理数的概念：有理数 =___________ +___________． 特征①：可写为___________形式（p,q为整数，q≠0）； 特征②：小数形式为___________或___________ 新知自研：自研课本第25--26页的内容 【学法指导】 自研课本P25页内容，思考： 1、任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形 ① 设大正方形边长为 a，则 a 满足什么条件？ ② a 可能是整数或分数吗？理由： ___________ ___________ ___________ ___ 满足=2的 a 既不是___________，也不是____________→ 这是一种新数！ 2、你能再列举一个这样的数吗？ ___________ 【自研自探】 自研课本25页尝试思考内容，回答问题： 1、迁移验证 ①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=___________ ；②直角三角形的斜边b满足：_=___________ ;③b是整数或分数吗？ ___________ ___________ ___________ 2、在数 1.414，0.333⋯，​，中： （1）属于整数的是：______________________ ；（2）属于分数的是：______________________ （3）既非整数也非分数的是：___________ ___________ 3、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ ） A. 99​ B. π C. 0.1010010001⋯0.1010010001⋯（每两个1之间增加一个0） D. − E. 1.414 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.仔细观察例题中的图形，完成以下问题。 例：面积为2的正方形边长a的探索 1、例题正方形的面积越大，边长越 ___________（填“大”或“小”）； 因为1 < 2 < 4，所以边长关系为___________ < ___________ <___________。 （填1、a、2） B.小组合作分析，找出数a的是否为、百分位、千分位… 2、我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。 （1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）： =___________（计算结果），与2比较： ___________ 2（填“<”或“>”）； =___________（计算结果），与2比较：___________ 2（填“<”或“>”）； 结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是___________ （2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方： =___________（计算结果），与2比较： ___________ 2； =___________（计算结果），与2比较： ___________ 2； 结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是___________。 …… C.小组合作总结新数的特点 （1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？ __________________________________________________________________ （2）a是整数吗？是分数吗？为什么？ _________________________________________________________________ （3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是______________________，像这样的数就叫______________________。 D.以数a的探究为基础，小组尝试探究面积为5的正方形的边长b为多少？b可能是有限小数吗? _______________________________________________________________________________________ E,即时训练 4. 下列数中，与属于同一类（无限不循环小数）的是（ ） A. B. C. ​ D. 5.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？ 6、总结归纳无限不循环小数的特点并说明与有理数的区别.（完成在随堂笔记处） F,拓展提升 7.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？ 1. 已知 是无限不循环小数，则 是（ ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无限不循环小数 2. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的数不是有理数。 （ ） 3. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 4. 同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？ 类型一：辨析无限不循环小数 1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ ） (A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14 (C) 0.333... （D）0.35353535… 2.下列各数中，不是有理数的是（ ） （A） （B） （C） （D）0.123456 类型二：无限不循环小数的在几何中的应用 1. 大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1， 求大三角形的高h； 1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（C ） A. -3/5 B. 0.1 2˙ C. π D. √9 2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<√7<b，则a+b=3 3.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（D ） A.1+√4 B.π^0 C. √4 D. π/2 1、无限不循环小数的特点： __________________________________ 2、有理数与无限不循环小数的区别 维度 有理数 无限不循环小数（无理数） 定义 小数形式 分数表示 循环节 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1认识实数第一课时 导学案 1.理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征. 2.经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想． 3.在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识． 重点：理解无限不循环小数的本质特征. 难点：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系. 第一环节 自主学习 温故知新： 有理数的概念：有理数 =分数+整数． 特征①：可写为_形式（p,q为整数，q≠0）； 特征②：小数形式为有限小数或无限不循环小数 新知自研：自研课本第25--26页的内容 【学法指导】 自研课本P25页内容，思考： 1、任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形 ① 设大正方形边长为 a，则 a 满足什么条件？ ② a 可能是整数或分数吗？理由： a=2 不可能，1²=1<2<2²=2 满足=2的 a 既不是整数，也不是分数→ 这是一种新数！ 2、你能再列举一个这样的数吗？ （答案不唯一） 【自研自探】 自研课本25页尝试思考内容，回答问题： 1、迁移验证 ①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=5 ；②直角三角形的斜边b满足：==5; ③b是整数或分数吗？b不是整数也不是分数 2、在数 1.414，0.333⋯，​，中： （1）属于整数的是：无 ；（2）属于分数的是：1.414，0.333⋯， （3）既非整数也非分数的是： 3、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ BC ） A. 99​ B. π C. 0.1010010001⋯0.1010010001⋯（每两个1之间增加一个0） D. − E. 1.414 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.仔细观察例题中的图形，完成以下问题。 例：面积为2的正方形边长a的探索 1、例题正方形的面积越大，边长越 大（填“大”或“小”）； 因为1 < 2 < 4，所以边长关系为1 <a<2。 （填1、a、2） B.小组合作分析，找出数a的是否为、百分位、千分位… 2、我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。 （1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）： =_1.96__（计算结果），与2比较： __<___ 2（填“<”或“>”）； =__2.25__（计算结果），与2比较：____>__2（填“<”或“>”）； 结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是__4__ （2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方： =_1.9881___（计算结果），与2比较： ___<___ 2； =_2.0164_（计算结果），与2比较： ___>___ 2； 结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是__1__。 …… C.小组合作总结新数的特点 （1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？ 还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环 （2）a是整数吗？是分数吗？为什么？ a不是整数（1 < a < 2），也不是分数（分数的平方不可能是2） （3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。 D.以数a的探究为基础，小组尝试探究面积为5的正方形的边长b为多少？b可能是有限小数吗? b=2.236.67…，且b不是有理数，同样是无限不循环小数 E,即时训练 4. 下列数中，与属于同一类（无限不循环小数）的是（ B ） A. B. C. ​ D. 5.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？ h不可能是有理数，理由如下： 证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一” 所以BD=CD 在直角三角形ABD中，根据勾股定理： =+ 代入边长AB=2，BD=1， 得：=+ 化简得： 4=+1  ⟹ =3  ⟹  h= 是无限不循环小数，因此等边三角形的高不可能是有理数 6、总结归纳无限不循环小数的特点并说明与有理数的区别.（完成在随堂笔记处） F,拓展提升 7.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？ 解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度 因此，对角线长度是边长的 倍。 假设存在整数 （边长）和整数 （对角线），使得 因为是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数 所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数 1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ） (A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14 (C) 0.333... （D）0.35353535… 2.下列各数中，不是有理数的是（C ） （A） （B） （C） （D）0.123456 3. 已知 是无限不循环小数，则 是（ D ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无限不循环小数 4. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ × ） （2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ √ ） （3）有理数都是有限小数； （ × ） （4）不是有限小数的数不是有理数。 （ × ） 5. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 解；如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数 L3，L4的长度分别为，，不是有理数 4. 同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？ 解：设正方形的边长为 （正数），根据勾股定理，对角线长度 因此，对角线长度是边长的 倍。 假设存在整数 （边长）和整数 （对角线），使得 因为是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数 所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数 类型一：辨析无限不循环小数 1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ A ） (A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14 (C) 0.333... （D）0.35353535… 2.下列各数中，不是有理数的是（C ） （A） （B） （C） （D）0.123456 类型二：无限不循环小数的在几何中的应用 1. 大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1，求大三角形的高h； 解：如图，分别给两个正三角形作高，已知小正方形边长为1，设其高为h1 在正三角形中，满足“三线合一”的性质， 故三角形的高将正三角形分为两个完全一样的含30°的直角三角形， 故h1=1=； 因为两个三角形的面积比为2：1，所以它们的高的比为：1，所以大三角形的高h== 1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（C ） A. -3/5 B. 0.1 2˙ C. π D. √9 2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<√7<b，则a+b=3 3.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（D ） A.1+√4 B.π^0 C. √4 D. π/2 1、无限不循环小数的特点：无限性和不循环性 2、有理数与无限不循环小数的区别 维度 有理数 无限不循环小数（无理数） 定义 整数和分数的统称 不能表示为分数的实数 小数形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 分数表示 能表示为（为整数，） 不能表示为分数 循环节 有限小数无循环节，无限循环小数有固定循环节 无循环节 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$